Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào [r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
THPT NĂM 2013
Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013
Bài 1 (5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau:
y
x y
x
x y
Bài 2 (5,0 điểm):
Cho dãy số xác định như sau:
1
1
1
2
a n
a
a
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 3 (5,0 điểm):
Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam
giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F Gọi J là trung điểm KL
a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng
b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng
là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC tại P,Q Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định
Bài 4 (5,0 điểm):
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số
kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: 1 và 1000?
b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải
Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ hai: 12/01/2013
Trang 2Tìm tất cả hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 và
x y f f x 2 f f 2 y f x f y f x2 f2 y
đúng với mọi x, y R, trong đó f2(x)=(f(x))2
Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng thay đổi luôn đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và tam giác ACH tại M, N (M, N khác H)
a)Xác định vị trí của đường thẳng để diện tích tam giác AMN lớn nhất
b)Kí hiệu d1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 là đường thẳng qua N vuông góc DC Chứng minh giao điểm P của d1 và d2 luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Bài 7 : (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự (a, b, c, a′, b′, c′) thỏa mãn
' ' 1 mod 15 1 ' ' 1 mod 15 2 ' ' 1 mod 15 3
ab a b
ac a c
bc b c
Với a, b, c, a′, b′, c′ {0,1 14}
LỜI GIẢI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2013
Trang 3Bài 1 (5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau:
y
x y
x
x y
Cách 1:
Trang 5Bài 2 (5,0 điểm):
Cho dãy số xác định như sau:
1
1
1
2
a n
a
a
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
Trang 6Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam
giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F Gọi J là trung điểm KL
a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng
b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng
là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC tại P,Q Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định
Giải:
a)
b)
Trang 7Bài 4 (5,0 điểm):
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số
Trang 8cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: 1 và 1000?
b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải
Giải:
a) Ta chỉ cần quan tâm đến các số ≤2013, tức là các số đầu mỗi hàng, còn các
số >2013 không cần quan tâm:
Đầu tiên ta viết 1 1000
Sau bước đầu là 1 1001 1000
Sau bước 2 là 1 1002 1001 2001 1000
Sau bước 3 là 1 1003 1002 2003
Sau bước 4 là 1 1004 1003 2005 1002
Sau bước 5 là 1 1005 1004 2007 1003
Sau bước 6 là 1 1006 1005 2009
Sau bước 7 là 1 1007 1006 2011
Sau bước 8 là 1 1008 1007 2013
Lúc này đã xuất hiện 1 số 2013, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy sẽ trở thành:
1 2013 2012 4023
Sau đó toàn bộ số hạng xuất hiện tr0ng dãy sẽ > 2013 và không còn 1 số 2013 nào được xuất hiện thêm nữa !
Vậy chỉ có 2 lần xuất hiện
b)
Xét cặp số bất kì n và n + 1 Khi đó thực hiện thao tác ta sẽ có số 2n + 1 Số này chỉ có thể tiếp tục thao tác với n hoặc n+1 Do đó các số tạo ra bằng thao tác sẽ có dạng
an + b(n + 1) hay là xn .n + yn, xn, yn∈N*,xn − 1 ≥ yn
Khi đó, số số 2013 xuất hiện trên đường thẳng là tổng số các nghiệm (xn,yn) của pt
xn n + yn = 2013 với n chạy từ 1 đến 999 Vì mỗi giá trị của xn thoả mãn điều kiện trên tương ứng với 1 giá trị của yn nên ta chỉ cần tìm số giá trị có thể nhận được của xn
Xét pt xn n + yn = 2013 Ta có
Trang 9Bài 5: (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 và
x y f f x 2 f f 2 y f x f y f x2 f2 y
đúng với mọi x, y R, trong đó f2(x)=(f(x))2
Trang 10Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng thay đổi luôn đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và tam giác ACH tại M, N (M, N khác H)
a)Xác định vị trí của đường thẳng để diện tích tam giác AMN lớn nhất
b)Kí hiệu d1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 là đường thẳng qua N vuông góc DC Chứng minh giao điểm P của d1 và d2 luôn thuộc 1 đường tròn cố định