Bài tập vật lý chất rắn

Bài tập môn học vật lý chất rắn

EN NGOC CHAN

NGUYEN NGOC CI

Phan J TOM TAT CONG THUC VA Df BAI TAP

Chương Í

MẠNG TINH THỂ VÀ MANG 040

1 Các công thức

- Thể tích ô cơ bản Vạ = ẩ,\ ẩ, ^Z.)với 2, 4 4, ache veces

co so cua mang tinh the

- Các vectơ cơ sở của mạng đao:

có N = N.N¿ Nị ô cơ bản, mối điểm trong khóng gian đáo được

a với m, = 0, +1,

1.3 Coi mỗi nguyên tử là một khôi cầu ran ban

| Tính tỉ sở không gian bị nguyên tử ch

trúc xếp chặt sau:

a) Lập phương đơn giản ; b) Lập phương t I

phương tâm mat; d) Kim cương; ©) Sáu hur

2 Cho d la khoang cach gidta hai nguyen ti]

(SHXC) d= 3.2 Ä với Si (edu tnic kim cương)

AI (LPTK) d = 2,86 A Tim cae hing sé mang)

1.4, Coi méi nguyén tira, b cia câu trúc ©s@

kính r, và r, tương ứng Chứng mi iu

trên đường chéo chính của ô lập

nhau khi mà tỉ số '* hoac &

I, „

a

LPTK xếp chật)

1.5 Đồng có bán kính nguyên tử

lượng nguyên tử là 63,5 g/mol

1.6 Cho mạng lập phương tâm

Mật độ nguyên từ theo với

- mẽ ở trên đoạn LỤ) Tính mật độ nguyên tứ với phương (Ì20)

aguyén tử theo mặt với một mặt phẳng nguyên tứ da che được

đụnh nghĩa là tỉ số Sg/S, (Sp là diện tích phán mật a8y hen

song một ð, Sc là phần diện tích của S„ bị 08gUyên 4 chats

cho) Tinh mat dé nguyén tử voi mat (110),

z.# Tìm mang dao cua tinh thé lập phương tâm khéi, lap phuong

tăm mặt và lục giác

¡9 Chứng mình rằng vectơ đảo Ge hb, + kb, +b, vuông gác với

=ät phẳng (h k L) và khoảng cách giữa hai mat phẳng ké ra

2%

4 is: |

1.10 Tum công thức cụ thé tinh khoảng cách giữa hai mat pháng ké

shaw cua ho mat phang (h k |) cho mang trực giao và cho mang

lap phuong

J11 a Tim mién Brillouin | cho mang hai chiéu, 6 hink Bink

hann

») Tim cdc mién Brillouin | va 2 cho mang hai chiéw, 6 bith

¢) Tim cdc mién Brillouin 1, 2 và 3 cho mạng hai lu, 6

phần: hút (âm) và đẩy (dương):

U(r) = shy 3 với A B> » a r 0, m>na Var

giữa hai nguyên tử

- Với cdc tinh thể phân tử:

-A B

Uf(r) = vs

- Với các tỉnh thể ion có tổng $6 cdc ion duo

năng lượng tương tác tổng cộng của cả tình thể:

b= A ete 1S |, vei Re

nhau nhất ;œ = 1’ —~ là hằng so) Madelungs

nhất của mỗi lơ: À và p là các hằng xổ thực Bể

khoảng cách hai ion ¡, j bất kỳ và đấu " ^ của (

lấy tổng với các vị trí j # ,

2 De bai tap

2.1 Với tỉnh thể ion khi

~ 2 điện môi g,

a) Tìm khoảng cách r giữa hai nguyên tit canh ahaw ki c#2 bằng Biết khí ø = 1 thir 1a 2,81 A, m= 10 Tinh re 7 b) Tinh biếu thức LJ khi can bang (biểu diễn qua z & @ & ©?

