Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẻ các bạn cũng đã nhận thấy được phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức.. Không dừn[r]
Trang 1oxmath.vn
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Nguyễn Đức Tuấn
Ở đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức
mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng trong giải toán sau: (a − b)(a + b) = a2− b2
Bài 1.
Giải phương trình: (x + 3)p2x2+ 1 = x2+ x + 3 (1)
Lời giải:
Điều kiệnx ≥ −3.
Nhận thấyx = −3không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:
p
2x2+ 1 =x
2+ x + 3
x + 3 ⇔
p
2x2+ 1 − 1 = x
2
x + 3 (1
0)
Vìp2x2+ 1 + 1 > 0.Nhânp2x2+ 1 + 1vào hai vế của phương trình(10)ta được:
³p
2x2+ 1 − 1
´³p
2x2+ 1 + 1
´
2
x + 3
³p
2x2+ 1 + 1
´
⇔ 2x2= x
2
x + 3(
p
2x2+ 1 + 1)
Nhận thấyx = 0là một nghiệm của phương trình(1),
xétx 6= 0, chia cả hai vế của phương trình cho x2ta được:
2(x + 3) =p2x2+ 1 + 1 ⇔ 2x + 5 =p2x2+ 1
Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệmx = −5 +p13vàx = −5 −p13(loại)
Vậy phương trình(1)có hai nghiệmx = 0vàx = −5 +p13
Bài 2.
Giải phương trình: px2+ 3 =3x
2+ 2x + 3
Lời giải:
Điều kiệnx > −1
3 Phương trình(2)tương đương với:
p
x2+ 3 − 2x = 3x
2+ 2x + 3 3x + 1 − 2x ⇔
p
x2+ 3 − 2x = −3x
2+ 3
3x + 1 (2
0)
Vìx > −1
3⇒px2+ 3 + 2x > 0Nhânpx2+ 3 + 2xvào hai vế của phương trình(20)ta thu được:
−3x2+ 3 =−3x
2+ 3
3x + 1
³p
x2+ 3 + 2x
´
Nếu−3x2+ 3 = 0 ⇔ x = 1hoặcx = −1(loại)
Nếu−3x2+ 3 6= 0, chia cả hai vế của phương trình cho−3x2+ 3ta được:
3x + 1 =px2+ 3 + 2x
Giải phương trình này ta đượcx = 1.
Vậy phương trình(2)có nghiệm duy nhấtx = 1.
Bài 3.
Giải phương trình: px + 3 =1
2x − 7
2x+ 5 (3)
Lời giải:
Điều kiệnx ≥ −3và x 6= 0.
Trang 2oxmath.vn
Phương trình(3)tương đương với:
p
x + 3 − 2 =1
2(x − 1)
µ
1 +7
x
¶ (30)
Vìpx + 3 + 2 > 0, nhânpx + 3 + 2vào hai vế của phương trình(30)ta thu được:
x − 1 =1
2(x − 1)
µ
1 +7
x
¶ p
x + 3 + 2´
+ Nếux − 1 = 0 ⇔ x = 1
+ Nếux − 1 6= 0, chia cả hai vế của phương trình cho x − 1ta được:
2 =
µ
1 +7
x
¶ p
x + 3 + 2´⇔ −14 = (x + 7)px + 3 > 0 (vìx ≥ −3)
Vậy phương trình(3)có nghiệm duy nhấtx = 1.
Bài 4.
Giải phương trình: (x + 3)px2+ x + 2 = x2+ 3x + 4 (4)
Lời giải:
Điều kiệnx ≥ −3.
Nhận thấyx = −3không phải là nghiệm của phương trình(4), viết lại phương trình dạng:
p
x2+ x + 2 = x
2+ 3x + 4
x + 3 ⇔
p
x2+ x + 2 − 2 = x
2+ x − 2
x + 3 (4
0)
Vìpx2+ x + 2 + 2 > 0, nhânpx2+ x + 2 + 2vào hai vế của phương trình(40)ta thu được:
x2+ x − 2 = x
2+ x − 2
x + 3
³p
x2+ x + 2 + 2
´
+Nếux2+ x − 2 = 0 ⇔ x = 1hoặcx = −2.
+Nếux2+ x − 2 6= 0, chia cả hai vế của phương trình chox2+ x − 2ta được:
x + 3 =px2+ x + 2 + 2
Giải phương trình này ta đượcx = 1.
