Tìm x để thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi mpa có diện tích lớn nhất ... Giám thị coi thi không giải thích gì thêm..[r]
Trang 1SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT PHÚC TRẠCH ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁN: LỚP 12
NĂM HỌC:2012-2013
Thời gian làm bài:120phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1.(3,0điểm) Cho hàm số yx32mx23(m1)x2 (1), m là tham số thực
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :y x 2 tại 3 điểm phân biệt A(0;2); B; C sao cho tam giác MBCcó diện tích 2 2, với M(3;1).
Bài 2.(3,0điểm) Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt
Bµi 3.(4,0 ®iÓm) Cho tam giác ABC không tù.Chứng minh rằng
tan A
2+tan
B
2+tan
C
2+tan
A
2 ⋅ tan B
2⋅ tan C
2 ≥
10√3 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 4.(4,0điểm)
x y z
3
Bài 5.(6,0điểm)
Cho hình chóp S.ABC có ∠ASB =∠ ASC=45 ∘;cos(∠BSC)=1
4 ; SB=SC= √2 SA.SA=a K là trung điểm của BC; M là điểm nằm trên đoạn thẳng AK Đặt AM=x
1 Chứng minh: SA (ABC)
2 Mặt phẳng (a) qua M và vuông góc với AK Tìm x để thiết diện của hình chóp
S.ABC cắt bởi mp(a) có diện tích lớn nhất
Hết
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2
ĐÁP ÁN
Bài 1(3đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( ) là:x32mx23(m1)x 2 x 2
2
( ) 2 3 2 0(2)
g x x mx m
Đường thẳng ( ) cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
1
3
m
m
Gọi B x y 1 ; 1và C x y 2 ; 2, trong đó x x1 , 2 là nghiệm của (2); y1 x1 2 và
y x
Ta có
3 1 2
;( )
2
4 2
MBC
S BC h
Mà
BC x x y y x x x x
=8(m2 3m 2) Suy ra 8(m2 3m 2)=16 m 0(thoả mãn) hoặc m 3(thoả mãn)
1điểm
1điểm
1điểm
Bài 2(3đ)
Ta có
do x=0 không là nghiệm phương trình )
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
2
x
(a)
Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt
1đ
1đ
1đ
Không mất tính tổng quát, giả sử A ≥ B ≥C
2≤
B
2 ≤
A
2 ≤
π
4⇒tan C
2 ≤ tan
B
2 ≤ tan
A
2≤ 1
1đ
Trang 3Bài 3(4đ)
Đặt x = tan A2 ; y = tan B2 ; z = tan C2 thì 0 < z y x 1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 - x; 1 - y; 1 - z ta được:
1 − x +1 − y +1 − z
3
√(1 − x ) (1− y )(1 − z )=√31 −(x + y +z)+xy +yz+xz − xyz
Vì xy + yz + xz = tan A2 tan B2 + tan B2 tan C2 + tan A2 tan C2 = 1
Suy ra:
3
Vì x + y + z √3 nên ⇒ x + y +z+xyz ≥ 2+( √33− 1)3=10√3
9
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
1đ
1đ
1đ
Bài 4(4đ)
x2
+y2 +z2
=2-2(x+y+z)+(x+y+z)2
-4xyz
z y x
x2
+y2 +z2
2-2(x+y+z)+(x+y+z)2
-4
3
3
xyz
Đặt t= x+y+z thì: 0 t 3 Khi đó:
x2
+y2 +z2
dấu bằng xảy ra khi t=2
3
hay x=y=z=2
1
(đpcm)
1đ 1đ
2đ
Trang 4
Bài 5(6đ)
Δ
1 CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin trong tam giác); Δ SAB = Δ SAC(c-g-c) ;
vuông cân tại A:
{SASA⊥ AB ⊥ AC ⇒SA ⊥(ABC)
2.
BC AK; SA AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại P,
QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N Từ N kẻ đt song song
với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hình chữ nhật PQEF : Std=PQ PF
Ta có : BC=a √3 ; AK= a/ 2
Tính được PQ=2 x√3 ;PF=(a− 2 x )
2 x +a −2 x
¿ 2
¿
Std=2 x√3 (a −2 x)≤√3¿
hay M là trung điểm AK
3đ
1đ
1đ 1đ
S
A B
C K
M
Q P
F