Goi U, Rigid tri cia’ U khi ¢ = b, tinh ti 66 —

œ

thê (khoảng cách r) như sau: U(r) = se “si

Khi cân bằng r = r„ và U = Uụ Tính các hằng số œ và 6 theo

ty Va Up Cho ty = 1 A, tinh tỉ 65 trong đơn vị của hẽ SĨ

2.3 Cho một đây iøn điện tích lần lượt là + q

a) Xác định thế nâng tĩnh điện „ cua ion tại gốc Ở trong

trường của các ion khác và nâng lượng day U, cia ion này với

hai ¡on sát cạnh, biết râng nâng lượng đẩy này có damg AA”

tr la khoáng cách hai ion cạnh nhau) Tìm biều thức năng lượng

tong công của 2N lớn của đây Từ điệu kiện cân bang tinh A

b) Nén tính thế từ khoáng cách r„ đên r„(¡ - Š› với Š là lượng

nhỏ, Tìm công nén tính cho một đơn vị đài cua tinh thé

2,4 Nâng lượng tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau trong tình

JiU ~-Š>,Ẻ,

&§-f

8) Tìm khoang cách hai nguyên từ khi cân bằng, — —

bì Chúng mình râng khi cân bảng nàng lượng hút lớn hơn

nàng lượng đầy 8 lần

=—£} Tính nâng lượng LÍ khi cân bằng

dì Biết ràng lực tương tác được tính theo còng

khoảng cách lớn nhất đạt được trong tính thế (khí

2.5 Tính bốn số hạng dau tién trong hằng

số Madelung `

NaCl hai chiều (đóng góp của hình vuông gồm 64 ð) ˆ

2.ø Tính số hạng đầu tiên trong hàng số Madelung dened

ba chiéu

2.7 Tinh hing s6 Madelung cho mang mot chiếu gồm các

dương và âm Xen kẽ, cách đều nhau as

2.8 Mang CsCl 1a lap phuong don gian (ion Cl 6 tam 6) `

phần đóng góp œ, vào hằng số Madelung của hình lap |

cạnh 2a (gồm 8 ô) trên hình 1 So sánh kết quả với giá trị c

xác œ = 1,763 va nhận xét

10

* Điều kién Bragg: 2d,,, sinO = nA

với 8 là góc tạo thành giữa phương tới và

h thể một chùm tia ứng với bude song A thi

- Hệ số cấu trúc: 52 = A với Pe la biên độ nhiễu xạ cực đại

ứng với họ mặt phẳng (h k l) vuông goe với Vectơ a và N là số ô

cơ bản của tỉnh thể sai

Hệ số cấu trúc được tính theo công thức:

sex dite

el

với r, là vectơ vị trí nguyên tử j trong một ô, s là Số nguyên

3.1 Dùng chùm tỉa có bước song a = 1,537 A ct

nhôm với góc Bragg 0 = 19, 2", Theo phương

được cực đại nhiều xạ bậc một ứng với ho mat Nhôm có cấu trúc lập phương tâm mặt có pe

2699 kg/m’ và trong lượng nguyên tử 26.98 Tính

theo các số liệu thực nghiệm

3.2 Tinh thé một chiều cacbon được mô tả trên hình 2

b) Dang chim tì tia có bước sóng hề tận nh th với sóc 0 :

Tìm điều kiện nhiều xạ cực đại

€) Tìm hệ số cấu trúc của mạng tinh thé may,

3.3 Tìm hệ số cau tric cua tinh thé kim cưng -

3-4 Tìm hệ số cấu trúc của mạng lập phương tam khôi

3.5 Tim hệ số cấu trúc của m ang lap phương tâm Mã

đồ tua xa cua tinh thể lập phuong tam mat a

nhiéu xa cuc dai ứng với m phang không?

câu hỏi với mat (101) ` _ rte

"

