Một số PT quy về PT bậc hai

Việc bồi dỡng giúpcho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản màcòn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợplogíc tìm ra đợc lối giả

trờng đại học s phạm hà nội

Khoa toán -*** -

Đề tài

Một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai

Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụquan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp Tuy nhiên, việc bồi dỡng chohọc sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờngxuyên ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở Việc bồi dỡng giúpcho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản màcòn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợplogíc tìm ra đợc lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minhsáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.

Đối với môn toán lớp 9, phần “ phơng trình bậc hai”, “phơng trình quy

về phơng trình bậc hai” là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờngxuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi vào trunghọc phổ thông Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiếnthức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về “ phơngtrình quy về phơng trình bậc hai” Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu thamkhảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng

và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệukhác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và củahọc sinh

Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa

ra một hệ thống kiến thức nói về “phơng trình quy về phơng trình bậc hai” vớimột mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngờidạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi

“Một số phơng trình đa về phơng trình bậc hai” là một hệ thống kiếnthức có đặc thù riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau Nói về cáchgiải của một số loại phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai.nh: Phơng trìnhchứa ẩn ở mẫu; phơng trình bậc ba; phơng trình bậc bốn; phơng trình vô tỷ…Với mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví

dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp

ng-ời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu

Do thời gian hạn hẹp cũng nh kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, trongquá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rấtmong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Tôi xin trân thành cảm ơn!

Phần I: Những vấn đề chung

A Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài

Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơbản nhất, chung nhất về các dạng phơng trình đa về phơng trình bậc hai nhằm:

+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dỡng học sinh giỏi

+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình đa đợc

về phơng trình bậc hai, từ đó có những thao tác t duy nhanh nhạy, sáng tạo, có

kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phơng trình này

+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử

B Đối t ợng nghiên cứu

Nghiên cứu về các dạng phơng trình, các cách giải phơng trình nóichung và phơng trình bậc hai nói riêng

Nghiên cứu các phơng pháp dạy học toán ở trờng THCS

Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo vàcác chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán

Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp

Phần 2: Nội dung

A cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Toán học là một môn khoa học trìu tợng, đóng vai trò quan trọng trong

đời sống con ngời, trong việc nghiên cứu khoa học Khi học toán các em sẽnăm sbắt đợc nhiều phơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tínhtoán, phân tích tổng hợp, giải quyết đợc nhiều bài toán thực trong cuộc sống

Việc bồi dỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhàtrờng THCS Để là học sinh giỏi, các em cần đợc rèn luyện, phát triển t duysáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức

Sự phân hoá đối tợng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ

số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tơng đối lớn, do đó nhu cầu

đợc nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn

Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phơng trình vàphơng trình đa về phơng trình bậc hai ở chơng trình THCS cha đợc đề cập đến

nhiều Đội ngũ giáo viên cha đợc chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dỡngcho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải tự biên soạn, su tầm,lựa chọn tài liệu cho riêng mình chính vì thế nội dung bồi dỡng phần kiếnthức này cha có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho ngời học và ngờidạy

Nghiên cứu sách giáo khoa và chơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại

số 9 đã đa ra cho học sinh một số laọi phơng trình quy về phơng trình bậc hainh: phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình vô tỷ, phơng trình trùng phơng, đavào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức

độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở cáclớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì cha đủ, vì vậy cũng cần

hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức “phơng trìnhquy về phơng trình bậc hai

B Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải ph ơng trình:

Khi học về giải phơng trình học sinh cần nắm đợc một số kiến thức và

+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số

+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định củaphơng trình, tập xác định của một biểu thứcc

+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức

+ Kỹ năng giải và biện luận phơng trình bậc hai nmột ẩn, phơng trìnhchứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)

C Ph ơng trình quy về ph ơng trình bậc hai

I Nhắc lại về phơng trình bậc hai một ẩn số

1 Định nghĩa:

+ Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng tổng quát:

ax2+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a 0)

+ Nghiệm của một phơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số màkhi thay vào vế trái của phơng trình ta đợc giá trị của hai vế bằng 0

2 Giải và biện luận hệ ph ơng trình bậc hai

(a 0) ta cần quan tâm tới biệt số của phơng trình:

=b2 - 4ac+ Nếu <0: Phơng trình bậc hai vô nghiệm

+ Nếu =0: Phơng trình bậc hai có nghiệm kép:

+ Nếu ’=0: phơng trình có nghiệm kép

+ Nếu ’>0: phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Chú ý : Nếu a và c trái dấu (tức a.c<0) thì phơng trình bậc hai có dạng phânbiệt và trái dấu nhau (vì >0)

*) Đối với một số phơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên)trong trờng hợp phơng trình có nghiệm (>=0) ta có thể dùng định lý Viet đểnhẩm nghiệm của phơng trình

Tr

ờng hợp đặc biệt:

+ Nếu a+b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=1; x2=

a c

+ Nếu a-b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=-1; x2

=-a c

*)Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phơng trìnhbậc hai

+ Phơng trình bậc hai có cùng dấu khi:

x1.x2>0  0

a c

+ Phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng khi

a c

a b

+ Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi:

a c

a b

a c

+ Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi:

a c

a b

+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số dơng có trị tuyệt

đối lớn hơn khi:

0



a c

0





a b

+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số âm có trị tuyệt

2 2 1

2 ) ( 2

) (

a

ac b a

c a

b x

x x

2 1

ac b x x x

Trong trờng phổ thông ta thờng gặp một số dạng phơng trình quy vềphơng trình bậc hai sau:

a

(1)

Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:

Ta có: (1)  2 (x a)(x b) a(x a) b(x b)

0 2 )

( 3





Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là

b a

x1  

2

2

b a

x2   

Vậy với ab;a 0 ,b 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

0 3 2

1 6 7 2

4 4

1 12 8 3

2

4

2 2

1 ) 3 2 )(

2 (

4 )

2 )(

2 (

1 )

3 2 )(

2 )(

2 (

x x

x x

x x

4 3 2

Ph¬ng tr×nh (2) cho nghiÖm 2 vµ

x=-2 1

Vậy phơng trình (8) có nghiệm S= -

2

1

; 2

;

1  

Ví dụ 2:

Cho phơng trình x3-(2a+1)x2+(a2+2a-b)x-(a2-b)=0 (1)

Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phơng trình đã cho

(1) có nghiệm duy nhất x=1

* Nếu b=0  (2) có nghiệm kép: x=a

(1) có hai nghiệm: x=1;x=a

* Nếu b>0  (2) có hai nghiệm phân biệt:

(1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+  ; x=a-  ;

c Nhận xét:

Giải phơng trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đathức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích Khi đó, ta cómột hệ thống hai phơng trình bao gồm một phơng trình bậc nhất và một ph-

Khi biết trớc một nghiệm, ta chia vế trái của phơng trình cho đa thức

x-1 hoặc x+x-1 để phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử

+ Với phơng trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyênthì nghiệm nguyên đó phải là ớc số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sựtồn tại nghiệm nguyên của phơng trình với hệ số nguyên)

3 Những ph ơng trình bậc cao quy đ ợc về ph ơng trình bậc hai

3-1 Ph ơng trình trùng ph ơng

Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax4+bx2+c=0 Trong

đó: x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a 0

Cách giải

Với loại phơng trình này khi giải ta thờng dùng phép đặt ẩn phụ x2=t

0 Từ đó ta có một phơng trình bậc hai trung gian: at2+bt+c=0, giải phơngtrình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x2=t (Nếu những giá trị của ttìm đợc thoả mãn t0), ta sẽ tìm đợc nghiệm số của phơng trình ban đầu

b) Phơng trình (***) có 3 nghiệm khi phơng trình (****) có nghiệm x=0 vànghiệm số thứ hai là số thực dơng.

