TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM Các bài tập khác có liên quan đến tham số.[r]
Trang 1BÀI 4 – MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT – BẬC HAI
Phương trình chứa trị tuyệt đối:
① 𝑨 = 𝑩 cách 𝟏 𝑨 = 𝑩
𝑨 = −𝑩
cách 𝟐 𝑨𝟐 = 𝑩𝟐
② 𝑨 = 𝑩cách 𝟏 𝑩 ≥ 𝟎 𝑨 = 𝑩
𝑨 = −𝑩 cách 𝟐 𝑨 ≥ 𝟎
𝑨 = 𝑩 ∨ 𝑨 < 0
𝑨 = −𝑩
cách 𝟑 𝑨𝟐 = 𝑩𝟐
③ 𝑎2𝑥2 + 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 = 0 ⇢ ĐẶT 𝑡 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 ⇢ 𝑎2𝑥2+ 2𝑎𝑏𝑥 = 𝑡2− 𝑏2
④ 𝑚2𝑥2+𝑛2
𝑥2+ 𝑚𝑥 +𝑛
𝑥 + 𝑝 = 0 ⇢ ĐẶT 𝑡 = 𝑚𝑥 +
𝑛
𝑥 ≥ 0 ⇢ 𝑚2𝑥2+
𝑛2
𝑥2 = 𝑡2− 2𝑚𝑛
Giải các phương trình sau
① 3𝑥 + 4 = 𝑥 + 2
② 3𝑥2− 2 = 6 − 𝑥2
③ 𝑥2− 5𝑥 + 4 = 𝑥 + 4
④ 5𝑥2+ 6𝑥 + 1 = 𝑥 + 11
⑤ 2𝑥 − 4 = 𝑥 + 1
⑥ 𝑥2− 𝑥 − 3 = −𝑥 − 1
⑦ 2 𝑥2+ 2𝑥 − 5 = 𝑥 − 1
⑧ 𝑥2− 𝑥 − 2 = 0
⑨ 𝑥2− 2𝑥 + 5 − 5𝑥 − 1 = 0
⑩ 𝑥 − 1 − 𝑥 − 2 = 1
⑪ 𝑥 − 2 + 4 − 𝑥 = 3
⑫ 𝑥2− 4 + 𝑥 = 2
⑬ 5 − 𝑥 + 𝑥 − 1 = 𝑥 − 6
⑭ 𝑥2+ 4𝑥 − 3 𝑥 + 2 + 4 = 0
⑮ 4𝑥2− 4𝑥 + 2𝑥 − 1 − 11 = 0
⑯ 𝑥2+ 9
𝑥2+ 3 𝑥 +3
𝑥 − 16 = 0
⑰ 4𝑥2+ 1
𝑥2+ 2𝑥 −1
𝑥 − 6 = 0
⑱ 2𝑥 − 1
𝑥 + 2 − 2
𝑥 + 2 2𝑥 − 1 = 1
⑲ 2𝑥 + 7
𝑥 − 1 = 3𝑥 − 1
⑳ 𝑥 − 1 2𝑥 − 3=
1 − 3𝑥
𝑥 + 1
Phương trình chứa căn bậc hai
① 𝑨 = 𝑩cách 𝟏 𝑨 ≥ 𝟎𝑨 = 𝑩
cách 𝟐 𝑩 ≥ 𝟎
𝑨 = 𝑩
② 𝑨 = 𝑩 ⇔ 𝑩 ≥ 𝟎 𝑨 = 𝑩𝟐
③ 𝑨 = 𝑩 ⇔ 𝑨 = 𝑩𝟐
Với cách 3, khi giải xong NHỚ thử lại nghiệm
Trong nhiều bài toán, có thể đặt ẩn phụ và đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để giải
Khi gặp bài toán chứa nhiều trị tuyệt đối, ta khử trị tuyệt đối rồi giải phương trình trên từng miền cụ thể và tổng hợp nghiệm lại
Nếu gặp dạng phương trình có chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện mẫu số khác 0, quy đồng và giải bình thường, nghiệm thu được NHỚ so sánh điều kiện
∘ 𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐴2 = 𝐵2 ∘ 𝐴 𝐵 > 0; 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴2 = 𝐵2
Nếu 𝐴 ≥ 0 hoặc 𝐵 ≥ 0 phức tạp, thì ta bình phương hai vế đưa về phương trình hệ quả để giải, sau đó thử lại nghiệm
Trong một số trường hợp, ta phải đặt ẩn phụ để đưa về bài toán mới, đơn giản hơn
Nếu gặp bài toán chứa nhiều dấu căn, ta đưa về dạng:
𝐴1 + ⋯ + 𝐴𝑛 = 𝐵1 + ⋯ + 𝐵𝑛 rồi bình phương hai vế
để giải
Trang 2④ 𝑎 𝑚𝑥2+ 𝑛𝑥 + 𝑏 𝑚𝑥2+ 𝑛𝑥 + 𝑝 + 𝑐 = 0 ⇢ ĐẶT 𝑡 = 𝑚𝑥2+ 𝑛𝑥 + 𝑝
⑤ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐′ = 𝑑 ⇢ ĐẶT 𝑢 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑣 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐′ ⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑑
𝑢2− 𝑣2 = 𝑐 − 𝑐′
Giải các phương trình sau
