6 Các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu 2 tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ễN THI HỌC KỲ I MễN TOÁN LỚP 9 (Trọng tõm)
Năm học 2012 – 2013
Ch ủ đề : Căn thức 1 – rút gọn biểu thức
I Kiến thức:
Kiến thức cơ bản:
1 Điều kiện tồn tại : √A Có nghĩa ⇔ A ≥0
2 Hằng đẳng thức: √A2
=|A|
3 Liờn hệ giữa phộp nhõn và phộp khai phương: √A B=√A √B (A ≥ 0; B ≥ 0)
4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng: √A
B=
√A
√B (A ≥ 0; B>0)
5 Đa thừa số ra ngoài căn: √A2 B=|A| √B (B≥ 0)
6 Đa thừa số vào trong căn: A√B=√A2 B (A ≥ 0; B ≥ 0) ; A√B=−√A2 B
(A<0 ; B ≥0)
7 Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
B B (A.B0 và B0)
8 Trục căn thức ở mẫu ( TH: 1,2):
A
√B=
√A B
B (B>0) ;
2
C
A B
A B
(A0 và A
B2)
9 Trục căn thức ở mẫu (trường hợp 3,4): C
√A ±√B=
C(√A ∓√B)
A − B (A0;B0;A B )
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
x +3 4) √ − 5
x2+6
3 x +5
Rỳt gọn biểu thức
*Vớ dụ: 1)Tớnh giá trị biểu thức:
1
2 3
1) √12+5√3 −√48 2) 5√5+√20 −3√45 3) 2√32+4√8 −5√18
4) 3√12 − 4√27+5√48 5) √12+√75 −√27 6) 2√18 −7√2+√162
7) 3√20 − 2√45+4√5 8) (√2+2)√2− 2√2 9) 1
√5 −1 −
1
√5+1
√5 −2+
1
2
4 −3√2−
2 4+3√2 12)
2+√2 1+√2 13)
7
√28− 2√14+√¿
¿
¿
14) √14 −3√2¿2+6√28
¿
15) √6 −√5¿2−√120
2√3 −3√2¿2+2√6+3√24
¿
17)
1−√2¿2
¿
√2+3¿2
¿
¿
√¿
18)
√3− 2¿2
¿
√3− 1¿2
¿
¿
√¿
Giải phương trỡnh:
5) √3 x2−√12=0 6)
x − 3¿2
¿
¿
√¿
7) √4 x2+4 x +1=6 8)
2 x −1¿2
¿
¿
√¿
Trang 29) √4 x2=6 10)
1− x¿2
¿
4¿
√¿
11) 11) 3
√3− 2 x=−2
II.các bài tập rỳt gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm tập xác định của từng phân thức rồi kết luận lại
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)
Rút gọn
B.Bài tập luyện tập:
Bài 1 Cho biểu thức : A =
2 1
1) Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa Rỳt gọn biểu thức A
2) Tớnh giá trị của biểu thức A tại x 3 2 2
Bài 2: Cho biểu thức A =
a) Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa Rỳt gọn A
b) Tỡm x để A = - 1
Bài 3: Cho biểu thức : P = √x+1
√x − 2+
2√x
√x+2+
2+5√x
4 − x
a; Tìm điều kiện để biểu thức P cú nghĩa và rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 4: Cho biểu thức: Q = ( 1
√a − 1 −
1
√a¿:(
√a+1
√a − 2 −
√a+2
√a −1)
a; Tìm điều kiện để biểu thức Q cú nghĩa rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 √5
Chủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I.H m s :à ố
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng
II Hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản :
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các số cho trước ( a ≠ 0 )
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc nhất là: a ≠ 0
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x – 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất ⇔ 3 −m≠ 0 ⇔ 0 ⇔m≠ 3
Tính chất:
+ TXĐ: ∀ x ∈ R
+ Đồng biến khi a>0 Nghịch biến khi a<0
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):
+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến ⇔ 3 −m>0 ⇔0 ⇔ m<3
+ Hàm số (1) Nghịch biến ⇔ 3 −m<0 ⇔0 ⇔ m>3
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Trang 3cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng − b
a .
