Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao, nhận đề.. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P.[r]
Trang 1Trường TH&THCS Lờ Văn Hiến ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012
Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao, nhận đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1: ( 3,5 điểm)
Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x,y) sao cho x (x+1) = y + 1
Bài 2: (3 điểm)
Giải phương trỡnh : x - 3x + 6 - 3 = 0
Bài 3: (3,5điểm)
Cho x = +
y = +
Tớnh giỏ trị của biểu thức: p = x + y - 3( x+ y) - 2010
Bài 4: (2,5 điểm) :
a/ Cho 2011 số nguyên dơng a1, a2 , , a2011 Thoả mãn : a1 a2 a3 a2011 30
Chứng minh rằng : a51 a52 a53 a52011 30
Bài 5: (4,5 điểm)
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm P Vẽ
cát tuyến PMN (M nằm giữa P và N) Vẽ AD và BC vuông góc với MN; BC cắt nửa
đờng tròn tại I Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác AICD là hình chữ nhật
b/ DN = CM
c/ AD.BC = CM.CN
d/ BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2
Đáp án ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – MễN TOÁN
1 x (x+1) = y2+1 ⇔ x2+x= y2+1 ⇔ 4x2+4x+1= 4y2+5 ⇔ (2x+1)2
-(2y)2=5
Vỡ x, y z nờn 2x+2y+1; 2x-2y+1; là ước của 5 nờn
TH1
¿ 2x+2y +1=1 2x-2y +1=5
¿ {
¿
⇔
¿
x=1 y=− 1
¿ {
¿
TH2
¿
2x+2y +1=−1 2x-2y +1=− 5
¿ {
¿
⇔
3đ 1,75
1,0
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Trang 2x=−2
y =1
¿ {
¿
TH3
¿ 2x+2y +1=5 2x-2y +1=1
¿ {
¿
⇔
¿
x =1 y=1
¿ {
¿
TH4
¿
2x+2y +1=−5 2x-2y+1=− 1
¿ {
¿
⇔
¿
x=−2
y=− 1
¿ {
¿
Vậy: Các cặp số (x,y) phải tìm là: (1;-1); (1;1); (-2;1); (-2;-1)
0,25
x2- 3x + 6 - 3 √x2−3 x+4 =0
Đặt √x2−3 x+ 4 = t (t 0) phương trình trở thành t2 - 3t + 2 = 0
⇒ t1 = 1; t2 = 2 thỏa mãn điều kiện
Với t1 = 1 ⇒ x2 - 3x + 4 = 1 ⇒ x2 - 3x + 3 = 0 (vô nghiệm)
Với t2 = 2 ⇒ x2 - 3x + 4 = 4 ⇒ x2 - 3x = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1=0; x2=3
2,5® 1,0
1,5
3
`
4
Đặt 3
√3+2√2 =a; 3
√3− 2√2 =b
⇒ a3+b3=6; ab=1; x=a+b
⇒ x3=(a+b)3=( a3+b3)+3ab(a+b)=6+3x ⇒ x3 - 3x = 6
Đặt 3
√17+12√2 = m; 3
√17− 12√2 = n
⇒ m3 + n3 = 34; mn = 1; y =m + n
⇒ y3=(m+n)3=( m3+n3)+3mn(m+n)=34+3y ⇒ y3- 3y=34
Khi đó p=(x3-3x) + (y3-3y) + 2010 = 2050
Tríc hÕt ta chøng minh
a vµ a5 cã cïng ch÷ sè tËn cïng : ThËt vËy
15 ; 25; 35; 45 ; 55; 65; 75 ; 85; 95 lÇn lît cã ch÷ sè tËn cïng lµ : 1 ; 2; 3; 4; 5 ;
6; 7 ; 8; 9
Suy ra : a vµ a5 cã cïng ch÷ sè tËn cïng (1)
a vµ a5 Chia cho 3 cã cïng sè d : ThËt vËy
+) a = 3k + 1 => a5 = (3k + 1)5 chia cho 3 cã sè d lµ 15 = 1
+) a = 3k + 2 => a5 = (3k + 2)5 chia cho 3 cã sè d lµ d cña 25 chia cho 3,
mµ 25 = 32 chia cho 3 d 2
+) a = 3k => a5 = 3k5 chia cho hÕt 3
VËy a vµ a5 Chia cho 3 cã cïng sè d (2)
Ta cã : A = a1 a2 a3 a2011 30 => A = a1 a2 a3 a2011 2.3.5
A chia hÕt cho 2 vµ 5 => A cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, C¨n cø vµo (1)
=> B = a51 a52 a53 a52011 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 => B chia hÕt cho 2
vµ 5 (I)
A chia hÕt cho 3, c¨n cø vµo (2) => B còng chia hÕt cho 3 (II)
Tõ (I) vµ (II) Suy ra :
1 2 3 2011 30
(§PCM)
3® 1,25
1,25 0,5 3,5®
1,0
1,0
1,5 7,5®
Trang 3
H
I
D
N
M
O
a/ Tứ giác AICD là hình chữ nhật
OA = OB = OI = R => Tam giác IAB vuông tại I
=> Tứ giác AICD có 3 góc D, C, I vuông => Tứ giác AICD là hình chữ
nhật (đpcm)
b/ DN = CM
K OA = OB, OH//AD//BC => HD = HC (2)
Từ (1) và (2) ta có : MN + (HD – HM) = MN + (HC – HN)
Hay : MN + MD = MN + NC Hay : DN = CM (đpcm)
c/ AD.BC = CM.CN
Dễ dàng chứng minh đợc : CIM đồng dạng với CNB (góc – góc)
=> CI CM CI BC CM CN .
= AD
Thay vào ta có : AD.BC = CM.CN (đpcm)
d/ BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2
Ta có : AB2 = AI2 + BI2 = CD2 + BI2( do CD = AI)
=>2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + BI2 Mà BI = BC – CI = BC – AD
=> 2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + (BC – AD)2
= 2AD.BC + CD2 + BC2 – 2AD.BC + DA2
=> 2AD.BC + AB2 = CD2 + BC2 + DA2 =BC2 + CD2 + DA2 (đpcm)
0,5
1,0
1,5
1,5
3
Hết