Vậy phương trình có hai nghiệmx = 1vàx = −2.
Sau đây là một số bài toán dành cho bạn đọc:
Giải các phương trình sau:
?)p 1
x2− x + 1+
p
x + x2= x +1
x+ 1
?)p3
x2− 1 +px − 3 +px + 1 + x = x + 3
x2− 6+ 5.
?)
r
x + 9
x2+ x + 2+
2 p
x2− 3=
x2+ 1
4 .
?)px2+ x + 1 = 5x
2+ x − 1
x + 1 .
Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút Ở đây vẫn trình bày dưới dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng
Giải phương trình: p 1
x − 1+
2
x2+ 1
2x =7
4 (5)
Lời giải:
Điều kiện:x > 1
Phương trình(5)tương đương với:
Trang 3oxmath.vn
1 p
x − 1− 1 +
2
x2+ 1
2x−3
4= 0 (50)
Vìp 1
x − 1+ 1 > 0 Ta có:
(50) ⇔
µ 1 p
x − 1− 1
¶µ 1 p
x − 1+ 1
¶
1 p
x − 1+ 1
+ 2
x2+ 1
2x−3
4= 0
⇔
1
x − 1− 1
1 p
x − 1+ 1
+µ 2
x− 1¶µ 1
x+3 4
¶
= 0
(x − 1)
µ 1 p
x − 1+ 1
¶ +
(2 − x)µ 1
x+3 4
¶
Nhận thấyx = 2là một nghiệm của phương trình,
xétx 6= 2, chia cả hai vế của phương trình cho (2 − x)ta được:
(x − 1)
µ 1 p
x − 1+ 1
¶ +
1
x+3 4
x = 0
Dễ thấyV T > 0∀x > 1.
Vậy phương trình(5)có nghiệm duy nhấtx = 2.
Giải phương trình: p3 x + 8 +px2+ 1 +px + x2= 1
x + 1+ 2 (6)
Lời giải:
Điều kiện:x ≥ 0
(6) ⇔p3x + 8 − 2 +px2+ 1 − 1 +px + x2= 1
x + 1− 1 (6
0)
Vìp3 (x + 8)2+ 2p3x + 8 + 4 > 0,px2+ 1 + 1 > 0 Ta có:
(60) ⇔
³
3
p
x + 8 − 2´³p3 (x + 8)2+ 2p3x + 8 + 4´
3
p
(x + 8)2+ 2p3 x + 8 + 4 +
³p
x2+ 1 − 1
´³p
x2+ 1 + 1
´
p
x2+ 1 + 1 +
p
x³1 + x.px´= −x
x + 1
(x + 8)2+ 2p3 x + 8 + 4+
x2
p
x2+ 1 + 1+
p
x(1 + x.px) = −x
x + 1
Nhận thấyx = 0là một nghiệm của phương trình,
xétx 6= 0, chia cả hai vế của phương trình chopxta được:
⇔
p
x
3
p
(x + 8)2+ 2p3 x + 8 + 4+
xp
x
p
x2+ 1 + 1+ 1 + x
p
x +
p
x
x + 1= 0.
Dễ thấyV T > 0∀x > 0.
Vậy phương trình(6)có nghiệm duy nhấtx = 0.
Giải phương trình:
s
x2+ x + 1
x + 4 +
x2
2 =p 1
x2+ 1+ 2 (7)
Lời giải:
Điều kiệnx ≥ −4
Trang 4oxmath.vn
(7) ⇔ x
2+ x + 1
x + 4 − 1 +
x2
2 −3
2=p 1
x2+ 1−
1 2
2− 3 s
x2+ x + 1
x + 4 + 1
+x
2− 3
2 = 3 − x2
1 p
x2+ 1+
1 2
Nhận thấyx =p3vàx = −p3là các nghiệm của phương trình
Xétx2− 3 6= 0 Chia cả hai vế của phương trình cho(x2− 3)ta được:
x2+ x + 1
x + 4 + 1
+1
p
x2+ 1+
1 2
= 0
Dễ thấyV T > 0∀x ≥ −4.
