Nhóm vi phôi của các đa tạp không compact với tôpô whitney

HỒ CHÍ MINH Lại Thị Ngọc Diệp NHÓM VI PHÔI CỦA CÁC ĐA TẠP KHÔNG COMPACT VỚI TÔPÔ WHITNEY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016... LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lại Thị Ngọc Diệp

NHÓM VI PHÔI CỦA CÁC ĐA TẠP

KHÔNG COMPACT VỚI TÔPÔ WHITNEY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lại Thị Ngọc Diệp

NHÓM VI PHÔI CỦA CÁC ĐA TẠP

KHÔNG COMPACT VỚI TÔPÔ WHITNEY

huy n ng nh: H nh học và tôpô

Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGU N H TH NH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề t i “Nhóm vi phôi của các

đa tạp không compact với tôpô Whitney” l do cá nhân tôi thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh, hoàn toàn không sao chép của bất cứ ai Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các bài báo, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo

Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2016

Học viên cao học

Lại Thị Ngọc Diệp

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường ại học Sư phạm Th nh phố

H hí Minh, dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn H Thanh Qua đây, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy ám ơn Thầy đã dạy bảo, hướng dẫn và giúp em có thêm nhiều kiến thức để có thể nghiên cứu và hoàn thành luận văn

ng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân th nh đến quý thầy cô khoa Toán – Tin trường ại học Sư phạm Th nh phố H hí Minh đã tận t nh dạy d v gi p tôi có thêm nhiều kiến thức cần thiết để thực hiện luận văn n y

hân th nh cám ơn quý thầy cô Phòng Sau đại học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến gia đ nh v bạn bè – những người đã luôn luôn ở b n động vi n v gi p đỡ tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2016

Học viên cao học

Lại Thị Ngọc Diệp

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Ký hiệu

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 ơ sở, lân cận, cơ sở lân cận của không gian tôpô 4

1.2 Ánh xạ li n tục 5

1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đ ng phôi, ánh xạ vi phôi 5

1.4 Không gian thương 6

1.5 Không gian mêtric hóa 7

1.6 Không gian compact 7

1.7 Không gian paracompact 9

1.8 Không gian liên thông 10

1.9 Không gian Hilbert 11

1.10 a tạp 12

1.11 ng luân 14

1.12 Không gian co r t được 15

Chương 2.CÁC KHÔNG GIAN CON MỞ CỦA KHÔNG GIAN LF

VÀ KHÔNG GIAN CÁC PHÉP NHÚNG 16

2.1 ác không gian con mở của không gian LF 16

2.2 Không gian của các phép nh ng 25

Chương 3 NHÓM VI PHÔI CỦA CÁC ĐA TẠP KHÔNG COMPACT 34

3.1 Nhóm vi phôi của các đa tạp không compact 34

3.2 ác kết quả quan trọng 42

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

KÝ HIỆU

M : đa tạp n chiều không compact, không có biên

( )M : nhóm vi phôi của đa tạp M với tôpô Whitney

( )

c M : nhóm vi phôi của đa tạp M có giá compact, c( )M ( )M

0( )M : thành phần li n thông đơn vị của ( )M

2

l : không gian Hilbert tách được

i X : tích hộp của dãy các không gian tôpô ( ) i X i i

i X : tích hộp nhỏ dãy các không gian điểm ( ,* ), i X i i i

( ; )M K : nhóm con đóng của ( ) M sao cho ( ), K

K

h M h id , với mọi tập con K M

0( ; )M K : thành phần li n thông đơn vị của ( ; )M K

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các đề tài nghiên cứu về cấu trúc tôpô của nhóm vi phôi là một bài toán luôn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và có nhiều hướng mở rộng V o năm 1967, nhóm vi phôi được nh toán học J Leslie nghi n cứu với đề t i “On a differential structure for the group of diffeomorphisms” đăng tr n tạp chí toán học Topology ến năm 1979, nh toán học N V Ivanov cũng đã t m hiểu v nghi n cứu nhóm vi phôi đăng tr n tạp chí toán học Journal of Soviet mathematics với đề t i “Diffeomorphism groups of Waldhausen manifolds” Sau đó, các nh toán học T Banakh, K Mine, D Repovs, K Sakai, T agasaki cũng đã t m hiểu v nghi n cứu về nhóm vi phôi