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ: - cho x = 0 y = b ta được điểm P(0; b) thuộc đồ thị trờn
- Cho y = 0 x =
b a
ta được điểm Q
;0
b a
thu c ộ đồ ị th trờn Ho c l p b ng bi n thiờn sau: ặ ậ ả ế
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm: -b/a ( ở trục hoành) và b ( ở trục tung)
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải:
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2) ⇔ a≠ a ,
*/ Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện
b=b '
*/ Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : a a '=−1
+ Song song với nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a , ;b ≠ b '
+ Trùng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a ,
;b=b '
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 – m) x + 2 (d1)
Và y = 2 x – m (d2)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Giải:
a/ (d1)//(d2) ⇔
¿
3 −m=2
2 ≠ −m
⇔
m ≠− 2
⇔{m=1
¿{
¿
b/ (d1) cắt (d2) ⇔ 3 −m≠ 2 ⇔m ≠1
c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung ⇔ −m=2 ⇔ m=−2
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tg α=a
Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn tan a
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù
0
tan(180 )a
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
Tan Tg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: α=630
Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox
Ta có: Tan(1800 ) 2 Tan630 (1800 ) 63 0 117 0
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: α=1170
Cỏc dạng bài tập về đường thẳng:
Trang 4-Dạng 3: Tớnh gúc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
Xem lại các ví dụ ở trên
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Ph
ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1)
Ph
ơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trỡnh đờng thẳng cần tìm
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định
b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2
c) Xác định m để 3 đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = 0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x0+ 1 =0
x0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1
y0 = - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) :
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có:
2 = (m2 -1) 1 + m2 -5
m2 = 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui
Bài tập:
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m để (d1) và (d2) cắt nhau
2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trờn cựng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tỡm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phộp tớnh
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng
biến hay nghịch biến trờn R ? Vỡ sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch
biến ? Vỡ sao?
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0¿ và y = (2 - m)x + 4 ; (m≠ 2) Tỡm điều kiện của
m để hai đường thẳng trờn:
a) Song song
b) Cắt nhau
Bài 5: Với giá trị nào của m thỡ hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một
điểm trờn trục tung Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với
(d’): y = − 12 x và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 10
Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng
song song; cắt nhau; trựng nhau
Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên
-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a0) Xem lại các ví dụ ở trên
Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b ; (d2): y = a’x + b’
Ph
ơng pháp: Đặt ax + b = a’x + b’ giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính đợc giá trị của y Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng
Tớnh chu vi diện tớch của các hỡnh tạo bởi các đường thẳng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh
Trang 5Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm
A(2;7)
Bài 7: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =
1 2
2x và (d2): y = x2 a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi
và diện tớch của tam giác ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?
Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0
(d2) : y = (3m2 +1) x + (m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B Tính
BA ?
Bài 10: Cho hàm số y = (m-2)x + m - 1
a) Vẽ đồ thị hàm số trờn với m = 4,tỡm trờn đồ thị vừa vẽ điểm cú hoành độ bằng
1 2 b) Với giá trị nào của m thỡ hàm số trờn đồng biến trờn R
c) Tỡm m để đồ thị hàm số đó cho và đồ thị các hàm số y = 2x +1 và y = -x +4 là ba đường thẳng đồng quy
Ch ủ đề 4: hình học
I Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng : Cho tam giác ABC vuụng tại A và đường cao AH.(hỡnh 1)
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao:
+ b2=a b , ;c2=a c, Từ hệ thức 1 + a2=b2+c2
+ h2
=b , c , + a=b ,
+c ,
+ a h=b c
h b c Từ hệ thức 1 +
b2
c2=
b ,
c , ;
c2
b2=
c ,
b ,
Hệ thức giữa cạnh và góc:
Tỷ số l ợng giác:
D là cạnh đối, K là cạnh kề, H là cạnh huyền.
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu α+ β=900
Thì:
Sin α=Cos β Cos α=Sin β
2/ Với α nhọn thỡ 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1
*sin2 α + cos2 = 1 *tan α = sin α /cos α
*cotg α = cos α /sin α *tan α cot α =1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:
b=a SinB ;c=a SinC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:
b=a CosC.;c =a CosB
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tangóc đối:
b c TanB c b ; tanC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cot góc kề:
b c CotC c b CotB ;
Bài Tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuụng tại A Biết b = 4 cm, c = 3 cm Giải tam giác ABC
Bài 2: Cho tam giác ABC vuụng tại A cú b’ = 7, c’ = 3 Giải tam giác ABC?
Bài 3: Cho tam giác ABC vuụng tại A cú c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC?
Bài4: Biết tỉ số của hai cạnh gúc vuụng là 3: 4 đường cao ứng với cạnh huyền là 9,6 Tớnh độ dài hỡnh chiếu của các cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền
II Đường trũn:
Trang 6.Sự xác định đ ờng tròn: Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc:
+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc:
+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó)
Tính chất đối xứng:
+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn
+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn
Các mối quan hệ:
1 Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:
+ Đường kớnh đi qua trung điểm của một dõy khụng đi qua tõm thỡ vuụng gúc với dõy đú.
2 Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau ⇔ Chúng cách đều tâm
+ Dây lớn hơn ⇔ Dây gần tâm hơn
Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng với đ ờng tròn:
+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn (khụng giao nhau) ⇔ Không có điểm chung ⇔ d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R là bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn ⇔ Có 2 điểm chung ⇔ d < R
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (gọi là tiếp tuyến của đường trũn) ⇔ Có 1 điểm chung ⇔ d = R
Tiếp tuyến của đ ờng tròn:
1 Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó
2 Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đờng tròn là tiếp tuyến của đờng tròn đó
6) Cỏc tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau :
Nếu 2 tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm thỡ:
- Điểm đú cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đú đi qua tõm đường trũn là tia phõn giác của gúc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tõm đường trũn đi qua điểm đú là tia phõn giác của gúc tạo bởi hai bán kớnh đi qua hai tiếp điểm.
Bài Tập tổng hợp:
Bài 1 Cho tam giác ABC vuụng tại A, đường cao AH Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giác ABC, d
là tiếp tuyến của đường trũn tại A Các tiếp tuyến của đường trũn tại B và tại C cắt d theo thứ tự ở D và E a) Tớnh gúc DOE
b) Chứng minh : DE = BD + CE
c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kớnh đường trũn (O) )
d) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh DE
Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn ( B , C là tiếp điểm )
a/ Chứng minh: OA BC
b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?
Baứi 3: Cho nửỷa ủửụứng troứn taõm O, ủửụứng kớnh AB = 2R, M laứ moọt ủieồm tuyứ yự treõn nửỷa ủửụứng troứn
( M A; B).Keỷ hai tia tieỏp tuyeỏn Ax vaứ By vụựi nửỷa ủửụứng troứn.Qua M keỷ tieỏp tuyeỏn thửự ba laàn lửụùt caột
Ax vaứ By taùi C vaứ D
a) Chửựng minh: CD = AC + BD vaứ goực COD = 900
b) Chửựng minh: AC.BD = R2
c) OC caột AM taùi E, OD caột BM taùi F Chửựng minh EF = R
d) Tỡm vũ trớ cuỷa M ủeồ CD coự ủoọ daứi nhoỷ nhaỏt
Bài 4: Cho tam giác ABC vuụng tại A, biết BC = 5cm, AB = 2AC,
a) Tớnh AC
b) Từ A hạ đường cao AH, trờn AH lấy điểm I sao cho AI = 13AH Từ C kẻ Cx //AH Gọi giao điểm của BI với Cx là D Tớnh diện tớch tứ giác AHCD
c) Vẽ hai đường trũn (B, BA) và (C, CA) Gọi giao điểm khác A của hai đường trũn là E Chứng minh rằng CE là tiếp tuyến của đường trũn (B)
……… Hết ………
Chỳc các em ụn tập thật tốt, tận dụng mọi thời gian để học tập, thi học kỳ I đạt kết quả cao.
Giá in: 3000(VNĐ)