Chứng minh rằng : ực dương.. Chứng minh rằng : ươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng.. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo AC.. Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF đạt giá
Trang 1Đ thi h c sinh gi i l p 9 năm h c 2011- ề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- ọc sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- ỏi lớp 9 năm học 2011- ớp 9 năm học 2011- ọc sinh giỏi lớp 9 năm học
2011-2012.
Đ n v : Trơn vị: Trường THCS Đông lĩnh ị: Trường THCS Đông lĩnh ường THCS Đông lĩnhng THCS Đông lĩnh
Đ bài: ề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học
2011-Câu 1: ( 3đi m) Cho ểm) Cho A=
10√x x+3√x−4−
2√x−3
√x+4 +
√x+1
1−√x
a)Rút g n A ọc sinh giỏi lớp 9 năm học
2011-b) Ch ng minh : A> -3.ứng minh : A> -3
c) Tìm giá tr l n nh t c a A.ị: Trường THCS Đông lĩnh ớp 9 năm học 2011- ất của A ủa A
Câu 2: ( 3đi m)ểm) Cho
a) Cho a, b, c là các s th c dố thực dương Chứng minh rằng : ực dương Chứng minh rằng : ươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng Ch ng minh r ng : ứng minh : A> -3 ằng :
1
a+
1
b+
1
c≥
1
√ab+
1
√bc+
1
√ac
b)Cho ba s dố thực dương Chứng minh rằng : ươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng a, b, c tho mãn đi u ki n aả mãn điều kiện a ề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- ện a 2 + b2 + c2 = 1
Ch ng minh r ng : ứng minh : A> -3 ằng : a+b +c+ab+bc+ac≤1+√3 .
Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo AC Kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB và BC Xác định
vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó theo a
Câu 4: ( 2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= 1
1+xy+
1
1+ yz+
1
1+zx
Trong đó x, y, z là các s dố thực dương Chứng minh rằng : ươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng tho mãn đi u ki n ả mãn điều kiện a ề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- ện a x2+y2+z2≤3
Câu 5: (2,5 đi m) Cho tam giác ABC cân t i A, đểm) Cho ại A, đường cao thuộc cạnh bên ường THCS Đông lĩnhng cao thu c c nh bên ộc cạnh bên ại A, đường cao thuộc cạnh bên
b ng h, góc đáy b ng ằng : ở đáy bằng ằng : α Ch ng minh ứng minh : A> -3 S Δ ABC=
4sin α cosα Câu 6: (3 đi m) ểm) Cho
a) Tìm các s nguyên x, y, z tho mãn các đi u ki n sau:ố thực dương Chứng minh rằng : ả mãn điều kiện a ề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- ện a
x2+y2+z2=xy + yz+xz và x2011+y2011+z2011=32012
b)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : y2=2x+1
Trang 2Câu 7: ( 4 đi m) Cho tam giác ABC các đểm) Cho ường THCS Đông lĩnhng phân giác trong c a các góc A,ủa A.
B, C c t các c nh đ i di n t i M, N, P Ch ng minh r ng : ắt các cạnh đối diện tại M, N, P Chứng minh rằng : ại A, đường cao thuộc cạnh bên ố thực dương Chứng minh rằng : ện a ại A, đường cao thuộc cạnh bên ứng minh : A> -3 ằng : SΔ MNP≤ 1
4SΔ ABC
Đáp án và hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi năm học 2011-2012
Đơn vị; Trường THCS Đông lĩnh.
Câ
u
1 a)ĐKXĐ: x≥0; x≠1
A =10√x−(2√x−3) (√x −1)−(√x +1)(√x +4)
−3 x+10√x−7
(√x −1)(√x +4)
=(√x−1) (7−3√x)
(√x−1) (√x+ 4) =
7−3√x
√x + 4
1,5
b)
7−3√x
√x+4 > -3 ⇔
7−3√x
√x+4 +3 >0 ⇔
14
√x+4 >0 v i m i x vì ớp 9 năm học 2011- ọc sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- √ x+4 >0
0,5
c) A =
7−3√x
√x+4 = −3+
19
√x+4 A đ t giá tr l n nh t khi ại A, đường cao thuộc cạnh bên ị: Trường THCS Đông lĩnh ớp 9 năm học 2011- ất của A √ x+4 đ t giá ại A, đường cao thuộc cạnh bên
tr nh nh t Mà ị: Trường THCS Đông lĩnh ỏi lớp 9 năm học 2011- ất của A √