Trong luận văn n y, ch ng tôi sẽ nghiên cứu về cấu trúc tôpô của nhóm vi phôi của các đa tạp không compact với tôpô Whitney Cho M là một đa tạp n chiều không

compact, không có bi n Khi đó ta ký hiệu ( )M là nhóm vi phôi của M với tôpô

Whitney, c( )M là nhóm vi phôi của M có giá compact và 0( )M là thành phần liên thông đơn vị của ( )M , là một nhóm con mở trong nhóm c( )M ( )M

Trong [4], T Banakh, K Mine, K Sakai v T agasaki đã chỉ ra rằng c( )M là một đa tạp paracompact, 0( )M là một nhóm con mở của c( )M và ( )M là đ ng

phôi địa phương với tích hộp i l2, trong đó l2 l không gian Hilbert tách được Trong [5], [6], [7], T Banach v D Repovs đã nghi n cứu tính chất tôpô của các giới hạn trực tiếp trong nhóm các không gian đ ng dạng Những kết quả n y đã được

áp dụng trong [3] để đưa ra một tiêu chuẩn đơn giản để nhận biết nhóm tôpô đ ng phôi với không gian con mở của l2 Trong [2], tiêu chuẩn n y đã được sử dụng để nhận biết cấu trúc tôpô của nhóm đ ng phôi của bề mặt không compact

Với mong muốn sẽ áp dụng các kết quả tr n để tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu

sâu hơn về nhóm vi phôi của các đa tạp, tôi đã chọn đề tài “Nhóm vi phôi của các đa tạp không compact với tôpô Whitney”

Chúng tôi nghiên cứu luận văn n y dựa trên các kết quả của bài báo

“Diffeomorphism groups of non-compact manifolds endowed with the Whitney C topology” của tác giả T Banakh và T Yagasaki, xuất bản năm 2015 trên tạp chí toán

học Topology and its Applications số 179

2 Mục đích

Tìm hiểu và nghiên cứu về cấu trúc tôpô của nhóm vi phôi của các đa tạp không compact với tôpô Whitney

3 Đối tƣợng và nội dung nghiên cứu

Nhóm vi phôi v các đa tạp không compact

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Trong luận văn n y, ch ng ta sẽ nghiên cứu và làm rõ sự mơ h trong lý thuyết tôpô Whitney trong nhóm vi phôi của các đa tạp không compact, sau đó sẽ đưa ra một

số kết quả quan trọng trong nhóm c( )M

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia l m ba chương với nội dung cụ thể như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cần thiết liên quan

đến các chương sau của luận văn

Chương 2: Các không gian con mở của không gian LF và không gian các phép nhúng: Trình bày các khái niệm và các kết quả quan trọng trong không gian LF

và không gian các phép nhúng, cùng với các tiêu chuẩn để nhận biết nhóm tôpô đ ng

phôi với các tập con mở của không gian LF không mêtric hóa, tách được l2

Chương 3: Nhóm vi phôi của các đa tạp không compact: Trình bày về một số

mệnh đề v định nghĩa trong nhóm vi phôi của các đa tạp không compact và một số kết quả quan trọng trong nhóm c( )M

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

hương n y sẽ tr nh b y các kiến thức cần thiết có li n quan đến các chương sau

Ở đây, các định nghĩa, định lý, hệ quả v các mệnh đề, bổ đề chỉ phát biểu chứ không chứng minh

Những kiến thức được tr nh b y trong chương 1, chúng tôi đã tham khảo v trích dẫn từ các giáo trình đã học trong 4 năm đại học v 2 năm cao học tại trường ại học

Sư phạm Th nh phố H hí Minh

1.1 Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận của không gian tôpô

Cho ( , )X là không gian tôpô

i) Họ được gọi l một cơ sở của tôpô nếu:

ii) Với x X , tập V X được gọi l một lân cận của x nếu t n tại tập mở G

sao cho x G V

Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x

Họ g m các lân cận của x được ký hiệu là x

Nhận xét

 Mọi lân cận của X đều chứa một lân cận mở

 Tập G là mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc nó

iii) Họ x x được gọi l cơ sở lân cận của x nếu:

:

f x trong Y đều t n tại lân cận U của x0 trong X sao cho ( )f U V

Hoặc: ánh xạ f X: Y được gọi l liên tục tại x0 X nếu với mọi lân cận V

của f x( )0 trong Y thì f 1( )V l lân cận của x0 trong X

Ánh xạ f X: Y gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x X

1.2.2 Định lý

Với mọi ánh xạ f X: Y , các điều kiện sau l tương đương:

i) f li n tục tr n X

ii) Ảnh ngược của mở l mở ( V mở trong Y f 1( )V mở trong X )

iii) Ảnh ngược của đóng l đóng ( V đóng trong Y f 1( )V đóng trong X )

Hai không gian được gọi l đ ng phôi nhau nếu t n tại một phép đ ng phôi từ không gian này vào không gian kia

Hai không gian đ ng phôi còn được gọi l hai không gian tương đương tôpô

1.3.3 Định lý

Cho X , Y là các không gian tôpô và song ánh f X: Y Khi đó f l đ ng phôi khi v chỉ khi f l ánh xạ li n tục v mở (hoặc đóng)

1.3.4 Ánh xạ vi phôi

Ánh xạ f X: Y được gọi l vi phôi nếu f l đ ng phôi v f ,f 1khả vi

1.4 Không gian thương

Không gian tôpô (X , )

R gọi l không gian thương của không gian tôpô ( , )X theo quan hệ tương đương R

1.4.2 Định lý

Cho phép chiếu chính tắc :X X

R v ánh xạ f : X R Y Ánh xạ f liên tục khi v chỉ khi f li n tục

1.5 Không gian mêtric hóa

1.5.1 Định nghĩa tôpô sinh bởi mêtric

Cho không gian mêtric ( , )X d Ta xác định trong ( , ) X d một tập hợp các tập

con của X như sau:

{U X : x U r, 0 sao cho B x r( , ) U} Khi đó l một tôpô tr n X Tôpô xác định như tr n gọi l tôpô sinh ra bởi mêtric d trên X , các phần tử thuộc được gọi l các tập mở trong ( , )X d

1.5.2 Định nghĩa không gian mêtric hóa

Không gian tôpô ( , )X được gọi l không gian m tric hóa (hay không gian

m tric hoá được) nếu tr n X có một m tric d sao cho tôpô sinh bởi m tric d trùng với tôpô trên X

1.6 Không gian compact

1.6.1 Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn

Cho không gian tôpô X , tập A X

i) Một họ { } V i i I các tập con của X được gọi l một phủ của A nếu i

i I

A V

ii) { } V i i I được gọi l một phủ mở của A nếu V i là tập mở, i I

iii) { } V i i I được gọi l một phủ hữu hạn của A nếu I l hữu hạn

1.6.2 Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn

Cho không gian tôpô X , tập A X và { } V i i I l một phủ của A

i) Nếu J I mà { } V i i J cũng l một phủ của A thì { } V i i J được gọi l một phủ con của { }V i i I

ii) Nếu tập J hữu hạn th { }V i i J được gọi l phủ con hữu hạn của { }V i i I

1.6.3 Định nghĩa không gian compact

Một không gian tôpô được gọi l không gian compact nếu mọi phủ mở của nó

đều có chứa phủ con hữu hạn

Tập con A của không gian tôpô ( , ) X được gọi l tập compact nếu ( ,A A) là một không gian compact, với A l tôpô cảm sinh bởi tôpô trong X

Tập con A trong không gian tôpô X được gọi l tập compact nếu mọi phủ mở

của A đều có chứa phủ con hữu hạn

i) Tập con đóng của không gian compact là tập compact

ii) Tập con compact của không gian compact là tập đóng

iii) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc

iv) Cho ánh xạ f X: Y liên tục và A là tập con compact trong X thì ( )f A

là tập con compact trong Y

v) Nếu f X: Y là song ánh liên tục, X là compact và Y là Hausdorff thì f là phép đ ng phôi

