ViÖc båi dìng néi dung n©ng cao vÒ diÖn tÝch h×nh tam giác học sinh giỏi lớp 5 càng chú trọng việc tích cực hoá hoạt động của học sinh trong quá trình giảng dạy –Vì đây là một nội dung đ[r]
Trang 1Chơng IV: Vận dụng hớng dẫn học sinh giảI toán.
I Dạng 1: Sử dụng các yếu tố về hình tam giác để giải
1.Giai đoạn 1: Xác định các yếu tố của hình
+ Cạnh đáy
+ Đờng cao (kẻ đờng cao trong và ngoài hình tam giác).
Bài tập 1
Cho hình tam giác ABC vuông góc tại B
a) Hãy chỉ ra đờng cao tơng ứng với cạnh
đáy BC và AB
b) Vẽ đờng cao tơng ứng với cạnh đáy AC
C B
A
H
ớng dẫn
Học sinh biết rằng: Trong hình tam giác
vuông hai cạnh góc vuông chính là đờng
cao và cạnh đáy của hình tam giác
a) Đờng cao tơng ứng với cạnh đáy AB là
đờng cao BC; đờng cao tơng ứng với
cạnh đáy BC là đờng cao AB
b) Đờng cao tơng ứng với cạnh đáy AC là
đờng cao BH
H
C B
A
Bài tập 2
Cho hình tam giác ABC, hãy vẽ các đờng
cao tơng ứng với các cạnh AB, AC, BC
C B
A
H
ớng dẫn
Học sinh vẽ đợc ba đờng cao tơng ứng
với ba cạnh AB, AC và BC của hình tam
giác ABC
Lu ý: để vẽ đợc đờng cao CK tơng ứng
với cạnh AB ta cần kéo dài cạnh AB về
phía A(CK- đờng cao nằm ngoài hình tam
giác ABC)
K
I
B
A
Trang 2+ Xác định đờng cao và cạnh đáy chung của nhiều hình tam giác.
Bài tập 3
Cho hình vẽ bên, hãy chỉ ra:
a) Các hình tam giác có chung đờng
cao BG
b) Các hình tam giác có chung đờng
cao DH
c) Các hình tam giác có chung cạnh
đáy AC
A B
E G H
H
ớng dẫn
Học sinh biết và xác định đợc một đờng cao (hoặc cạnh đáy) có thể là đờng cao (hoặc cạnh đáy) chung của nhiều hình tam giác có trong hình vẽ
tích
Bài tập 4
Cho hình vẽ bên, ABC là hình tam
giác vuông AB = BC = 14cm, BE =
BD = 6cm Hãy tìm diện tích miền tô
đậm.( Đề thi Toán Tiểu học ở Hồng
A
E
H
G
H
ớng dẫn
Học sinh xác định đợc chiều cao và cạnh đáy của các hình tam giác từ đó tìm lời giải cho bài toán
Độ dài đoạn AE là:
14 – 6 = 8 (cm)
Diện tích hình tam giác ACE là:
8 x 14 : 2 = 56 (cm2)
Diện tích hình tam giác BCE là:
6 x 14 : 2 = 42 (cm2)
Diện tích hình tam giác BDE là:
6 x 6 : 2 = 18 (cm2)
Ta thấy: SCDE = SBCE - SBDE
Diện tích hình tam giác CDE là:
42 – 18 = 24 (cm2)
_Hai hình tam giác ACE và CDE có chung cạnh đáy CE, mà SACESCDE= ¿ 56 : 24 = 73 nên
Trang 3DG = 73
_Hai hình tam giác AEF và DEF có chung cạnh đáy EF, mà DGAH = 73 nên SAEFSDEF= ¿ 7
3 _SABD = SBCE (Vì có chiều cao và cạnh đáy bằng nhau) (1)
SABD = SBDFE + SAEF (2)
SBCE = SBDFE + SCDF (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra SAEF = SCDF
Ta lại có: SAEFSDEF= ¿ 7
3 nên SCDFSDEF= ¿ 7
3 Diện tích hình tam giác CDF là:
24 : 10 x 7 = 16,8 (cm2)
SACF = SACE - SAEF
Diện tích hình tam giác ACF là:
56 – 16,8 = 39,2 (cm2)
Đáp số: 39,2cm2
Bài tập 5
Cho hình vẽ bên, ABC là hình tam
giác vuông AB = BC = 14cm, BE =
BD = 6cm Hãy tìm diện tích miền tô
đậm.( Đề thi Toán Tiểu học ở Hồng
D C
B A
H
ớng dẫn
Ta thấy: SABCD = SABD + SBCD
+ SABC = SABE + SCBE (1)
+ SABE =
1
2 SABD.(Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh DE và EB =