c) Điều kiện để phơng trình (***) có hai nghiệm:

Ta thấy nghiệm của bất phơng trình (m+1)(m-2)<0 là -1<m<2

Phơng trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi

VËy ph¬ng tr×nh (****) cã hai nghiÖm cïng ©m khi m  -1

*) Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (***) v« nghiÖm khi -1 <m <2 hoÆc m  -1

d) NhËn xÐt:

Nghiªn cøu vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng:

ax4+bx2+c=0 (a 0) ta cã nhËn xÐt+ Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi:

*) HoÆc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiÖm: (<0)

*) HoÆc ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm cïng ©m

s¶y ra khi:   0

0



a c

0





a b

+ Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã hai nghiÖm khi:

*) Ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian cã nghiÖm kÐp d¬ng

*) Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm

a c

+ Phơng trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x=0)

Xảy ra khi at2+bt+c=0 có hai nghiệm t1=0;t2=  0

a b

Muốn vậy ta phải có: c=0

0





a b

Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là: x=0; x=

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t=0 (xảy ra khib=c=0) thì phơng trình có nghiệm x=0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau)

+ Khi nói đến nghiệm số của phơng trình trùng phơng là số lẻ thì trong

4 2

(Đây là phơng trình trùng phơng ẩn t- Ta đã biết cách giải)

Khi đó: x + 3 = t - 1

x + 5 = t + 1

Phơng trình (*) có dạng: (t-1)4+(t+1)4=2

0 6

2 2 12 2 2 4

2 4

t t

5041 584

Ta cã v1 = - 75+71=-4  Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn v 0

v2 =-75 -71 =-146  Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn v 0

VËy ph¬ng tr×nh (***) v« nghiÖm  ph¬ng tr×nh (**) v« nghiÖm

X2 + BX + C=0

Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (x+a)4+(x+b)4=c phô thuéc vµo sè nghiÖmcña ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian X2+BX +C=0

*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thìphơng trình trùng phơng t4 +Bt +C=0 vô nghiệm và do đó phơng trình đầu vônghiệm.

Nh vậy: Nấu phơng trình bậc hai trung gian X2+BX+C=0

+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phơng trình đầu vônghiệm

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm dơng, một nghiệm

âm thì phơng trình đầu có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu phơng trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dơng (phân biệt) thìphơng trình đầu có 4 nghiệm phân biệt

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm dơng và mộtnghiệm bằng 0 thì phơng trình dầu có 3 nghiệm

+ nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dơng thì

ph-ơng trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt

4.3 Ph ơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m.

Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằngnhau, chẳng hạn: a+d=b+c

a) Cách giải:

Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)

Khai triển tích đó đa về phơng trình dạng:

Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đơng nhiên phơngtrình ban đầu vô nghiệm.

32 12

4 5

+) Với t=-19 Thay vào x2+5x-14=t

ta có x2+5x-14=-19

0 5 5 2

; 2 5 5

; 2 85 5

; 2 85 5

c) Nhận xét:

Với loại phơng trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái đợc phơng trình

đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đa đợc về phơng trình bậchai trung gian

đầu vô nghiệm

+ Khi giải phơng trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm đợc giátrị ta trả biến và giải phơng trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phơngtrình này (nếu có) là nghiệm của phơng trình đầu

e ax

e x

2 2

2

b

d x b

d x t bx

d



2

2)

b

d t ax

e 2 2

2 2









 t x x

Ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 2t2  2 3t 16  0

0 20 3

4

13 3

1    

4

13 3

Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình

Chia 2 vế của phơng trình(***) cho x2 ta đợc

0 50 105 74 21

x

0 74

105 21

x

0 74

5 21





 t x x

+ Giải phơng trình đối xứng: bằng phép biến đổi tơng đơng và đổi biến

đa về phơng trình bậc hai trung gian Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phơngtrình đối xứng ban đầu

+ về số nghiệm của phơng trình đối xứng:

- Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm  phơng trình đầu vônghiệm

- Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 nhng các phơng trình

1

t bx

trình đầu có bấy nhiêu nghiệm

3-5 Phơng trình dạng:    2   0





bf x c x

f

(Trong đó a 0; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phơng trình)

Đặt x2+3x=tThay vào (x2+3x)2-4(x2+3x)+3=0

Ta có phơng trình bậc hai trung gian: t2-4t+3=0

Do 1-4+3=0  t1=1; t2=3Trả biến:

; 2

21 3

; 2

13 3

; 2

13 3

Ví dụ 3: Giải ph ơng trình:

13 2

1 1

1 2







x x

Ta đợc phơng trình tơng đơng:

2

1 1

1 2 36

13 2

1 1

1 2 2

1 1

1 (

2 36

13 2

1 1

13 ) 2 )(

1 (

2 )

2 )(

1

36

13 2

2





 t t

0 13 72

1 (

1





 x x

0 4 3

Đây là phơng trình bậc 5, ta biến đổi đa về dạng phơng trình tích

Dễ thấy phơng trình (*) có nghiệm x=-1

Chia vế trái của phơng trình (*) cho x+1, ta đợc:

Giả sử phân tích vế trái của phơng trình thành (x2+px+q)(x2+rx+s)

Trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên cha xác định Ta có:

; 2

17 5

b) Nhận xét:

Qua các ví dụ ta có cách giải các phơng trình bậc cao trên:

+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0

+ Phân tích thành nhân tử đa phơng trình về hệ thống phơng trình bậcnhất và bậc hai (đã biết cáhc giải)

+ Số nghiệm của phơngt rình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của phơngtrình ban đầu)

Thay x=-3 vào phơng trình (1) ta thấy không thoả mãn

Thay x=2 vào phơng trình (1) ta thấy thoả mãn

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x=2

Ví dụ 2: Giải ph ơng trình

Vậy nghiệm của phơng trình (2) là x=7

Phơng trình có nghiệm nếu nghiệm của phơng trình bậc hai trung gianthuộc TXĐ của phơng trình đầu

5.Một số phơng trình đặc biệt

Ví dụ:

Ví dụ 1: giải phơng trình:

(x2+3x-4)3+(2x2-5x+3)3=(3x2-2x-1)3

Ta thấy (x2+3x-4)+(2x2-5x+3)=(3x2-2x-1)

T đó đặt a=x2+3x-4; b=2x2-5x+3 thì phơng trình đã cho có dạng

a3+b3=(a+b)3

mà (a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3 suy ra 3ab(a+b)=0 từ đó suy ra:

Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = (1; -4; 3/2; -1/3)

Ví dụ 2:

Giải phơng trình: x4+y4+ 4 4

1 1

4 4

Với các phơng trình đặc biệt, mỗi phơng trình có một cách giải riêng

nó đòi hỏi t duy rất cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp mộtcách hết sức linh hoạt

Kết luận

Phát triển t duy toán học và nhận thức sáng tạo cho các em học sinh làmột việc làm khó Để làm đợc điều này ngời giáo viên phải là ngời có kiếnthức, có phơng pháp s phạm tốt, hết lòng thơng yêu học sinh và hơn nữa làcần phải kỳ công với các bài giảng của mình

Sau một thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu kết quả học tập của họcsinh các lớp bồi dỡng học sinh kgá giỏi, qua trao đổi với các đồng nghiệp tôithấy Khi bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức về những phơngtrình quy về phơng trình bậc hai theo những nội dung của đề tài các em đều

có sự tiến bộ rõ rệt Thể hiện, các có cái nhìn toàn diện hơn về mảng kiến thứcnày, không còn lúng túng trong khi giải các dạng phơng trình đã học

Đối với giáo viên, việc thực hiện giảng dạy các kiến thức này trở nên dễdàng hơn rất nhiều, các đồng nghiệp của tôi đều đánh gái rất cao hệ thống