Ta thực hiện các bước điểm số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái sang phải, sau đó điền vào[r]
Trang 1Thi HSG QG Việt Nam (ngày 11 và 12 tháng 1 năm 2013)
1) Giải hệ phương trình
x y
x y
2) Cho dãy số an có n
n
1 n 1 2 aa
2
Chứng minh an
hội tụ và tìm nlim a n
3) Cho ABC không cân Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp trong ABC
và D, E, F là các tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB Đường thẳng qua E vuông góc với BI cắt (I) tại K khác E Đường thẳng qua F vuông góc với CI cắt (I) tại L khác F Gọi J là trung điểm của KL
a) Chứng minh D, I, J thẳng hàng
b) Giả sử B, C cố định, A thay đổi sao cho tỉ số
AB k
AC là hằng số Gọi M, N
tương ứng là giao điểm điểm của IE, IF với (I) (M E, N F ) Giả sử MN cắt IB, IC tại P, Q tương ứng Chứng minh đường trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định
4) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng Ta thực hiện các bước điểm số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái sang phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng đó, trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước: 1 và 1000 ?
b) Các số cho trước: 1, 2, , 1000 và xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải? 5) Tìm hàm f : thỏa mãn f (0) 0,f (1) 2013 và
(x y) f (f (x)) f (f (y)) f (x) f (y) f (x) f (y) , x, y ,
ở đó f (x)2 f (x) 2
6) Cho ABC nhọn, nội tiếp (O) và điểm D thuộc cung BC không chứa điểm
A Đường thẳng thay đổi đi qua trực tâm H của ABC và cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABH, ACH lần lượt tại M, N khác H
a) Xác định vị trí của để diện tích tam giác AMN lớn nhất
Trang 2b) Kí hiệu d1 là đường thẳng qua M và vuông góc với BD, d2 là đường thẳng
qua N và vuông góc với DC Gọi P là giao của d1 và d2 Chứng minh P
luôn thuộc một đường tròn cố định
7) Tìm tất cả các bộ số sắp thứ tự (a,b,c,a ', b ',c') thỏa mãn
ab a 'b' 1(mod 15)
ac a 'c' 1(mod 15)
cb c'b' 1(mod 15)
với a, b,c,a ',b',c'0,1, ,14