1.6.5 Compact hóa

Cho X là không gian không compact Không gian compact Y cùng với ánh xạ :

f X Y l phép đ ng phôi từ X lên ( )f X và ( ) f X trù mật khắp nơi trong Y

được gọi l một compact hóa của không gian X

1.6.6 Compact theo dãy

Không gian tôpô ( , )X được gọi l compact theo dãy nếu m i dãy trong X có

một dãy con hội tụ

1.7 Không gian paracompact

1.7.1 Định nghĩa hữu hạn địa phương

Cho không gian tôpô ( , )X Một họ các tập con của X được gọi l hữu hạn địa phương trong X khi v chỉ khi m i điểm của X có một lân cận chỉ giao với một

số hữu hạn các phần tử của họ

Ví dụ: Họ {(0,1 / ) :n n } l hữu hạn địa phương trong (0,1) nhưng

không hữu hạn địa phương trong

1.7.2 Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đóng

Cho và l hai họ các tập con của không gian tôpô X

i) được gọi là một cái mịn của ( hay làm mịn ) nếu m i phần tử

U t n tại phần tử V sao cho U V

ii) được gọi l một cái mịn mở của ( hay l m mịn mở ) nếu l một cái mịn của v các phần tử của l các tập mở

iii) được gọi l một cái mịn đóng của ( hay l m mịn đóng ) nếu là một cái mịn của v các phần tử của là các tập đóng

1.7.3 Định nghĩa không gian paracompact

Không gian tôpô X được gọi l paracompact nếu nó chính qui v m i phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương

1.7.4 Định lý

Nếu X l không gian tôpô chính qui Th các điều kiện sau đây l tương đương:

i) Không gian X paracompact

ii) M i phủ mở của X có cái mịn hữu hạn địa phương

iii) M i phủ mở của X có cái mịn hữu hạn địa phương đóng

iv) M i phủ mở của X có cái mịn – rời rạc mở

v) M i phủ mở của X có cái mịn hữu hạn – địa phương mở

1.7.5 Hệ quả

i) M i không gian paracompact là không gian chuẩn tắc

ii) M i không gian m tric hóa được l không gian paracompact ( ịnh lý A

H.Stone)

1.7.6 Định lý

i) Không gian con đóng của không gian paracompact là paracompact

ii) M i không gian chính qui Lindelöf là paracompact

( Một không gian l Lindelöf khi v chỉ khi m i phủ mở của nó có phủ con đếm được )

1.8 Không gian liên thông

1.8.1 Định nghĩa

Cho không gian tôpô ( , )X , tập A X được gọi l li n thông nếu không t n

tại hai tập mở U V, sao cho:

Cho không gian tôpô ( , )X Các mệnh đề sau l tương đương:

i) ( , ) X không liên thông

ii) X là tập của hai tập con tách biệt không r ng

iii) X là hợp của hai tập con đóng khác r ng rời nhau

iv) X là hợp của hai tập con mở khác r ng rời nhau

Nếu f li n tục v A l tập li n thông th ( ) f A l tập li n thông

1.8.7 Liên thông địa phương

Không gian tôpô ( , )X được gọi l li n thông địa phương nếu với m i điểm

x X v m i lân cận V của x , t n tại một lân cận của x chứa trong V

 M i thành phần liên thông của X là tập con đóng của X

 Nếu hai không gian là đ ng phôi thì có một song ánh giữa các tập hợp các

thành phần liên thông của hai không gian đó

 Cho f X: Y là phép đ ng phôi Nếu A là thành phần liên thông của

X thì ( )f A là thành phần liên thông của Y

1.9 Không gian Hilbert

Trong toán học, không gian Hilbert l một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid m không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều

1.9.3 Định nghĩa không gian Hilbert

Một không gian vectơ X được gọi l không gian Hilbert nếu nó đầy đủ tương ứng với chuẩn x x x, trên X , nghĩa l bất kỳ dãy auchy đều hội tụ về phần

tử trong X

1.10 Đa tạp

1.10.1 Định nghĩa

Một đa tạp khả vi n chiều X ( ký hiệu X n) l một không gian tôpô Hausdorff,

có cơ sở đếm được cùng với một atlas   ,  

I

A U    thỏa mãn:

i) U là tập con mở khác r ng của X với mọi I .

Một đa tạp được gọi l bất khả quy nếu không phải l hợp của 2 tập con đóng

thực sự của nó (nghĩa l không t n tại các tập đóng)

1.10.5 Đa tạp có biên

Một đa tạp với biên l một đa tạp với một đường bi n (cạnh)

Ví dụ:

 Biên của một đa tạp  n chiều với biên là một đa tạp (n 1) chiều

 Một đĩa (vòng tròn cộng với phần trong) là đa tạp 2 chiều với biên Biên

của nó là một vòng tròn, một đa tạp 1 chiều

 Một quả bóng (hình cầu cộng với phần trong) là một đa tạp 3 chiều với

biên Biên của nó là một mặt cầu, đa tạp 2 chiều

1.10.6 Đa tạp Hilbert

Một đa tạp Hilbert l một đa tạp theo mô h nh không gian Hilbert V vậy, nó l một không gian Hausdorff tách được trong đó m i điểm có một lân cận đ ng phôi với một không gian Hilbert vô hạn chiều

1.11 Đồng luân

1.11.1 Các định nghĩa

Một cặp tôpô ( , )X A g m một không gian tôpô X v một không gian con

A X Nếu A th ta quy ước ( , )X chính là X

Cho ( , )X A và ( , ) Y B l hai cặp tôpô Một ánh xạ li n tục : ( , ) f X A ( , )Y B

l một ánh xạ li n tục f X: Y sao cho ( )f A B

Cho I [0,1] và ( , )X A l một cặp tôpô ( , ) X A I (X I A I l một cặp , )tôpô

1.11.2 Định nghĩa ánh xạ tương đương đồng luân

ho hai ánh xạ , : ( , )f g X A ( , )Y B và X' X , ' '

X X

f g Ta nói f tương đương đ ng luân với g tương đối tr n X' nếu t n tại một ánh xạ li n tục : ( , ) ( , )

1.11.3 Định nghĩa không gian tương đương đồng luân

Hai không gian tôpô X và Y được gọi l tương đương đ ng luân ( hay còn gọi

l cùng một kiểu đ ng luân) nếu t n tại các ánh xạ li n tục f X: Y và g Y: X

sao cho g f đ ng luân với ánh xạ đ ng nhất id X và f g đ ng luân với ánh xạ

Một không gian tôpô X l co r t được khi v chỉ khi ánh xạ đ ng nhất id X của

X l đ ng luân không (nghĩa l tương đương đ ng luân với ánh xạ hằng)

Chương 2

CÁC KHÔNG GIAN CON MỞ CỦA KHÔNG GIAN LF

VÀ KHÔNG GIAN CÁC PHÉP NHÚNG

Trong chương n y ch ng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả quan trọng

trong không gian LF và không gian các phép nhúng, tiêu chuẩn để nhận biết nhóm tôpô đ ng phôi với các tập con mở của không gian LF không mêtric hóa, tách được

2

l

Những kiến thức được tr nh b y trong chương 2, ch ng tôi đã tham khảo và trích dẫn từ tài liệu tham khảo chính và các tài liệu tham khảo [3], [4], [8], [11], [14], [15] Lưu ý: Trong luận văn, m i đa tạp (hữu hạn hoặc vô hạn chiều) được giả định là paracompact

2.1 Các không gian con mở của không gian LF

2.1.1 Định nghĩa giới hạn trực tiếp

Giới hạn trực tiếp limX n của một dãy X1 X2 các không gian tôpô là

n

X X , với tôpô sao cho U là mở trong limX n khi và chỉ khi U X n là

mở trong X n với m i n (limX n X)

2.1.2 Định nghĩa không gian Fréchet

Định nghĩa: Không gian Fréchet l không gian vectơ tôpô l i địa phương, mêtric hóa được, đầy đủ

