Về bất đẳng thức xoay vòng và vận dụng

Lớp bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến trong chương trình phổ thông.Hàng năm, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, thì đề tài về bất đẳngthức thường được chọn lựa.. Với khuô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019

Bảng ký hiệu ii

Chương 1 Về bất đẳng thức xoay vòng 3

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Bất đẳng thức AM–GM 3

1.1.2 Bất đẳng thức H¨older, Jensen 4

1.2 Về bất đẳng thức Schur 5

1.2.1 Bất đẳng thức Schur rời rạc 5

1.2.2 Bất đẳng thức Schur đối với hàm số 10

Chương 2 Một số kết quả liên quan và vận dụng 15 2.1 Một số bất đẳng thức liên hệ giữa ba số dương 15

2.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan tới yếu tố lượng giác 23 2.2.1 Một số kết quả mở rộng 28

2.2.2 Một số bài toán bất đẳng thức vận dụng 34

2.3 Bất đẳng thức Shapiro và một số kết quả liên quan 37

2.3.1 Một số bài toán bất đẳng thức của Diananda và Daykin 39 2.3.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan 40

yz|sin nA|r := yz| sin nA|r + zx| sin nB|r + xy| sin nC|r

2 A := cos 2n+12 Acos2n+12 Bcos2n+12 C

Π cos nA := Π cos nAΠ cos nBΠ cos nC

Lớp bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến trong chương trình phổ thông.Hàng năm, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, thì đề tài về bất đẳngthức thường được chọn lựa Và hiện nay, cũng đã có nhiều tài liệu tiếng việt vềbất đẳng thức, tuy nhiên, những tài liệu khai thác về lịch sử của bất đẳng thứckhông nhiều, chủ yếu khai thác sâu về các chuyên đề cụ thể của từng bài toánbất đẳng thức Với khuôn khổ luận văn thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phươngpháp Toán sơ cấp, tôi chọn lựa đề tài về bất đẳng thức xoay vòng với đối tượng

là các biểu thức nhiều biến đối xứng Mặc dù các bài toán riêng lẻ về biều thứcnhiều biến đối xứng đã được nhiều tác giả khai thác và cải tiến bất đẳng thứctương ứng Vì nhiều lý do trên chúng tôi đã chọn đề tài luận văn là “Bất đẳngthức xoay vòng và vận dụng” Luận văn xoay quanh chủ đề về bất đẳng thứcxoay vòng, với các kết quả kinh điển như bất đẳng thức Schur, bất đẳng thứcShapiro, Nội dung của luận văn không đi sâu vào tổng hợp các bài tập và lờigiải về của lớp bất đẳng thức xoay vòng, mà đi sâu phân tích về lịch sử phát triểncủa dạng bất đẳng thức này Kết quả chính của luận văn là trình bày lại nội dungcủa chương XVI (“Cyclic Inequalites”) tài liệu [13], các tài liệu trích dẫn tươngứng trong sách và tài liệu tham khảo cuối luận văn Cụ thể luận văn đã trình bàynhững vấn đề sau:

Chương 1 Trình bày các dạng của bất đẳng thức Schur, từ dạng rời rạc đếndạng liên tục (đối với lớp hàm dương lồi hoặc đơn điệu)

Chương 2 Trình bày được các một số dạng bất đẳng thức xoay vòng cơ bản,chẳng hạn như lớp bài toán cho ba số dương, các dạng bất đẳng thức xoay vòng

có yếu tố lượng giác, dạng kiểu tam giác, bất đẳng thức Shapiro, một số mởrộng, và các bài toán vận dụng, tổng quát hóa một số bài toàn trong cuốn sáchkinh điển về bất đẳng thức hình học “Geometric Inequalities” xem tài liệu [4].Trong quá trình học tập và nghiên cứu tai trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm và giúp đỡ của các thầy cô cũngnhư toàn thể anh chị em tập thể lớp Cao học Toán K11B Bài luận văn này nhưmột lời tri ân tới tất cả vì đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức và tinh thần quýbáu trong suốt thời gian em là học viên của trường

Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Xuân Quý đãluôn quan tâm ân cần, chỉ bảo, khích lệ và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quátrình học tập cũng như thực hiện đề tài Em xin chân thành cảm ơn những ngườithân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng đường vừa qua!