3.6 Hop kim Cu,Au có thể 3 ở trạng thái trật tự (hình 3)

TT ng trang thal mm trung bì

cee) Rata

ot i acm

9 tele

méi nit mang LPTM có `

nguyên tử Àu VÀ 3 nguyên tư

Cu va hé sO dang nguyen ti laf

a) Tính hệ số cấu trúc của trang

thái trật tu Tinh eu thé cho G

ứng với mặt (100) và (111)

b) Cùng câu hỏi trên cho trạng « tại aie Cu

thái không trật tự © tại các đỉnh: Au

c) Trong các giản đố nhiều xạ

của trạng thấi trật tự và không trật tự giản đồ nào có nhiều

vạch nhiễu xạ cực đại hơn” Giải thích

3.7 Hợp kim CuZn có thế ở trạng thái

trat tự (hình 4) và không trật tự

Trong trạng thái không trật tư về

trung bình cøi như môi nút mạng

tiêu của hệ số cấu trúc

b) Cùng câu hỏi trên cho trạng thái ‘hong

c0 Trong các giản đồ nhiễu Xa eli tran

giản đồ nào có nhiềdÂ

cau trúc bằng nhiều xạ ta X với à s

$0 10 * em thì sẽ có tôi da bao nhiêu vach cực

He tate (ấm sắc (sự phụ thuộc tin số vào vectơ sóng) @ (k)

-xx đạo động sa9g tinh (bể một chiều mỗi 6 6 mot nguyên tử có

She M 2 a ai : ;

+ ME a ch Itong aguyén tir [3 là hằng số lực tương tác và a là

nang sdb mang

_ #f# đhức án sắc cua mạng tình thể mỗi ô có hai nguyên tử

Steen sneer 9 aa

¿Ot la nếp ấm:

_ Thưởng sới các nhánh âm, dùng gán đúng Debye tư

vấn “ứng su; « s& với v là hãng số pen OER

v4 các sánH quang, đùng gin đúng Einstein, sản ®ứng awk) = ay % COmet

- Hà, sát độ tạng thái phonon: Dm) = se) 4 |

4.1 Cho mang vudng, hang s6 mang a, moi nut c6 mot nguy

khối lượng M, hằng số lực tương tác với nguyên tử sát

{ dịch chuyển vuông góc với mặt phẳng mang

a) Lập phương trình cho độ dịch chuyển u, „ cuả nguyễn tử ở hà

m và cột | Từ đó suy ra hệ thức tán sắc của phonon,

b) Vẽ các đường cong tấn sắc theo phương {10} va [11] cua

¢) Tim giá trị cực đại của tấn số, Tim dang của cắc đ to `

86 khi ka << | (k@ k; a k ) ws '

4.2 Cho mạng lập phương đơn giản hằng aaa

nguyên tứ khôi lượng M, hàng số lực | hh ví

4.4 Cho mạng một chiếu, sót Ó số #@t 4g3U/#tệ 4ý #6W6i Áượng #ã\,

m; như trên hình 6 Hãng số đục sương đấc #l@ 2 #66 %

khác loại là Ữ,, hàng số lực co 2 +g0Đ3#w 4 ziog bom te #;

Với nguyên tử n tắnh đến sương tác 2# sác 1giy#t 4W 4ệ + Í ¡

e tac giữa các tiguyên tử

4.5 Cho thế năng tươn

- qx’ - SN HC

dang sau: V(x) = ex?

gutta các nguyên tử

46 Cho mang tình thể một chiều, R

tư cùng loại Ding sin ding Davee os

3v Tìm hàm mật độ trạng thái phonon D(o) vả:

+) Tinh nội năng dao động mạng và tính ni

Cy khi nhiệt độ cao và khi nhiệt độ thấp

47 Cong che men oỌẹớẹ nh th

vuông, hằng số mạng a, gồm N 6, céc nguyén t

44 Ông cán 6 coment

lập phương, hằng số mạng a, gồm N ô,

4.9 Dùng miu Debye cho mang tinh thé hi

Ny & mhiet độ cao và ở nhiệt độ thap (b

- Hàm mật độ trang thái diem ni: Dre) = > với Nực) là số

trang thái điện tử có năng lượng trong khoeng tà Ô đến

- Năng lượng của hệ điện tử đẫm: U_ —_— 3 đây hàm

- Năng luong điện tứ tron§

lập phương đơn giản 6 hang

+) Tìm hàm mát độ trạng thái của điện t tự đo Dí©) 3

b) Tinh nang lượng trung bình cho một điện tử ở 0°K cả ì

diễn qua năng lượng Fermi 6p) “

5.2 Cho mạng vuông, mỗi ô có một nguyên tử hoá trì ge

mang a, diện tích tinh thé 8, khối lượng điện tử m

a) Tìm biểu thức hàm mật độ trạng thái điện tử D(e)

b) Tìm biểu thức nãng lượng Fermi ey Suy ra: peed

N 18 s6 6 tinh thé,

Ke rai m nho ng

5.3 Cho mang ba chiéu thé tich

a) Tim su phụ thuộc nhuê: đc cuz thế #ew ¿(` ở nhiệt độ thập

b) Tìm biểu thức nói nâng cúe ky ñez sẽ và ahuệt đưng đẳng

b) Tìm nội năng khí điệu + xẽ siti#y đương

ích tính thể là V gắm N 6 a,

thẻ tích Viết biểu thức cho p dưới dạng p = am) , tim ¥

điêu điển quả năng lượng Fermi 6p)

bì Độ nén của khí điện tử được định nghĩa bởi: nee 2 Linh độ nén tại 0°K (biểu diễn qua mật độ điện tử) Tt

c) Tinh số cho p và B.clia Na véi n = 2,65,107 =

sánh với giá trị thực nghiệm B = 0,68 a a

Cho bi thực năng lượng điện tử ong tinh thé 6 mang vuoMg

những điểm trên phương [

— XL biểu thức © (El) cho

phương [` —› M, và biểu thức

síK,) cho phương X 5

5.9 Dùng biểu thức năng lượng điện tứ tưong mạng vuông ở Đài 5⁄8: -

a) Tìm đạng của các đường đắng năng ở quanh điểm F:

b) Tìm dạng của các đường đắng năng ở quanh điểm M nhưng án

ở trong miễn Brillouin thứ nhất ;

‹¡ Tìm và vẽ đường đẳng năng ứng với giá trị năng lượng

c =-(e, — C) Với tính thể mỗi 6 có một nguyên tử hoá trị 1

Ve = [š, ^3,}4, “ 2 Hinh 8 Vi tri cae vecto

cơ sơ của mang LTPK

¢ Mang LPTM: chọn các vectơ cơ xơ như hình 9 -

Hinh 10 Cac vecto &, , @,

Ve= HH aa, ES =—v3 GIAN tạng lục gác

3 la; Lập phương đơn giản: ô lập phương chứa 1 hình cẩu

nguyên tử i) và a = 2r Vậy tỷ số không gian bị

r/a ` ===0,524

|.d) Khoang céch hai nguyén tw (0, 0, 0)

4Y° ~ 2r, trong thể tích a` có 8 hình cấu l4

Đóng có cấu trúc LPTM xếp chặt Tính cho 9 lập phương thị

V_=a` và a2 = ár (xem bài giải 1.3.1.) Vì vay

V.=l6r`2 và n=8 = +65 =4

P 6V2 28.10*) 6,023.10"

1.7 Trong mặt phẳng (I 10) S, = 4ra (r là bán kính ngụyên t) Voi

mạng LPTM xếp chat (xem bài giải l 3 Ì £+ ạ = 5 và % = _

Đó là các vectơ cơ sở của mạng LPTK, e

® Lục giác: chọn ba vectơ cơ sở sau:

" a

ẩ,= (1.0.0) Ÿ, =s(, 3,0), Ä\=

Ta tính được co 2n _

ile, (V3 le Oy ch

Hình 13 Vi tri cac vecto mang thudn va mang dao

¢ Goi H & ge : ecto G voi mat phang ABC (mat

ng (h k ; murine G OA =!GI OA cosa

1.11 a) Mang hai chiéu 6 hinh binh hanh co mang tao

cùng la hình bình hanh va mién Brillouin thứ 4 h

LV, kẻ —r—

LE

‹¡ Mang hai chiéu 6 hình vuông (cạnh ä) cé mang đảo cũng là

mạng vuông có canh ð là 2" Các miễn Brlllouig 1, 2 và 3 như

b) Thay giá trị AA, = ——— lay tir điều kiện cân bằng ne ở câu

(aì vào biếu thức của L, ta nhân được: u=-{i }= - Xi

ta) vào biểu thức của U, ta nhân được: Ù = {-z}= _ Vì n) er

U\* lI ĩ n _ la i, nên —' =£*"Š%E 1

2.2 Điều kiện cân bằng: 3 whe ` 1ì» r a 108 r chet h cs re) ee ae ia wi

này của ơ vo biéu thife khi U = Uy, taco B= _UuN” và

Us _ 24" In2 ` + J

y he 9

2.5 Dé tinh hing s6 Madelung t tach mang thanh timg nhom

nguyén tu nhu hinh 20

Hinh 20:

WA, mién cho dite gtpe.,

muén cho déng g6p a;

FEES mien cho đồng gop a,

bed miền cho đóng góp 0,

chiều là do đóng góp của miền trên hình ?!:

lt oh on -á~ 2> >2 -_

18°97" 2 ota a

Từ công thức của định luat Bragg tên wt

6 = acos9 ~ co = nà sới n là số nguyên (phương Ø = ( =

cực đại đại nhiều xạ bậc Ø)

Sử

74, Mang tinh thé kim cương là mạng lp pho Men sếp of

-ö hai nguyên tử có vị trí (0, 0, 0) và + Ầ (1,1, L) (trong hệ toạ

độ mỹ ˆ Mạng đảo là lập phương tâm “or vdi cdc vecto co

‡4 Mang lập phương tâm khối được xem như mạng lập

phương đơn giản mỗi nút có hai nguyên wr, = (0, 0, 0) va

* =2(1, 1, 1), Với quan điểm này vectơ mạng đảo có dạng

- In + ,* ® 7-7? ~

G = “(hi+kj+lk) với ! J ie j+lk) với ¡ J k là các vectơ đơn vị chỉ phương ì

cua hé toa độ Décae

§g=f[L+e se" ]

Vì h +k + l luôn nguyên nên S = f[Ì + cos% (h +k + Ù]

Se = t khi h + k + = 2n

0 khí h +k + = ?n + I

3›Š Mang lập phương tâm mặt được xem như mạng lập phương đơn

siản mỗi nút có bốn nguyên tử: (0 0 0), aa 1N , : Be > ¬*U >} ; ¡l\

(2a jel aseet ine 299096585

Neu tat cả các chỉ sẽ h, k, | déu chan hoae déu

Sew al

Nêu trong h, k, có mệt chi so chan va hai ch số lẻ

một chị xố 1é va hai chi số chin thi S$.=0 0 5 oe

Ap dung: mat (200): Sg = 4f có vạch nhiễu xạ Cực đại

(101): 8£ «0, không có vạch nhiều xạ cực đại

3.6, a) Coi hợp kim Cu,Au ở trạng thấi trật xa bu 0 nh `

đơn gian, mỗi nút có 4 nguyên tử: À0 tại (0, 0, 0) va Cu tai:

<= ~fu, 7, emi ~2u,,.i) "

Dat hie : ee = Ae © rem ta he {

-Mơi u on

= Bu, “vế, a~21+(2cosk,a =2) +(2eo§k A~2)]