Định lý: Một không gian vectơ tôpô X là một không gian Fréchet khi và chỉ khi

nó thoả mãn ba tính chất sau:

i) X là l i địa phương

ii) Tôpô của X được cảm sinh bởi một mêtric bất biến qua phép tịnh tiến, nghĩa l một mêtric d X X: sao cho d x y( , ) d x( a y, a) với mọi a x y, , X iều n y có nghĩa l một tập con U của X là mở khi và chỉ khi với mọi u U t n tại một 0 sao cho {v d v u: ( , ) } là một tập con của U

iii) X là một không gian mêtric đầy đủ

2.1.3 Định nghĩa không gian LF

Không gian LF là giới hạn trực tiếp của dãy tăng các không gian Fréchet trong nhóm các không gian vectơ tôpô l i địa phương

Ví dụ: Cho dãy 1 2 3 , giới hạn trực tiếp lim n là một không gian vectơ tôpô Do đó là một không gian LF

Trong phần đầu tiên này, chúng ta nhớ lại tiêu chuẩn để nhận biết nhóm tôpô

đ ng phôi với các tập con mở của không gian  LF không mêtric hóa, tách được 2

l

ầu tiên chúng ta nhắc lại một số định nghĩa v định lý cần thiết

2.1.4 Định nghĩa

Giả sử G là một nhóm tôpô với phần tử đơn vị e Một dãy của các nhóm con

của G là một dãy (G n n) của các nhóm con của G sao cho:

,

n

G G n , là liên tục

2.1.5 Định nghĩa tôpô bù địa phương

Một nhóm con H của một nhóm tôpô G được gọi là tôpô bù địa phương trong

G nếu H l đóng trong G và ánh xạ thương :q G G H/ {xH x: G là một }

bó tầm thường địa phương iều n y l tương đương với q có một thiết diện địa phương tại một số điểm của /G H

Ở đây, một thiết diện địa phương của ánh xạ q X: Y tại một điểm y Y là một ánh xạ liên tục s U: X được định nghĩa tr n một lân cận U của y trong Y

sao cho q s id U

Ở đây, một không gian Polish có nghĩa là một không gian m tric hóa đầy đủ,

tách được và một ANR có nghĩa l một lân cận co rút tuyệt đối của các không gian

mêtric

2.1.8 Định lý 2 (Banach-Mine-Repovs-Sakai-Yagasaki) ([3])

Một nhóm tôpô không m tric hóa được G l đ ng phôi với một tập con mở của hoặc l2 nếu G được trang bị tôpô mạnh đối với một dãy (G n n) của nhóm con đóng của G sao cho m i n ,

i) G n là một đa tạp Hilbert tách được

ii) G n l tôpô bù địa phương trong G n 1 và

iii) M i điểm x của không gian thương G n 1/G là một điểm n Z mạnh

Không gian con mở của l2 đã được nghiên cứu trong [15] ở đây định lý tam giác được cho như sau:

2.1.9 Định lý 3 (Mine-Sakai) ([15])

i) M i không gian con mở X của l2 l đ ng phôi với tích K l2

với K là một phức đơn hữu hạn địa phương

ii) Hai không gian con mở của l2 l đ ng phôi nếu và chỉ nếu ch ng tương đương đ ng luân

Lưu ý rằng với K là một phức đơn hữu hạn địa phương tích N K l2 là một

đa tạp l2 và loại tôpô của nó được xác định bởi loại đ ng luân của nó

2.1.10 Đồng phôi địa phương

Một không gian tôpô X là đồng phôi địa phương với một không gian Y nếu

m i điểm x X có một lân cận mở đ ng phôi với một tập con mở của Y

Nếu th m v o điều kiện X là paracompact thì X được gọi là một đa tạp Y Một đa tạp Hilbert là một không gian paracompact, đ ng phôi địa phương với không gian Hilbert

Hai cặp không gian tôpô ( , )X A và ( , ) Y B được gọi là đồng phôi địa phương nếu với m i điểm a A t n tại một lân cận mở U của a trong X và một tập con mở

V của Y sao cho hai cặp ( ,U U A và ( ,) V V B l đ ng phôi với nhau )

Ký hiệu: ( , )X A ( , )Y B

U , ở đây U i là một tập con mở của X i

Tích hộp nhỏ i X của một dãy các không gian điểm i ( ,* ),X i i i là không gian con của i X xác định bởi: i

Không gian tôpô con trên i X được tạo ra bởi cơ sở bao g m các hộp nhỏ i

i U , ở đây i U i là một tập con mở của X i