Đáp án HSG Toán học lớp 9 cấp huyện TP Hải Dương, tỉnh Hải Dương 2014-2015 vòng 2 - Học Toàn Tập

Chứng minh tương tự ta được: KC là phân giác của góc IKA.. Vậy tam giác IPQ là tam giác cân tại I.[r]

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Ngày thi 03 tháng 03 năm 2015

TP

Tổng điểm

1

a

1

Với n=0 thì A =-7 không là số nguyên tố 0.25 VớinN n,  1 thì 2 2

0 n   n 1 n  5n 7

Để A là số nguyên tố thì:

2( )







0.25

Khi n=1 thì A=13 là số nguyên tố Vậy n=1 0.25

b

1

M

x



0.25

x



2

a

ĐK: 1 6

  

Với điều kiện đó thì phương trình tương tương với: 0.25

1

2

( 5)(3 1) 0

        

   

   

0.25

3

5

x



   

 

0.25 KL: Phương trình có một nghiệm duy nhất x=5 0.25

b





 



  

Hệ phương trình tương đương với:

5 8 3 (1)







0.25

Đặt 2 1

2 =b







 thì phương trình (2) trở thành:

a b 2ab 1 0

Mà 2ab 1 0 nên a b 2ab   1 0 a b

0.25 1

Suy ra x=3y+1 Khi đó phương trình (1) trở thành:

2

1

2

y

y







 



Với y=1 thì x=4 (Thoả mãn)

Với y= 1

2

 thì x= 1

2

 (Không thoả mãn) Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=4; y=1)

0.25

3

a

3x 171  y : Với x=1 suy ra 2

174

y  (Không thoả mãn với y nguyên dương) 0.25

1

Với x2 Đặt x-2=n Ta có: 2 2

9.3n 171 3n 19

     (1) với

3

y

k  0.25

*Nếu n2m thì từ (1) suy ra: (k 3 )(m k 3 ) 19m 

2

m m

m k

    

    

 Suy ra n=4, y=30, x=6

0.25

*Nếu n lẻ thì 3n 19chia 4 dư 2, 2

k chia 4 dư 0 hoặc 1 (vô lí)

b

Giả sử đa giác đều M có số cạnh là a , đa giác đều N có số cạnh là b

,

a bN và a b,  3

Mỗi góc trong của M là: (a 2)1800

a



Mỗi góc trong của N là: (b 2)1800

b



0.25

1

Ta có:

9 ( 2) 7 ( 2)

9

b a

a b

b a



0.25

Do a và b là các số tự nhiên lớn hơn 3 nên ta tìm được b=14 hoặc b=56

*Với a=6 thì đa giác M có số đường chéo là: 6(6-3):2=9

b=14 thì đa giác N có số đường chéo là: 14(14-3):2=77

*Với a=8 thì đa giác M có số đường chéo là: 8(8-3):2=20

b=56 thì đa giác N có số đường chéo là: 56(56-3):2=1484

0.25

4

1

a

0.25

1

Gọi N là giao điểm thứ hai của MA với (O’)

Chứng minh: 2

.

Suy ra

2

Chứng minh hai tam giác MBN và OBO’ đồng dạng suy ra:

OO'

MC

1

b

0.25

1

Có CK // EF => góc ICK = góc IEF

Mà góc IEF = góc KCA => Góc ICK = góc KCA

=> CK là phân giác của góc ICA

Chứng minh tương tự ta được: KC là phân giác của góc IKA

=> Hai điểm I và K đối xứng nhau qua CK

=> IA vuông góc với EF

Mà EF // CK => IA vuông góc với CK

0.25

Gọi giao điểm của AB với CK là H

Do CK là tiếp tuyến của (O) và (O/) nên ta chứng minh được

HC2 = HA.HB và HK2 = HA.HB

Suy ra HC = HK

0.25

Do CK // EF nên CK // PQ => HC HK

AP  AQ ( hệ quả của định lí Ta- let)

Từ đó suy ra: AQ = AP

Vậy tam giác IPQ là tam giác cân tại I

0.25

H

2

Ta có: gócMCD = góc MAK suy ra: các tam giác MCD, MAK đồng dạng suy

ra MD MC MC MA MD. (1)

Tương tự các tam giác MBD, MAH đồng dạng suy ra

(2)

MB

MH  MA  MH

0.25

1

Suy ra: MA BC. AB.MA MD. AC.MA MD.

Suy ra: BC AC AB

MD MH MK

Từ đó BC AC AB 2.BC

MDMH MK  MD(*) Lại có BC=R 3 Suy ra BC AC AB 2R 3

MDMH MK  MD

0.25

MDMH MK nhỏ nhất thì MD lớn nhất

MD lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung BC

Khi đó

2

R

MD

MDMH MK  MD  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung BC

0.25

5

Do 0 < x, y, z < 1

Mà xyyzxz 1

Suy ra ta chứng minh được: x  y z 3 (1)

Và x(1-x) ; y(1-y) ; z(1-z) > 0 ; 1 x;1 y;1 z 0

0.25

1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số dương ta có:

2 (1 )

(1 ) 2 (1 )

y



2 (1 )

(1 ) 2 (1 )

z



0.25

(1 )

(1 ) 2 (1 )

x



Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

S   x y z x  y z xyyzzx

=> S   x y z 2 ( 2) ( Doxyyzxz 1)

Từ (1) và (2) suy ra S  3  2

0.25

Đẳng thức xảy ra khi 3

3

x  y z (thoả mãn ĐK)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là  3  2 khi 3

3

x  y z

0.25

* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -