- Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm - Điểm toàm bài không làm tròn.. thoả mãn điều ki[r]
Trang 1UBND HUYỆN LẠC SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
BẬC THCS, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn Toán
(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức
: 1
Với x 0; x 4; x 9
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A khi x 4 2 3
c) Với giá trị nào của x thì
1
A đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 2 (4,0 điểm) Cho các hàm số sau:
y=− x+5 ; y=1
4 x ; y=4 x
a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy?
b) Tính diện tích của tam giác được tạo bởi ba đường thẳng này?
Bài 3 (2,0 điểm )
a) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : x4y4 xy3x y3
b) Chứng minh : 4 2011 4 2012 4 2013 chia hết cho 84 Bài 4 (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với đường chéo AC.Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AH và CD.Tính góc BME Bài 5 (6,0điểm): Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên Ax và By lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho MON 900 ( Với O là trung điểm của AB) Chứng minh rằng a) NM = AM + BN b) NM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB c) AM BN = 2 4 AB Bài 6 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 33 A x y xy
Hết
Họ,tên thí sinh SBD Trường
Người coi thi số1 Người coi thi số2
UBND HUYỆN LẠC SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 - 2013
BỘ MÔN : TOÁN
-Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài.
- Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập
luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm
- Điểm toàm bài không làm tròn.
1
2
a) Với điều kiện * ta có:
:
:
1
x
(0,5điểm)
:
1
x
x
(0,5điểm)
:
x
(0,5điểm)
b) ta có x 4 2 3 3 1 2
thoả mãn điều kiện Khi đó: x 3 1 2 3 1
(0,5điểm)
Do vậy, giá trị của biểu thức A là:
(0,5điểm)
c) ta có
1
A
A
Để
1
A có GTNN thì
3 1
x có GTLN, hay x 1 có GTNN.Ta có:
1 1
x , dấu "=" xảy ra khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất của
1
A là
3
0 1
, xảy ra khi x = 0 (0,5điểm)
a) Chứng minh với mọi x,y ta có : x4y4 xy3x y3 (1)
(1) x4y4 xy3x y3 x(x3- y3) – y(x3- y3) 0
(x-y)2(x2 + xy + y2) 0 (0,5điểm)
(x-y)2
2 2
(2)
5,0đ
2,0đ
Trang 3(2) luôn đúng (1) đúng
Dấu “ =” xảy ra khi x = y (0,5điểm)
b) Chứng minh : 4 2011 4 2012 4 2013 chia hết cho 84.
Ta có 4 2011 4 2012 4 2013 4 20111 4 4 2 4 2011 21 4 2010 84
(0,5điểm)
chứng tỏ 4 2011 4 2012 4 2013 chia hết cho 84 (0,5điểm)
3
a) lập luận và vẽ đúng đồ thị mỗi hàm số cho 1,0 đ ( 3,0 điểm)
b)Gọi giao điểm của đường thẳng y= - x + 5 và đường thẳng
1 4
y x
là E ta có: Hoành độ của điểm E phải thỏa mãn phương trình
-x + 5 =
1
4x Suy ra x = 4; y = 1 và E(4;1)
Tương tự: D là giao điểm của 2 đường thẳng y = 4x và y= -x + 5 và có tọa độ
là : D(1;4) (0,5điểm)
SDOE = SOAB - SODA - SOEB )
=
2 2 2
= 1 DN
2 =
1
2(5.5 – 5.1 – 5.1) = 7,5 (0,5điểm)
4,0đ
Trang 4Vẽ hình ghi GT & KL đỳng (0,5điểm)
Gọi N là trung điểm của BH
Lập luận chứng minh được
N là trực tâm của tam giác BMC CN BM
(0,5điểm)
Lập luận chứng minh tứ giác MNCE là hình
b.hành
/ /
(0,5điểm)
Mà CN BM Suy ra MEBM hay BME 900 (0,5điểm)
2,0đ
4
Vẽ hình ghi GT & KL đúng (0,5điểm)
a) Gọi giao điểm của tia MA và NO là
E chứng minh được: BN = AE, OE = ON
(1,0điểm)
Lập luận chứng tỏ EMN cân tại M
Suy ra MN = ME = AM + BN
(1,0điểm)
b)Kẻ OK vuông góc NM Chứng minh
được
OK = OA (1,0điểm)
Suy ra MN là tiếp tuyến của ( O; AB/2)
(0,5điểm)
c)Xét tam giác vuông MON có OK là đường cao
Có hệ thức OK2 MK KN. (0,5điểm)
Mà MK = AM, KN = BN ( T/c tiếp tuyến)
Suy ra AM BN =
2 2
4
AB
OK
(0,5điểm)
5,0đ
5
a ) Ta có
2 2
x y x xy y
x y
Cũng từ
2 2
x y xy x y xy
x y xy
xy
(0,5điểm)
Từ ( *) Và (**) suy ra A =
8
x y
xy
2,0đ
O A
B
x
y
M
N K
E
B
C
H
M
E T
N
Trang 5dấu " =" xảy ra x y 2.
Vậy Min A =
65
2
4 x y (0,5điểm)