Vậy phương trình(7)có hai nghiệmx =p3vàx = −p3
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận rax =p3là nghiệm
Giải phương trình: p2x2− 3x + 1 = x
2− 1
2x − 3 (8)
Lời giải:
Điều kiện:2x2− 3x + 1 ≥ 0, x
2− 1
2x − 3 ≥, 2x − 3 6= 0
(8) ⇒p2x2− 3x + 1 − x = −x
2+ 3x − 1
x2− 3x + 1
p
2x2− 3x + 1 + x =
−x2+ 3x − 1 2x − 3
Nếux2− 3x + 1 = 0 ⇔ x =3 +p5
2 vàx =3 −
p 5 2
Xétx2− 3x + 1 6= 0 Chia cả hai vế của phương trình cho(x2− 3x + 1)ta được:
1 p
2x2− 3x + 1 + x =
−1
2x − 3
⇒ 3 − 3x =p2x2− 3x + 1 ⇒ 7x2− 15x + 8 = 0 ⇔ (x − 1)(7x − 8) = 0 ⇔ x = 1vàx =8
7 (loại!)
Vậy phương trình(8)có ba nghiệmx =3 +
p 5
2 ,x =3 −
p 5
2 vàx = 1.
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận rax2− 3x + 1là nhân tử chung
Sau đây là một số bài toán dành cho bạn đọc:
Giải các phương trình sau:
?)p 1
x2− x + 1+
p
x + x2= x +1
x+ 1
?)p3
x2− 1 +px − 3 +px + 1 + x = x + 3
x2− 6+ 5.
?)
r
x + 9
x2+ x + 2+
2 p
x2− 3=
x2+ 1
4 .
?)px2+ x + 1 = 5x
2+ x − 1
x + 1 .
Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẻ các bạn cũng đã nhận thấy được phần nào
về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức
Không dừng lại ở đó, hôm nay mình xin trình bày những vấn đề tiếp Theo xung quanh phương pháp này Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức
Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp này Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi olympic để làm ví
Trang 5oxmath.vn
dụ minh họa Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng rãi và hiệu quả của nó
Giải phương trình: (x + 1)px2− 2x + 3 = x2+ 1 (9)
Lời giải:
Vìx = −1không là nghiệm của phương trình(9)ta viết phương trình dưới dạng:
p
x2− 2x + 3 = x
2+ 1
x + 1 ⇔
p
x2− 2x + 3 − 2 = x
2− 2x − 1
x + 1
Vìpx2− 2x + 3 + 2 > 0 Suy ra:
(90) ⇔(
p
x2− 2x + 3 − 2)(px2− 2x + 3 + 2)
p
x2− 2x − 1
x + 1 ⇔
x2− 2x − 1
p
x2− 2x + 3 + 2=
x2− 2x − 1
x + 1
Nếux2− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 +p2vàx = 1 −p2
Nếux2− 2x − 1 6= 0 Suy ra:px2− 2x + 3 + 2 = x + 1( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình(9)có 2 nghiệm là:x = 1 +p2vàx = 1 −p2
Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp(p
x2− 2x + 3 + 2)để tìm ra nhân tử chung
là(x2− 2x − 1) Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này
Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên
Xét phương trình: px2− 2x + 3 = x
2+ 1
x + 1 (9
0)
⇔px2− 2x + 3 − m = x
2+ 1
x + 1 − m (m > 0) ⇔
p
x2− 2x + 3 − m = x
2− mx − m + 1
x + 1
Vìpx2− 2x + 3 + m > 0 Suy ra:
(90) ⇔ (
p
x2− 2x + 3 − m)(px2− 2x + 3 + m)
p
x2− mx − m + 1
x2− 2x + 3 − m2
p
x2− 2x + 3 + m =
x2− mx − m + 1
x + 1
Bây giờ ta chỉ cần xác địnhmsao cho:
x2− 2x + 3 − m2= 0 ⇔ x2− mx − m + 1 = 0 Suy ra:−2 = −mvà3 − m2= −m + 1 ⇒ m = 2
Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày
Giải phương trình: 2(x2+ 2) = 5px3+ 1 (10)
Lời giải:
Điều kiện:x ≥ −1
(10) ⇔ 2(x2+ 2) = 5p(x + 1)(x2− x + 1)
Vìx = −1không là nghiệm của phương trình(10)ta viết dưới dạng:
2(x2+ 2) = 5
s
(x + 1)2(x2− x + 1)
2(x2+ 2)
5(x + 1) =
s
x2− x + 1
x + 1 (10
0)
Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm đượcm = 2 Vậy:
(100) ⇔2(x
2+ 2)
5(x + 1) − 2 =
s
x2− x + 1
x + 1 − 2
Vì
s
x2− x + 1
x + 1 + 2 > 0 Suy ra:
(100) ⇔2x
2− 10x − 6
5(x + 1) =
µ s
x2− x + 1
x + 1 − 2
¶µ s
x2− x + 1
x + 1 + 2
¶
s
x2− x + 1
x + 1 + 2
⇔2x
2− 10x − 6 5(x + 1) =
x2− 5x − 3 (x + 1)
µ s
x2− x + 1
x + 1 + 2
¶
Trang 6oxmath.vn
Nếux2− 5x − 3 = 0 ⇔ x =5 +p37
2 vàx =5 −
p 37 2
Nếux2− 5x − 3 6= 0 Suy ra: 5
2=
s
x2− x + 1
x + 1 + 2( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình(10)có 2 nghiệm là:x =5 +
p 37
2 vàx =5 −
p 37
Giải phương trình: x3− 3x2− 8x + 40 − 8p44x + 4 = 0 (11)
Lời giải:
Điều kiện:x ≥ −1
(11) ⇔x
3− 3x2− 8x + 40
8 =p4 4x + 4 (110) ⇔x
3− 3x2− 8x + 24
8 =p44x + 4 − 2
Vìp4
4x + 4 + 2 > 0 Suy ra:
(110) ⇔(x − 3)(x
2− 8)
p
4x + 4 − 4
4
p
4x + 4 + 2
Vìp4x + 4 + 4 > 0 Suy ra:
(110) ⇔(x − 3)(x
2− 8)
³
4
p
4x + 4 + 2
´³p
4x + 4 + 4
´
Nếux − 3 = 0 ⇔ x = 3.
Nếux − 3 6= 0 Suy ra:
x2− 8
4
p
4x + 4 + 2
´³p
4x + 4 + 4
´ (1100)
Suy ra:x2− 8 > 0hayx > 2p2( vìx ≥ 1)
Dễ thấy vế trái của phương trình (1100) liên tục và luôn đồng biến trên(2p
2; +∞), vế phải của phương trình(1100)liên tục và luôn nghịch biến trên(2p
2; +∞) Lại cóx = 3là nghiệm vậyx = 3
cũng là nghiệm duy nhất của phương trình(1100) Nghiệm này loại vìx 6= 3.
Vậy phương trình(11)có nghiệm duy nhấtx = 3.
Giải phương trình: p2(x2+ 8) =px3+ 8 (12)
Lời giải:
Điều kiện:x ≥ −2
(12) ⇔p2(x2+ 8) = 5p(x + 2)(x2− 2x + 4)
Vìx = −2không là nghiệm của phương trình(12)ta viết phương trình dưới dạng:
p
2(x2+ 8) = 5
s
(x + 2)2
x + 2 .(x − 2x + 4)
2+ 8
5(x + 2)=
s
x2− 2x + 4
0)
2+ 8
5(x + 2)− 2 =
s
x2− 2x + 4 2x + 4 − 2
Vì
s
x2− 2x + 4
2x + 4 + 2 > 0 Suy ra:
Trang 7oxmath.vn
(120) ⇔x
2− 10x − 12 5(x + 2) =
µ x2− 2x + 4 2x + 4 − 2
¶µ x2− 2x + 4 2x + 4 + 2
¶
s
x2− 2x + 4 2x + 4 + 2
⇔ x
2− 10x − 12 5(x + 2) =
x2− 10x − 12 (2x + 4)
µ s
x2− 2x + 4 2x + 4 + 2
¶
Nếux2− 10x − 12 = 0 ⇔ x = 5 +p37vàx = 5 −p37
Nếux2− 10x − 12 6= 0 Suy ra: 5
2=
s
x2− 2x + 4 2x + 4 + 2( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình(12)có 2 nghiệm làx = 5 +p37vàx = 5 −p37
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc
Giải các phương trình sau:
?)px2+ 5 + 5 = 3x +px2+ 15( Đề đề nghị Olympic 30-4)
?) x2+ (3 −px2+ 2)x = 1 + 2px2+ 2( Đề đề nghị Olympic 30-4)
?) 2(x2− 3x + 2) = 3px3+ 8( Đề đề nghị Olympic 30-4)
?) 2x2+ 5x − 1 = 7px3− 1( Đề đề nghị Olympic 30-4)
?) x3− 3x2+ 2p(x + 2)3− 6x = 0( Toán học và tuổi trẻ)
?) 2x2− 11x + 21 − 3p3 4x − 4 = 0( Thi HSGQG, năm 1995, bảng B)