1
2 BD) (2)
+ SCBE =
1
2 SBCD.(Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh DE và EB =
1 2
BD).(3)
+ Từ (1), (2) và (3) ta có:
SABC =
1
2 SABD +
1
2 SBCD =
1
2 (SABD + SBCD) =
1
2 SABCD
Vậy diện tích hình tam giác ABC là:
Trang 442 x
1
2 = 21 (cm2)
Đáp số: 21cm2
Bài tập 6
Cho hình tam giác ABC, E là trung
điểm của BC, F là điểm trên AE sao
cho AE = 3 AF BF cắt AC tại D nh
chỉ ra trên hình vẽ Biết diện tích
hình tam giác ABC bằng 48cm2, tìm
diện tích tam giác AFD (Đề thi
Toán Tiểu học ở Hồng Kông)
F A
D
E
H
G
H
ớng dẫn
Ta có: SABE = 12 x SABC (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, mà
BE = 12BC
Diện tích hình tam giác ABE là:
48 x 12 = 24 (cm2)
_Hai hình tam giác ABF và ABE có chung đờng cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AE, mà
AF = 13 AE
Diện tích hình tam giác ABF là:
24 x 13 = 8 (cm2)
Ta thấy: _SACE = SABE = 24cm2.(Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC
và CE = BE)
SBEF = SABE - SABF
Diện tích hình tam giác BEF là:
24 - 8 = 16 (cm2)
_SCEF = SBEF = 16cm2.(Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh F xuống cạnh BC
và CE = BE) SBCF = SBEF + SCEF
Diện tích hình tam giác BCF là:
16 x 2 = 32 (cm2)
_Hai hình tam giác ABF và BCF có chung cạnh đáy BF, mà SABFSBCF = ¿ 8 : 32 = 14 nên
AG
CH =14
SACF = SACE - SCEF
Diện tích hình tam giác BEF là:
24 - 16 = 8 (cm2)
Trang 5_Hai hình tam giác ADF và CDF có chung cạnh đáy DF, mà CHAG =14nên SADFSCDF = ¿ 1
4 Diện tích hình tam giác ADF là:
8 : 5 = 1,6 (cm2)
Đáp số: 1,6cm2
Bài tập 7
Cho hình tam giác đều PQR với độ
dài cạnh là 3 đơn vị U,V, W, X, Y
và Z chia chia các cạnh thành các
đoạn 1 đơn vị Tính tỉ số diện tích tứ
giác tô đậm UWXY và diện tích
tam giác PQR (Đề thi Toán Tiểu
học ở Hồng Kông)
Z
Y
X W
V U P
R Q
H
ớng dẫn
+ Nối P với W, ta thấy:
_ SPQW = 13SPQR (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh P xuống cạnh QR, mà QW =
1
3QR)
_ SWQU=23SPQW = 23x 13SPQR=29SPQR
(Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh W xuống cạnh PQ và QU = 23PQ) (1)
+ Nối R với U, ta thấy:
_ SRUP = 13SPQR (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh R xuống cạnh PQ, mà PU =
1
3PQ)
_SUPY=23SRUP = 23x 13SPQR=29SPQR
(Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh U xuống cạnh PR, mà PY = 23PR).(2)
+ Nối Q với Y, ta thấy:
_SQYR = 13SPQR (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh Q xuống cạnh PR, mà RY =
1
3PR)
_SYXR =13SQYR =13 x 13SPQR=19SPQR
(Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh Y xuống cạnh QR, mà RX = 13QR).(3)
Ta thấy:
Trang 6SWUXY = SPQR - (SWQU +SUPY+SYXR).(4)
Thay (1), (2) và (3) vào (4) ta đợc:
SWUXY = SPQR – (29SPQR +29SPQR + 19SPQR) = 49SPQR
Vậy SWUXYSPQR =49
Đáp số: SWUXYSPQR =49
II Dạng 2: Giải thông qua tỉ số của các yếu tố.
1 Giai đoạn 1: Xác mối liên quan giữa các yếu tố của một hình
và các hình với nhau.
+ Độ dài đáy và chiều cao.
+ Chiều cao và độ dài đáy.
+ Diện tích và chiều cao
+ Diện tích và độ dài đáy.
+ Diện tích và diện tích
+ Độ dài đáy và độ dài đáy.
+ Chiều cao và chiều cao
2 Giai đoạn 2: Dựa trên các mối liên hệ để giải bài toán theo yêu cầu.
Bài tập 8
Phần tô đậm trong hình bên chiếm
bao nhiêu phần của tam giác, nếu
mỗi cạnh của tam giác đợc chia
thành ba phần bằng nhau bởi các
điểm chia.(Đề thi Olympic toán Tiểu
học của Sin-ga-po-re 2002- vòng 1)
G
E
F
C B
A
H
ớng dẫn
Học sinh dựa trên mối liên hệ giữa chiều cao, độ dài đáy và diện tích của hình tam giác để giải
Gọi tam giác đã cho là ABC, phần tô đậm là EFG
Trang 7 Nối C với E ta có:
- SCAE = 13 SABC (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB và AE = 13 AB)
- SEAF = 23 SCAE (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh E xuống cạnh AC và AF = 23 AC)
- Hay SEAF = 23 x 13 SABC = 29 SABC (1)
Nối A với G ta có:
- SABG = 13 SABC (Chung đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC và BG = 13 BC)
- SGBE = 23 SABG ( vì chung đờng cao hạ từ đỉnh G xuống cạnh AB và BE = 23 AB)
- Hay SGBE = 23 x 13 SABC = 29 SABC (2)
Nối B với F ta có:
- SBCF = 13 SABC (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC và CF = 13 AC)
- SFCG = 23 SBCF (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh F xuống cạnh BC và CG = 23 BC)
- Hay SFCG = 23 x 13 SABC = 29 SABC (3)
Ta thấy: SABC = SEAF + SGBE + SFCG + SEFG
Vậy SEFG = SABC – (SEAF + SGBE + SFCG) (4) Thay (1), (2) và (3) vào (4) ta có:
SEFG = SABC – (29 +29 + 29)SABC = SABC – 69 SABC = 39 SABC
Vậy SABC[S]EFG [ ] =
1 3
Đáp số: SABC[S]EFG [ ] =
1 3
Bài tập 9
Tính tỉ số diện tích phần tô đậm và
toàn bộ hình vẽ (Đề thi Olympic các
trờng Tiểu học Sin-ga-po-re _Chọn
làm đề giao lu Toán tuổi thơ toàn
quốc năm 2008)
P
N M
C B
A
H
ớng dẫn
Trang 8Ta thấy: SMNP = SABC – ( SMAN + SNCP + SPBM) (1)
Nối C với M, ta có:
- SCAM = 15SABC (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB và AM = 15AB)
- SMAN = 35SCAM (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh M xuống cạnh AC và AN = 35AC) Hay SMAN = 35 x 15SABC = 253 SABC (2)
Nối B với N, ta có:
- SBCN = 25SABC (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC và CN = 25AC)
- SNCP = 45SBCN (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh N xuống cạnh BC và CP = 45BC) Hay SNCP = 45 x 25SABC = 258 SABC (3)
Nối A với P, ta có:
- SABP = 15SABC (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC và BP = 15BC)
- SPBM = 45SABP (Vì chung đờng cao hạ từ đỉnh P xuống cạnhÂB và BM = 45AB) Hay SPBM = 45 x 15SABC = 254 SABC (4)
Thay (2), (3) và (4) vào (1) ta có:
SMNP = SABC – (253 +258 +254 ) SABC = 1025SABC
Vậy SMNPSABC =
2
5 Đáp số:
2 5
Bài tập 10
Trong tam giác ABC, BC = 6BD, AC
= 5 EC, DG = GH = HE, FA = FG
Hãy tìm tỉ lệ diện tích tam giác FGH
và tam giác ABC (Đề thi Toán Quốc
tee Tiểu học ở Hồng Kông)
E G
F
D
H
C B
A
H
ớng dẫn
+ Nối A với D, ta thấy:
_SACD = 56 x SABC (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, mà CD =
5
6 BC)
Trang 9_SADE = 45SACD =45 x 56 x SABC = 23 x SABC (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh D xuống cạnh AC, mà AE = 45 AC)
_SAEG = 23 x SADE =23 x 23 x SABC = 49 x SABC (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh
A xuống cạnh DE, mà EG = 23 DE)
+ Nối A với H, ta thấy:
_SAGH = 12 x SAEG = 12 x 49 x SABC =29 x SABC (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh
A xuống cạnh EG, mà GH = 12EG)
_SFGH = 12 x SAGH = 12 x 29 x SABC =19 x SABC (Vì có chung đờng cao hạ từ đỉnh
H xuống cạnh AG, mà FG = 12AG)
Đáp số: SFGHSABC= ¿ 1
9
Bài tập 11
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
24cm2 Diện tích hình tam giác ABE
và ADF là 4cm2 và 9cm2 Tính diện
tích hình tam giác AEF (Đề thi
Olympic Toán Tiểu học năm 2001
tại Sin-ga-po-re.)
F A
D
E
H
ớng dẫn
+ Nối A với C, ta có:
SACD = SABC = 12 x SABC
Diện tích hình tam giác ACD ( hay ABC) là:
24 x 12 = 12 (cm2)
_SACF = SACD - SADF
Diện tích hình tam giác ACF là:
12 - 9 = 3 (cm2)
_Hai hình tam giác ACF và ACD có chung đờng cao AD, mà SACFSACD= ¿ 3 : 12 = 14 nên CFCD =14 hay CF = 14 x CD (1)
_SACE = SABC - SABE
Diện tích hình tam giác ACE là:
12 - 4 = 8 (cm2)
Trang 10_Hai hình tam giác ACE và ABC có chung đờng cao AB, mà SACESABC= ¿ 8 : 12 = 23 nên CEBC =23 hay CE = 23 x BC (2)
Từ (1) và (2), ta có:
(14 x CD x 23 x BC) : 2 =121 x ( CD x BC)
Diện tích hình tam giác CEF là:
24 x 121 = 2(cm2)
_SAECF = SACE + SACF
Diện tích hình tứ giác AECF là:
8 + 3 = 11 (cm2)
_SAEF = SAFCE - SCEF
Diện tích hình tam giác AEF là:
11 - 2 = 9 (cm2)
Đáp số: 9cm2
III Dạng 3: Giải bằng phơng pháp chia hình (cắt, ghép)
Chia hình đã cho thành các hình tam giác có diện tích bằng nhau từ đó tính đợc diện tích hình theo yêu cầu của bài.
Bài tập 12
Cho một lục giác đều Các đỉnh của
một hình chữ nhật nằm tại các trung
điểm các cạnh của lục giác (nh hình
vẽ ) Tính tỉ số diện tích hình chữ
nhật và hình lục giác (Đề thi Toán
Tiểu học ở Hồng Kông)
P F
C
D
Q
E
H
ớng dẫn
Học sinh biết chia hình đã cho thành các phần bằng nhau (các hình tam giác có diện tích bằng nhau) từ đó tìm đựơc diện tích hình theo yêu cầu của bài toán
Nhìn trên hình vẽ, ta thấy: Lục giác đều đợc chia thành 24 hình tam giác bằng nhau và hình chữ nhật MNPQ gồm 12 hình tam giác nh thế
Vậy tỉ số diện tích của hình chữ nhật MNPQ và hình lục giác ABCDEF là:
12 : 24 = 12
Đáp số: SMNPQSABCDEF= ¿ 1
2
Trang 11Bài tập 13
Hình vuông ABCD đợc tạo thành từ 4
hình tam giác và 2 hình vuông nhỏ (nh
hình vẽ bên) Tính diện tích hình vuông
ABCD (Đề thi Olympic Toán Tiểu học
Sin-ga-po-re năm 2002)
10cm
10cm
10cm
B
H
ớng dẫn
Nhìn vào hình vẽ ta thấy: hình vuông ABCD gồm 18 hình hình tam giác vuông có diện tích bằng nhau
Diện tích hình vuông ABCD là:
(10 x 10) : 2 x 18 = 900 (cm2)
Đáp số : 900cm2
Bài tập 14
Trong hình vẽ bên, 2 hình vuông A và B
nằm trong một hình vuông lớn Tính tỉ số
diện tích hình vuông A so với hình vuông
B (Đề thi Olympic Toán Tiểu học
Sin-ga-po-re năm 2002)
M
N
B A
P Q
H
ớng dẫn
Nhìn vào hình vẽ ta thấy:
+ Hình vuông MNPQ gồm 4 hình vuông B nên
SB = 14SMNPQ (1) + Hình vuông MNPQ gồm 18 hình tam giác vuông có diện tích bằng nhau mà hình A là
4 hình tam giác nh thế
SA = 29SMNPQ (2)
Từ (1) và (2) ta có: SASB= 29 : 14 = 89
Trang 12Đáp số: SASB= 89.
Chơng V: khảo sát kết quả học tập của học sịnh.