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2019

Học viên

Bùi Thị Nhất Ninh

1.1.1 Bất đẳng thức AM–GM

Bất đẳng thức AM–GM hay còn được gọi là bất đẳng thức giữa trung bìnhcộng và trung bình nhân được viết tắt là AM-GM hoặc một số tài liệu viết là

AG, có nội dung như sau:

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1, a2, , an là các số không

âm Khi đó

a1 + a2 + · · · + an

n > √n

a1.a2 an

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · an

Bất đẳng thức trên có thể viết lại,

1a

1 n

2 · · · a

1 n

n

Từ ý tưởng này, người ta đã chứng minh được kết quả tổng quát hơn là: Với αi

là các số không âm, có tổng bằng 1, và ai là các số dương (i = 1, 2, , n), thì ta

1.1.2 Bất đẳng thức H¨older, Jensen

Trước tiên, về bất đẳng thức H¨older tồn tại ở nhiều phiên bản, tuy nhiênchúng tôi chỉ trình bày ở dạng đại số và giải tích cơ bản, mà chúng phù hợp vớichương trình phổ thông

Kết quả dưới đây được gọi là bất đẳng thức H¨older

Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích) Giả sử (p, q) là cặp số mũ

p +1

q = 1, f và g là hai hàm số

Z b a

| f (x)g(x)| dx 6

Z b a

| f (x)|pdx

!1p Z b a

|g(x)|qdx

!1q

(1.2)

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho

A | f(x)|p = B |g(x)|q ∀x ∈ [a, b]

Tiếp theo là bất đẳng thức Jensen: Hàm số lồi hay gọi tắt hàm lồi là một kháiniệm quan trọng trong toán học Các kết quả về bất đẳng thức đối với lớp hàmlồi rất đa dạng trong giải tích toán học, để liên hệ tới nội dung của luận văn,chúng tồi trình bày một kết quả kinh điển của lớp bất đẳng thức này, đó là bấtđẳng thức Jensen

Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử hàm số f : (a, b) → R lồi trên

khoảng (a, b) Khi đó với mọi x1, , xn ∈ (a, b) ta có bất đẳng thức sau

1.2.1 Bất đẳng thức Schur rời rạc

Trường hợp đầu tiên mà J Wolstenholme trích dẫn trong cuốn sách “A Book

of Mathemtical problems (1867)” là bài toán sau:

Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì ta có bất đẳng thức,

a(a − b)(a − c)+ b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) > 0 và

a3(a − b)(a − c)+ b3(b − c)(b − a)+ c3(c − a)(c − b) > 0

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schur) Nếu x, y, z là các số dương và λ là số thực

tùy ý, thì ta có bất đẳng thức sau

xλ(x − y)(x − z)+ yλ(y − z)(y − x)+ zλ(z − x)(z − y) > 0 (1.3)

Chứng minh. ĐặtΓ = xλ(x − y)(x − z)+ yλ(y − z)(y − x)+ zλ(z − x)(z − y) Nếu haitrong ba số x, y, z bằng nhau thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng Thật vậy, chẳnghạn y= z, Γ = xλ(x − y)2 Không giảm tính tổng quát, giả sử rằng x > y > z Vì

λ là số thực tùy ý, nên ta xét hai trường hợp; λ > 0 và λ < 0:

Bất đẳng thức (1.3) được gọi là bất đẳng thức Schur Đã có nhiều mở rộngcủa bất đẳng thức Schur Kết quả dưới đây được xem là một mở rộng sơ cấp nhấtcủa loại bất đẳng thức này của U C Guha (1962) như sau

Định lý 1.2.2 Nếu a, b, c, u, v, w là các số thực dương và thỏa mãn các bất đẳng

p < −1 thì các bất đẳng thức (1.4) và (1.5) đổi chiều Trong mỗi trường hợp,

dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.6) xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra

Trong Định lý 1.2.2 đặt p = 1, a = y − z, b = x − z, c = x − y, u = xλ, v =

yλ, w = zλ Như trong chứng minh Định lý 1.2.1 ta có thể giả thiết 0 < z < y < x.Khi đó bất đẳng thức (1.6) chính là bất đẳng thức (1.3) Điều kiện (1.4) xảy radấu bằng và bất đẳng thức (1.5) đúng bởi vì

uλ/2 > vλ/2 hoặc wλ/2 > vλ/2theo như λ > 0 hoặc λ < 0

K S Amur đã có kết quả mở rộng kiểu bất đẳng thức Schur, kết quả chonăm biến công bố (1961)1 Kết quả tiếp theo dưới đây được A Oppenheim vàRoy 0 Davis2 công bố năm 1964 mở rộng cho n biến

Định lý 1.2.3 Giả sử al, , an là n số thực cho trước và x1, , xn là n số thực tùy ý thỏa mãn

1 K S Amur (1961), “An inequalities of Schur’s type for five variables”

2 A Oppenheim và Roy 0 Davis (1964), “Inequalities of Schur’s type”

chứng minh bất đẳng thức (1.8) Thật vậy, với n = 3 thì về phải của (1.8)được viết lại như sau

X = a1(x1 − x2)(x1 − x3)+ a2(x2 − x1)(x2 − x3)

+ a3(x3 − x1)(x3 − x2)

= h

a1/21 (x1 − x2) − a1/23 (x2 − x3)i2+ a1/21 + a1/2

3

2

− a2

(x1 − x2) (x2 − x3)

x2 = x3 < x1 hoặc x1 = x2 > x3 thì suy ra a1 > 0 và a3 > 0 Như vậy, ta

có thể biểu diễn vế trái của bất đẳng thức (1.8) như (1.11) Vậy nếu ta chọn(x1 − x2) : (x2 − x3) = a1/2

3 : a1/21 thì thu được ràng buộc

a2 6 a1/21 + a1/2

3

2

.(ii) Với n > 4 Viết lại điều kiện (1.10) như sau

hạng đầu tiên trong tổng P có dạng

có dấu với ar

x3 = · · · = xn, chia cho x1 − x2 ta thu được

a1(x1 − x3) · · · (x1 − xn) − a2(x2 − x3) · · · (x2 − xn) > 0

Trong bất đẳng thức này, ta chọn x1 > x2 = x3 thì ta suy ra a1 > 0, và chọn

x1 = x2 > x3 thì ta thu được điều kiện a1 > a2 Tương tự như vậy đối với

an−1 và an; và điều kiện đối với ar với 3 6 r 6 n − 2 thu được bằng cáchchọn

x1 = · · · = xr−1 > xr > xr+1 = · · · = xn

Năm 1964 A Oppenheim và Roy O Davies3 đã đưa ra bài toán sau

3 A Oppenheim và Roy O Davies (1964), “Inequalities of Schur’s Type”

Định lý 1.2.4 Giả sử al, , an là n số thực cho trước và x1, , xn là n số thực

1.2.2 Bất đẳng thức Schur đối với hàm số

A W Walker5 đã xét trường hợp λ = 2m thì trong bất đẳng thức Schur sẽđúng với mọi số thực x, y, z, nghĩa là

x2m(x − y)(x − z) + y2m

(y − z)(y − x)+ z2m

(z − x)(z − y) > 0, (1.13)với mọi số thực x, y, z

Kết quả dưới đây là phiên bản của bất đẳng thức Schur đối với hàm số, kếtquả này được E M Wright đưa ra năm 1956

Định lý 1.2.5 Xét I là mọt khoảng trong R và hàm số f : I −→ R+ hoặc lồi hoặc đơn điệu Nếu x, y, z ∈ I, thì

g= f (x) (x − y) (x − z) + f (y) (y − x) (y − z)+

+ f (z) (z − x) (z − y) > 0 (1.14)

4P Ivády (1988),“An application of the mean value theorem”, Math Gazette, 67, pp 126-127.

5 Klamkin M S.(1971), “Duality in triangle inequalities”.

Chứng minh. Nếu x = y , z thì g = f (z)(z − x)2 > 0 Vì vậy, không mất tínhtổng quát ta giả sử x < y < z Dó đó, theo giả thiết ta có

0 < f (y)6 max{ f (x), f (z)}

Hơn nữa, theo giả thiết ta lại có

0 < (z − y)(y − x) < (z − x)(y − x) = (x − y)(x − z)và

0 < (z − y)(y − x) < (z − y)(z − x)

Vì vậy,

f(y)(z − y)(y − x) < f (x)(x − y)(x − z)+ f (z)(z − y)(z − x)

Năm 1985 E K Godunova và V A Levin đã đưa ra lớp hàm sau:

Định nghĩa 1.2.6 Hàm số f xác định trên I, được gọi là thuộc vào lớp Q nếu f

là hàm không âm và thỏa mãn bất đẳng thức sau

Định lý 1.2.7 Xét hàm f (x) > 0 và x là điểm trong của khoảng I, với p(x) =

(1.15) ta có điều phải chứng minh Giả sử bất đẳng thức (1.18) đúng với mọi k,

6 D S Mitrinovi´c và J E Peˇcari´c (1990), “Note on a class of functions of Godunova and Levin”.

Trong bài báo năm 1990 này, Mitrinovi´c và Peˇcari´c cũng chứng minh mộtbất đẳng thức ngược lại, liên quan tới bất đẳng thức (1.18):

Định lý 1.2.9 Xét w = (w1, , wn) ∈ Rn thõa mãn điều kiện

x = (xi)i∈J∪K các số thực sao cho wi , 0, xi ∈ I (i ∈ J ∪ K), WJ∪K > 0,

Chương 2

Một số kết quả liên quan và

vận dụng

2.1 Một số bất đẳng thức liên hệ giữa ba số dương

Giả sử x, y, z là các số dương Khi đó, các hàm số sau là đối xứng

Ta đã biết, phương pháp cơ bản nhất để thu được các bất đẳng thức là sử dụngcác đẳng thức Các kết quả dưới đây được đưa ra bởi M S Klamkin (1971) Bấtđẳng thức

Klamkin1 đã chỉ ra, bằng phép biến đổi cơ bản từ một bất đẳng thức nào đó

ta có thể thu được bất đẳng thức mới, nghĩa là nếu F(x, y, z) > 0 với mọi x, y, zkhông âm thì F(x0, y0, z0) > 0 trong đó

Sử dụng phép biến đổi này, chẳng hạn (2.1) suy ra (2.9).

Klamkin M S (1971) đã đưa ra nhiều ví dụ, chẳng hạn như:

2 van ALBADA, P J (1971), Geometric inequalities and their geometry, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz No 338-352, 41-45.

3 STOLARSKY, K B (1971), Cubic triangle inequalities, Amer Math Monthly 78, 879-881.

Chẳng hạn, với n = 1, thì hiển nhiên bất đẳng thức có dạng

t(x+ y + z) > 0đúng với t > 0

với mọi x, y, z không âm nếu và chỉ nếu λ > 0, ν > 0.

Nếu x, y, z > 0 thì U > 0 (vì không giảm tính tổng quát, ta giả sử x > y > z) Đây

là bất đẳng thức Schur (1.13) với λ = 1 Hiển nhiên là V, W > 0 khi x, y, z > 0.Với đa thức bậc 3 đối xứng, biến x, y, z có thể biểu diễn dạng

P(x, y, z) = λU + µV + νW

4 J F Rigby (1973), “A method of obtaining related triangle inequalities, with applications”

Định lý 2.1.2 ([19]) Bất đẳng thức λU + µV + νW > 0 đúng với mọi x, y, z > 0 khi và chỉ khi λ, µ, ν > 0.

Trong các kết quả nghiên cứu của Klamkin (1971), Albda (1971), Bottema

và Groenman (1977), Rigby (1975, 1978) đã chỉ ra các bất đẳng thức xoay vòngdạng đặc biệt với dấu bằng xảy ra khi x = y = z Cụ thể là:

(a) Với n = 2: λ

T12 − 3T2



> 0, λ > 0, nghĩa làλ

Chứng minh Xλ−Y√λν+Zν = (√X√λ−√Z√ν)2+(2√XZ −Y)√λν 

Định lý 2.1.4 Bất đẳng thức λA + µB + νC > 0 đúng với mọi x, y, z > 0 nếu

cyc

((y+ z − x)√λ − x√ν)2(y − z)2 > 0

(d) Với n = 6, kết quả được Rigby công bố năm 1975 và 1978:

Trường hợp đặc biệt, ta xét các bất đẳng thức bậc 6 với biến x, y, z với các

số hạng không liên quan tới dạng P

cyc x6 và P

cycx5(y + z) Ta có các kýhiệu sau:

Ta dễ dàng có các bất đẳng thức sau P > 0, Q > 0, S > 0, và T > 0 suy ra

từ U > 0 nếu ta thay thế x −→ yz, y −→ zx, z −→ xy

Với mọi bất đẳng thức đối xứng bậc 6 với hệ số dương, và không có số hạngdạngP

cyc x6 vàP

cyc x5(y+ z) đều có dạngP(x, y, z) = αP + βQ + γT + δS > 0

Định lý 2.1.5 Bất đẳng thức αP +βQ+γT +δS > 0 đúng với mọi x, y, z > 0 khi và chỉ khi α, β, γ > 0 và δ > −√βγ.

x2α(x − 1)2 + x

, vì vậy x−4P(x, 1, 0) → α khi x −→ ∞, do đó α > 0 Tacũng có x−4P(x, 1, 1) → β khi x → ∞, vì vậy β > 0, và P(0, 1, 1) = γ, dovậy γ > 0 Vì β, γ > 0 ta có thể viết

P(x, y, y) = y2

(x − y)2(xpβ − y√γ)2 + 2(δ + pβγ)xy Biểu thức này là dương với mọi số dương x, y nếu δ > −√βγ Như vậy, tachứng minh được điều kiện cần

Để chứng minh điều kiện đủ, ta thấy rằng

P(x, y, z) = αP + (βQ − pβγS + γT) + (δ + pβγ)Svà

βQ − pβγS + γT > 0 khi β, γ > 0

Giả sử X > 0 và Y > 0 là các bất đẳng thức đúng với mọi x, y, z > 0, trong

đó X và Y là các biểu thức của x, y, z và Y , aX với a là hằng số Nếu X > Y vớimọi x, y, z > 0 với bất đẳng thức chặt với hầu hết các giá trị x, y, z, ta nói rằng

Y > 0 là tốt hơn bất đẳng thức X > 0.

Ta nói một bất đẳng thức là tốt nhất theo nghĩa yếu nếu không có bất đẳng thức nào trong tập các bất đẳng thức là tốt hơn Một bất đẳng thức là tốt nhất theo nghĩa mạnh nếu nó là bất đẳng thức tốt hơn các bất đẳng thức khác trong

tập hợp các bất đẳng thức

n= 2 Klamkin (1971):

Kết quả tiếp theo là hệ quả của Định lý 1.2.1

5 M S Klamkin (1971)

6 J F Rygby (1978)

Định lý 2.1.9 Trong tập hợp tất cả các bất đẳng thức đối xứng đặc biệt, các bất

đẳng thức dạng λA −

√

λνB + νC > 0 (λ, ν > 0; λ + ν , 0), và B > 0 là các bất đẳng thức tốt nhất theo nghĩa yếu.

n= 5 ([12])

Mọi đa thức bậc 5 đối xứng là tổ hợp tuyến tính của T15, T13T2, T12T3, T1T22

và T2T3 Klamkin sử dụng cụm từ “bất đẳng thức với bộ ba (I, J, K)” thay cho

bất đẳng thức kiểu I > uJ + vK Klamkin đã đưa ra một loạt các kết quả liênquan tới bậc 5, chẳng hạn như, đã chứng minh được:

Định lý 2.1.10 Bất đẳng thức tốt nhất có thể của bộ ba (T1T22, T2T3, T2

1T3) là

T1T22 + 3T2T3 − 4T12T3 > 0

n= 6 Trước tiên, ta trình bày kết quả sau:

Định lý 2.1.11 Trong tập hợp tất cả các bất đẳng thức bậc 6 đặc biệt đối xứng

cycx6 vàP

cycx5(y+ z), bất đẳng thức

βQ − pβγS + γT > 0 (β, γ > 0; β, γ không đồng thời bằng không),

P > 0 và S > 0

là tốt nhất theo nghĩa yếu.

Một số bất đẳng thức tốt nhất theo nghĩa mạnh với 7 số hạng:

đã được Klamkin đưa ra năm 1971

Chẳng hạn như, đối với (T22, T2

3, T1T2T3) bất đẳng thức tốt nhất là

T23 + 9T2

3 − 4T1T2T3 > 0

2.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan tới

yếu tố lượng giác

Trong phần này sẽ trình bày về một số bất đẳng thức lượng giác xoay vòng

Cụ thể, chúng tôi sẽ xét hai bộ ba số thực: {x, y, z} và {A, B, C} thỏa mãn điều