① 𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 3 − 𝑥
② 𝑥2 − 5𝑥 = 𝑥2 − 4
③ 2𝑥2 − 𝑥 − 13 = 𝑥2+ 2𝑥 − 3
④ 3𝑥2 − 9𝑥 + 1 = 𝑥 − 2
⑤ 𝑥2 + 3𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3
⑥ 6𝑥2 − 12𝑥 + 7 = 1 − 𝑥
⑦ 𝑥 − 2𝑥 − 7 = 4
⑧ 𝑥 − 𝑥 − 1 = 13
⑨ 7 + 𝑥2− 3𝑥 − 1 = 2𝑥
⑩ 3𝑥2 − 9𝑥 + 1 = 𝑥 − 2
⑪ 3𝑥2 − 2 = 𝑥
⑫ 2𝑥 + 7 = 𝑥 + 2
⑬ 3𝑥 + 4 − 𝑥 − 3 = 3
⑭ 5 − 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 1
⑮ 3𝑥 − 3 − 5 − 𝑥 = 2𝑥 − 4
⑯ 𝑥2+ 𝑥2 − 3𝑥 + 5 = 3𝑥 + 7
⑰ 2𝑥2+ 3𝑥 + 3 − 5 2𝑥2+ 3𝑥 + 9 = 0
⑱ 𝑥 + 4 𝑥 + 1 = 3 𝑥2+ 5𝑥 + 2 + 6
⑲ 𝑥 + 5 𝑥 − 2 + 3 𝑥(𝑥 + 3) = 0
⑳ 𝑥 + 4 + 𝑥 − 4 = 2𝑥 − 12 + 2 𝑥2− 16
❶ 3𝑥2− 2𝑥 + 15 + 3𝑥2− 2𝑥 + 8 = 7
❷ 𝑥2+ 𝑥 + 4 + 𝑥2+ 𝑥 + 1 = 2𝑥2+ 2𝑥 + 9
❸ 2 𝑥 + 2 + 2 𝑥 + 1 − 𝑥 + 1 = 4
❹ 𝑥2+ 5 = 𝑥 + 1
𝑥2− 3
❺ 𝑥 1 − 𝑥 + 2 1 − 𝑥 = 𝑥2
❻ 4𝑥2+ 12𝑥 𝑥 + 1 = 27(𝑥 + 1)
❼ 𝑥 𝑥2 + 5 = 𝑥2− 4
❽ 4𝑥 − 1 𝑥2+ 1 = 2𝑥2+ 2𝑥 + 1
❾ 3 + 𝑥 + 6 − 𝑥 − 3 + 𝑥 (6 − 𝑥) = 3
❿ 3𝑥2+ 6𝑥 + 16 + 𝑥2+ 2𝑥 = 2 𝑥2+ 2𝑥 + 4
Các dạng phương trình thường gặp khác
① 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2+ 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0 (1) ⇢ ĐẶT 𝑡 = 𝑥2 ≥ 0 1 ⇔ 𝑎𝑡𝑡 ≥ 0 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0 (2)
Nếu (2) vô nghiệm, có 2 nghiệm âm phân biệt, có nghiệm kép âm ⇒ (1) vô nghiệm
Nếu (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇒ (1) có 4 nghiệm 𝑥 = ± 𝑡1∨ 𝑥 = ± 𝑡2
Nếu (2) có nghiệm kép dương ⇒ (1) có 2 nghiệm
Nếu (2) có 2 nghiệm trái dấu 𝒕𝟏< 𝟎 < 𝒕𝟐 ⇒ (1) có 2 nghiệm 𝑥 = ± 𝑡2
Nếu (2) có 2 nghiệm 𝒕𝟏= 𝟎 ∨ 𝒕𝟐> 𝟎 ⇒ (1) có 3 nghiệm 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = ± 𝑡2
② 𝑥 + 𝑎 4+ 𝑥 + 𝑏 4 = 𝑐 ⇢ ĐẶT 𝑡 = 𝑥 +𝑎 + 𝑏
2
③ 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 = 𝑒, với 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 ⇢ ĐẶT 𝑡 = 𝑥 + 𝑎 (𝑥 + 𝑏)
③∗ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑑 = 𝑘 ⇢ ĐẶT 𝑡 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥
④ 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3+ 𝑐𝑥2± 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 ⇢ Nhận xét 𝑥 = 0 không là nghiệm của phương trình, nên chia hai
vế cho 𝑥2 ≠ 0, được: 𝑎 𝑥2+ 1
𝑥2 + 𝑏 𝑥 ±1
𝑥 + 𝑐 = 0 lúc này ĐẶT 𝑡 = 𝑥 ±
1 𝑥
Trang 3⑤ 𝑎𝑥2+ 𝒃𝑥 + 𝑐 𝑎𝑥2+ 𝒅𝑥 + 𝑐 = 𝑘𝑥2 ⇢ Nhận xét 𝑥 = 0 không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế cho 𝑥2 ≠ 0, được: 𝑎𝑥 + 𝒃 +𝑐
𝑥 𝑎𝑥 + 𝒅 +
𝑐
𝑥 = 𝑘 lúc này ĐẶT 𝑡 = 𝑎𝑥 +
𝑐 𝑥
Bài 1: Giải các phương trình sau:
① 𝑥4+ 8𝑥2+ 12 = 0
② 1 − 2 𝑥4 + 2𝑥2 − 1 − 2 = 0
③ − 𝑥4 + 3 − 2 𝑥2 = 0
④ (𝑥 − 6)4+ (𝑥 − 8)4 = 16
⑤ (2𝑥 − 3)4+ (2𝑥 − 5)4 = 2
⑥ 𝑥4+ (𝑥 − 1)4 = 97
⑦ 𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥 − 3 𝑥 − 4 = 15
⑧ 𝑥 + 2 𝑥 − 3 𝑥 + 1 𝑥 − 6 = −36
⑨ 𝑥 + 1 𝑥 − 2 𝑥 − 5 𝑥 − 8 = 40
⑩ 𝑥2+ 2𝑥 − 4 𝑥2+ 2𝑥 − 2 = 8
⑪ 𝑥2+ 2𝑥 − 5 𝑥2+ 2𝑥 + 2 = −6
⑫ 3𝑥4− 13𝑥3+ 20𝑥2− 13𝑥 + 3 = 0
⑬ 𝑥4− 4𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0
⑭ 2𝑥4+ 3𝑥3− 16𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0
⑮ 𝑥2− 2𝑥 + 4 𝑥2+ 3𝑥 + 4 = 14𝑥2
⑯ 𝑥 + 2 𝑥 + 3 (𝑥 + 8)(𝑥 + 12) = 4𝑥2
⑰ 2𝑥2+ 3𝑥 + 3 − 5 2𝑥2 + 3𝑥 + 9 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
① 𝑥3− 7 𝑥 − 1 = 1
② 𝑥3− 8 − 3 𝑥2− 4 = 0
③ 𝑥3 = 4𝑥 − 3
④ 𝑥4− 5𝑥3 − 10𝑥2− 10𝑥 + 4 = 0
❶ Có 4 nghiệm phân biệt ❷ Có 2 nghiệm phân biệt ❸ Vô nghiệm
① Giải phương trình khi 𝑚 = 1
② Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
① Định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
② Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
① Định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
② Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
① Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4
② Tính theo 𝑚 giá trị của 𝐴 = 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 và 𝐵 = 1
𝑥12+ 1
𝑥22+ 1
𝑥32+ 1
𝑥42
③ Định 𝑚 để phương trình có 4 nghiệm phân biệt cách đều nhau
Trang 4Các bài tập khác có liên quan đến tham số Bài 1: Với giá trị nào của 𝑚 thì phương trình
① 𝑚𝑥 − 2 = 𝑥 + 4 có nghiệm duy nhất
② 𝑚𝑥 + 1 = 2𝑥 − 𝑚 − 3 có hai nghiệm phân biệt
Bài 2: Giải và biện luận các phương trình
① 𝑚2+ 1 𝑥 − 10
𝑥 − 2 = 𝑚 + 1
② 𝑥 − 𝑚
𝑥 − 2 +
𝑥 − 2
𝑥 = 2
③ 𝑥 + 1
𝑥 − 𝑚 + 1=
𝑥
𝑥 + 𝑚 + 2
④ 𝑥 − 𝑚
𝑥 − 1 +
𝑥 − 1
𝑥 − 𝑚= 2
Bài 3: Định 𝑚 để các phương trình sau có nghiệm
① 𝑥 𝑥 + 1 −𝑥
2+ 𝑥 + 2𝑚
2𝑚 + 1 𝑥 + 3
4 − 𝑥2 = 2𝑚 + 3 𝑥 + 𝑚 − 2
4 − 𝑥2
Bài 4: Định 𝑚 để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
① 2𝑥2 − 6𝑥 + 𝑚 = 𝑥 − 1 ② 𝑥2 − 𝑥 + 𝑚 = 𝑥 − 3
Bài 5: Định 𝑚 để các phương trình
① 𝑥2− 2𝑥 − 2𝑚 𝑥 − 1 + 𝑚 − 3 = 0 có 4 nghiệm phân biệt
② 𝑥2+ 2𝑚𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 có nghiệm duy nhất
① Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm 𝑥 = 1
② Định 𝑚 để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
③ Định 𝑚 để phương trình có 3 nghiệm phân biệt cách đều nhau
Bài 7: Định 𝑚 để các phương trình
① 𝑥2− 𝑥 + 1 − 𝑚 = 𝑥 − 3 có nghiệm nhỏ hơn 5
② 𝑥2− 2𝑚𝑥 + 1 − 𝑚 = 𝑥2+ 𝑚𝑥 + 1 + 2𝑚 có đúng 3 nghiệm phân biệt
③ 𝑥2+ 𝑚𝑥 + 2 𝑥2+ 2𝑥 + 𝑚 = 0 có 4 nghiệm phân biệt