x+4≥4 ⇒(√x+4 )min=4 ⇔ x =0⇒ Amax=7
4⇔x=0
1,0
2
a)Vì a,b,c là các s th c dố thực dương Chứng minh rằng : ực dương Chứng minh rằng : ươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng nên âp d ng BĐT Côsi ta có: ụng BĐT Côsi ta có:
1
a+
1
b≥
2
√ab ;
1
b+
1
c≥
2
√bc ;
1
c+
1
a≥
2
√ac ⇒2(1a+
1
b+
1
c)≥2(1√ab+
1
√bc +
1
√ca)
⇒1
a+
1
b+
1
c≥
1
√ab +
1
√bc+
1
√ca
Dấu bằng xảy ra khi a = b= c
1,5
b)Vì ba s dố thực dương Chứng minh rằng : ươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng a, b, c và tho mãn đi u ki n aả mãn điều kiện a ề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2011- ện a 2 + b2 + c2 = 1 ta có :
(a−b )2+(b−c )2+(c −a )2≥0 ⇒ ab+bc +ca≤a2+b2+c2=1 (1)
Ta l i có:ại A, đường cao thuộc cạnh bên
(a+b+c )2=(a2+b2+c2)+2( ab+bc +ca )≤(a2+b2+c2)+2(a2+b2+c2)
¿3(a2+b2+c2)=3 ⇒( a+b+c )≤√3 (2)
C ng hai v c a (1) và (20 ta có: ộc cạnh bên ế của (1) và (20 ta có: ủa A a+b +c+ab+bc+ac≤1+√3
1,5
3
Ta có :
SΔ DEM=SΔ AME
(có chung c nh đáy ME và đại A, đường cao thuộc cạnh bên ường THCS Đông lĩnhng cao tươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng ng)
ứng minh : A> -3
0,25 0,25
Trang 3SΔ DMF=SΔ CMF
(có chung c nh đáy MF và đại A, đường cao thuộc cạnh bên ường THCS Đông lĩnhng cao tươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng ng)ứng minh : A> -3
⇒ SΔ DEÈ=SΔ DME+SΔ DMF+SΔ EMÈM=SΔ ABC−SΔ BEÈ= 1
2 (a2−BE BF)
⇒SΔ DEÈ Max ⇔ BE BFMax ,ViBE+BF=a ⇒ BE BFMax ⇔ BE=BF= a
2 ⇒M
là
trung đi m c a AC và ểm) Cho ủa A
SΔ DEÈ Max=1
2(a2−a2
4 )=3
8a
2
0,5 1,0 0,5
4
Nếu
a,b,c là ba số dương thì (a+b +c)(
1
1
1
Áp dụng BĐT trên ta đặt a = 1+ xy; b = 1+ yz ; c = 1 + xz
⇒(3+xy + yz +xz)(1
1+xy +
1
1+ yz +
1
1+zx )≥9
⇒A≥9
(3+xy + yz+xz)≥
9
3+x2+y2+z2≥
9 3+3 =
3
2 ⇒AMin=
3
2 ⇔x= y =z=1
0,5 0,5
1,0
5 Kẻ BE vuông góc với AC Trong Δ vuôngBEC ta có:
sin α=sin C= BE
BC=
h
BC⇒BC=
h
sin α
K AH vuông góc v i BC ta có: HB=HC=ẻ AH vuông góc với BC ta có: HB=HC= ớp 9 năm học
2011-1
2BC=
h
2sin α
Trong tam giác vuông AHC có
AH = HC.tanC= HC tan α=
h
2 sin α.
sin α cos α =
h
2 cos α
V y ậy SΔ ABC= 1
2 BC AH= 2 sin α h .2 cosα h = h
2
4 sin α cosα
0,5
0,5
1,0 0,5
6 a) Vì :
x2+y2+z2=xy + yz+xz⇒( x− y )2+(y−z)2+(z−x )2=0 ⇒ x= y =z
⇒3 x2011=3 y2011=3 z2011=32012⇒x= y=z=3
0,5 0,5
b)Ta có
y2=2x+1⇒2x=y2−1=( y −1)( y +1)
Do x,y là các s t nhiên nên ố thực dương Chứng minh rằng : ực dương Chứng minh rằng :
là ướp 9 năm học 2011- ủa A.c c a 2x ⇒y−1=2
m
; y+1=2 n ; trong đó m,n là các
s t nhiên và gi s m < n ta có 2n -2m = y+1 – y+1 = 2ố thực dương Chứng minh rằng : ực dương Chứng minh rằng : ả mãn điều kiện a ử m < n ta có 2n -2m = y+1 – y+1 = 2
0,5 0,5 0,5
Trang 4(1)
N u n – m > 1 suy ra 2n-m - 1 là s l là ế của (1) và (20 ta có: ố thực dương Chứng minh rằng : ẻ AH vuông góc với BC ta có: HB=HC= ướp 9 năm học 2011- ủa A.c c a 2 ( Vô lý) suy ra :
n−m≤1⇒ n−m=1⇒ 2 m(21−1 )=2⇒ m=1 ⇒n=2⇒ x=3 ; y=3
0,5
7 Giả sử đặt BC = a ; AB = c ; CA = b và S là ký hiệu diện tích
Kẻ BH vuông góc với AC ; PK vuông góc AC Suy ra : PK song song với
BH
⇒PK
BH=
AP
AB(1) ⇒
SAPN
SABC
=PK AN
BH AC=
AP AN
AB AC
Vì BN là tia phân giác góc B
⇒ AN
AB
AN
AB
AN
c
b c a+c
Ch ng minh t ng t : ứng minh : A> -3 ư ực dương Chứng minh rằng :
b+c
Do đó
⇒SAPN
SABC
=AP AN
AB AC=
b c
( b+ c ) c. b c
( a +c ) b=
b c
( b +c ) ( a + c )⇒SAPN=
b c SABC
(b+c )( a+ c )
Ch ng minh tứng minh : A> -3 ươn vị: Trường THCS Đông lĩnhng t ;ực dương Chứng minh rằng :
⇒SBPM=
a c SABC
(b+c )(a+b ) ;SCMN=
a b SABC
(a+b )( a+ c ) ⇒SMNP=SABC−(SAPN+SBPM+SCMN)
⇒SMNP=
2 a b c SABC
(a+b )(b+ c )( a+ c ) ≤
2 a b c SABC
1
4 SABC
1,0
1,0
1,0 1,0