H là trực tâm tam giác.. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?. Câu 5: 4 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH.. Vẽ đờng tròn tâm O, đờng kính AH, đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC th
Trang 1UBND HUYỆN MAI SƠN
PHềNG GD&ĐT
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phỳc
Đề chớnh thức
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 - CẤP THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
Mụn: Toỏn – Vũng 1
Ngày thi: 24/01/2011
(Thời gian: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm) Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
b)
2 2
2 0
Câu2: (4 điểm)
a) Cho biết 2 2
x
x x Hãy tính giá trị của biểu thức
2
x
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
x
Câu 3: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, có A H là trực tâm tam giác Tính tỉ số AH
BC theo .
Câu 4: (3 điểm)
Có 37 cây hồng có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, còn lại chia đều cho 79 ngời Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm O, đờng kính AH, đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E và F
a) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng
b) Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ E và F cắt cạnh BC tơng ứng ở
M và N Chứng minh tam giác MON là tam giác vuông
c) Biết AB = 8 cm, AC = 14 cm Tính diện tích tứ giác MEFN?
Hết
-(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
UBND HUYỆN MAI SƠN
PHềNG GD&ĐT
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phỳc
Trang 2ĐÁP ÁN THI CHỌN HSG LỚP 9 - CẤP THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
Mụn: Toỏn – Vũng 1 - Ngày thi: 24/01/2011 Câu 1: (6 điểm) Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 (1) Điều kiện: x 5
2
Nhân hai vế với 2 ta có (1) (2x 5) 6 2 x 5 9 2x 5 2 2 x 5 1 4
( 2x 5 3) 2 ( 2x 5 1) 2 4
2x 5 3 2x 5 1 4
(2)
*) Với x 3 thì (2) có dạng: 2x 5 3 2x 5 1 4
2x 5 1
(Thoả mãn x 3 )
*) Với 5
3
2 x thì (2) có dạng: 2x 5 3 1 2x 5 4 luôn thoả mãn.
Vậy nghiệm của (1) là: 5
3
2 x (3 điểm)
b)
2 2
2 0
2 3 (1)
*) Ta thấy x = 0 ; y = 0 là một nghiệm của hệ
*) Với x 0;y 0 Chia (1) cho y2, chia (2) cho x2 ta đợc:
2 2
2 2
2
3 (3) 2
(4)
x x
y y
Nhân hai phơng trình với nhau ta đợc hệ (3), (4) tơng đơng với:
2
2
2
4 3(5)
3
x
xy
(5) tơng đơng với (xy)2 – 3xy – 4 = 0 1
4
xy
Thay xy = -1 hay y = - 1
x vào (1) ta đợc:
1 2
Thay xy = 4 hay y = 4
x vào (1) ta đợc:
3
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm là x = y = 0; x = -1, y = 1 và 32 3
2 3 3
(3 điểm)
Trang 3Câu2: (4 điểm)
x
2
x
1
2
4 2
2
2
4 2
4
1 21
x
(2 điểm)
b) P(x) =
2
4 2
1
x
P(x) > 0 với mọi x 0, P(0) = 0
Với x 0 ta có 1 2 12
1 3 ( ) x
P x x ( vì
2 2
1
x x
2)
Dấu “=” đạt đợc khi và chỉ khi x2 = 1 1
1 ( )
3
Hay P(x) đạt giá trị
lớn nhất bằng 1
3khi và chỉ khi x 1 (2 điểm)
Câu 3: (3 điểm)
Vẽ đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
Vẽ đờng kính CE ta có: BEC BAC
EB BC EB // AH
EA AC EA // BH
EBHA là hình bình hành Vậy EB = AH
BC = EB tan = AH.tan
cot tan
Câu 4: (3 điểm)
Gọi a là số quả của mỗi cây hồng, và b là số quả của mỗi ngời đợc chia
Ta có phơng trình: 37.a – 17 = 79.b với a,b N*
a = 79 17 5 17
2.
b
Do a,b N* nên 5 17
37
b
= c N*
2( 1)
7 3
5
c
Do b, c N* nên 2(c – 1) chia hết cho 5
5 1( )
Do đó ta có: a = 79.d +9
b = 37.d + 4
a,b N*; dN a 9 a đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi d = 0
Vậy mỗi cây hồng có ít nhất 9 quả
Câu 5: (4 điểm)
A
A
C
E
B
H O.
.
Trang 4a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì :
A E F 90 0Mà O là trung điểm của AH
nên E, O, H thẳng hàng
(1 điểm)
b) ME = MH, OE = OH OM là trung
trực của EH
OM EH, AE EH AE//OM Tơng tự:
90
Vậy tam giác OMN vuông
(1,5 điểm)
c) Tam giác AHB có OM là đờng trung
2
OM
AB
MEO MHO NFO NHO
Vậy: SMEFN = 2SMON mà 1
4
OMN ABC
S
OMN ABC MEFN ABC
1 8.14 2
Giỏo viờn ra đề: Trần Thị Thu Hiền Trịnh Thị Thanh Hà
O
B
E
C
M
F