Phạm vi và đối tợng áp dụng của đề tài trên 05 đối tợng học sinh các lớp của khối lớp 5 năm học 2008 – 2009 Các em có cùng độ tuổi, thành tích học tập Tỉ lệ nam/ nữ là 3/2 Sau khi đã kết thúc nội dung bồi dỡng, tiến hành khảo sát kết quả thể hiện qua bảng sau:
05- 5 - 1998 27- 9 - 1998 16- 3 - 1998 01- 9 - 1998
X
X
X X
Học sinh giỏi Học sinh giỏi
Học sinh giỏi
Học sinh giỏi
Học sinh giỏi
Đinh Thành Vững
Nguyễn Thanh Tú
Vũ Thị Thuỷ
Nguyễn Thị Hạnh
Cao Thái Bảo
5
4
3
2
1
Vận dung linh hoạt Hiểu
Nắm bắt
Mức độ tiếp thu Thành tích học tập
năm tr ớc
Ngày, tháng, năm sinh
Họ và tên TT
Phần III: Kết luận
I Kết luận chung.
+ Hứng thú đối với học tập là một nguyên nhân quan trọng ảnh hởng tới kết quả học tập của học sinh Học sinh có hứng thú đối với việc học tập thì công việc lao động đó đối với các em rất nhẹ nhàng, thoải mái Ngợc lại,
nếu không có hứng thú các em sẽ cảm thấy chán nản, mệt mỏi và việc học tập trở lên nặng nề, cực hình đối với các em Do đó việc học sinh có hứng thú học tập hay không quyết định phần lớn đến kết quả học tập của các em + Căn cứ vào quá trình hình thành và phát triển hứng thú của học sinh ta
có thể chủ động gây hứng thú cho các em trong học tập Trớc hết, giáo viên
Trang 13phải biết tổ chức hoạt động học tập của học sinh sao cho các em cảm thấy
có niềm vui sớng trong hoạt động đó Khi tổ chức hoạt động nên tránh khó khăn, căng thẳng ban đầu cần tiến hành nhẹ nhàng nhng có kết quả
+ Mỗi kết quả- sự tiến bộ trong học tập của học sinh dù lớn hay nhỏ cũng phải đợc đánh giá kịp thời và công bằng Trong việc hình thành, bồi dỡng hứng thú học tập cho học sinh thì vai trò của giáo viên là yếu tố quyết định,
nó thể hiện ở sự cải biến nội dung học tập một cách phong phú, sâu sắc và sôi động có sức lôi cuốn học sinh
II Những giải pháp để day học các bài khó về diện tích hình tam giác
Để việc dạy học nội dung Toán nâng cao nói chung và nội dung nâng cao về diện tích hình tam giác nói riêng cho học sinh giỏi lớp 5 đòi hỏi phải
có sự “ say mê “ cả từ phía thầy và trò Nhờ có sự nghiên cứu và phân dạng một cách khoa học thì giáo viên sẽ có cách thức truyền thụ phù hợp đến đối tợng học sinh Giúp các em nắm vững và có hệ thống kiến thức nâng cao từ
đó vận dụng để làm bài hiệu quả Về phía học sinh, chỉ khi nào các em có
đợc sự ham thích thực sự với các bài toán khó (thấy đợc niềm vui, sự bất ngờ thú vị khi giải đợc hoặc khám phá ra một cách giải mới) thì việc học mới có hiệu quả tốt nhất
Trên cơ sở đó, để áp dụng hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:
“ hớng dẫn giảI các bài toán khó về diện tích hình tam giác cho học sinh giỏi lớp 5 ” cần đáp ứng các yêu cầu từ phía giáo viên và học sinh
nh sau:
1.1 Nghiên cứu tài liệu
Trớc khi bồi dỡng cho học sinh cần nghiên cứu các phơng pháp giải toán ở bậc Tiểu học- đặc biệt là Phơng pháp diện tích
Sau đó là giải và phân loại thành từng dạng nhỏ (có thể theo sự phân loại của bản thân để giúp cho việc truyền thụ cho học sinh sau này đợc thuận lợi, liền mạch kiến thức)
Trong quá trình hớng dẫn học sinh giải từng bài tập giáo viên cần đa ra nhiều cách giải khác nhau để học sinh có thể mở rộng bài toán Nhng cần tránh đa thêm những cách giải rờm rà hoặc quá phức tạp sẽ làm
“loãng” kiến thức trọng tâm cần cung cấp của bài