De thi HSG Toan 7

PHÒNG GD-ĐT TRỰC NINH TRƯỜNG THCS TRỰC BÌNH.. khoảng cách từ xe máy đến M...[r]

PHềNG GD-ĐT TRỰC NINH

MễN TOÁN 7 NĂM HỌC 2010-2011

Thời gian làm bài 120 phỳt(Khụng kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3 điểm) Tìm x biết

a) (3x2 - 51)2n = (-24)2n (n  N*)

b) (8x - 5)2 = |5- 8x|

Bài 2: (3 điểm)

Cho (x1p – y1q) + (x2p – y2q)2n + (x3p –y3q)2n +

+ (xmp – ymq)2n 0 với m,n N* Chứng minh rằng :

x1 + x2 + x3 + +xm q

=

y1 + y2 + y3 + +ym p

Bài 3 (3 điểm) chứng minh rằng nếu :

bz cy cx az ay bx

thì x,y, z tơng ứng tỉ lệ với a, b, c

Bài 4 (4 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy

chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung

điểm của AB Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng

1 2

khoảng cách từ xe máy đến M

Bài 5 Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M của BC vẽ một đờng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, Cắt AB, AC lần lợt tại E và F Chứng minh rằng:

a) BE = CF

AB AC

AB AC

c) BME=

  2

ACB B

Họ và tên thí sinh:

Số báo

danh :

Chữ kí của giám thị 1:

Chữ kí của giám thị 2:

Đáp án đề thi học sinh giỏi toán 7

Năm học 2010 - 2011

Bài 1 (3 điểm) Tìm x

a) (3x2 - 51)2n = (-24)2n

Vì n N* nên 2n là số chẵn khác 0

Từ đề bài ta có :

3x2 - 51 = -24 (1)

3x2 - 51 = 24 (2)

Giải (1) ta đợc: 3x2 = 27  x2 = 9  x = 3

Giải (2) ta đợc: 3x2 = 75  x2 = 25 x = 5

Vậy x  3; 5

0,25 0,5 0,5 0,25

b)  (5 – 8x)2 = |5- 8x|

 |5 – 8x|2 = |5- 8x|

 |5 – 8x| (|5 – 8x| - 1) = 0

 |5 – 8x| = 0  5-8x = 0 (1)

|5 – 8x| - 1 = 0 |5-8x| = 1 (2)

Giải (1) ta đợc: x=

5 8

Giải (2) ta đợc : 5-8x = 1  8x = 4

5-8x = -1 8x = 6

 x =

1 2

x =

3 4

Vậy x 

1 5 3

; ;

2 8 4

0,5

0,5

0,5

Bài 2 (3 điểm)

Đặt

bz cy cx az ay bx

k

Ta có : bz-cy=ak ; ay-bx=ck ; cx-az=bk

Nhân lần lợt từng vế của đẳng thức lần lợt với a,b,c ta có

abz-acy=a2k

bcx-abz=b2k

acy-bcx=c2k

Cộng theo từng vế của 3 đẳng thức ta đợc:

0 =k(a2+b2+c2)

Theo đầu bài ta có: a2+b2+c2 0

Suy ra k=0  bz=cy; cx=az; ay=bx

Từ đó suy ra

x y z

a b c

Vậy x;y;z tơng ứng tỉ lệ với a,b,c

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 3 (3 điểm)

Ta có: (x1p – y1q)2n 0

(x2p – y2q)2n 0

(xmp – ymq)2n 0

Vậy (x1p – y1q)2n+(x2p – y2q)2n + +(xmp – ymq)2n 0

Mà theo đầu bài ta có :

(x1p – y1q)2n+(x2p – y2q)2n + +(xmp – ymq)2n 0

Suy ra ta có :

x1p – y1q=x2p – y2q= =xmp – ymq=0

Do đó :

3

1 2

1 2 3

m

m

y y y  y p

Hay :

1 2 3

1 2 3

m m

   



   

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 4 (4 điểm)

A M B

Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270km Gọi quãng

đờng ô tô và xe máy đã đi là S1, S2 (km) (S1, S2 >0) Trong cùng một

khoảng thời gian thì quãng đờng tỷ lệ thuận với vận tốc do đó:

1 2

1 2

S S

t

V V  (t là thời gian cần tìm)

 t=

270 270 2



t=

540 2 270 2 (540 2 ) (270 20)



270 3 90

t  

Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách xe máy một koảng bằng

1 2

khoảng cách từ xe máy tới M

2a a

Bài 5 (7 điểm)

a) Chứng minh AHEAHC (g – c - g)

Suy ra AE = AF vaf E1 F

Từ C vẽ CD // AB (D  EF)

Chứng minh BMECMD (g – c - g)

Suy ra BE = CD (1)

Có E1 CDF (Cặp góc đồng vị)

Do đó CDF F

CDF

  cân Vậy CF = CD (2)

Từ (1) và (2) Suy ra BE = CF

b) * Ta có: AE = AB – BE

Mặt khác: AE = AF – AC + CF

Suy ra: AE + AE = (AB - BE) + (AC + CF)

2AE = AB + AC (vì BE = CF)

 AE = 2

AB AC

* Ta có: BE = AB – AE = AB – AF = AB – (AC + CF) Mặt khác: BE = CF Suy ra BE + BE = (AB – AC - CF) + CF

AB AC

c) Xét CMF Có ACB là góc ngoài Suy ra CMF  ACB F 

Xét BME Có E1 là góc ngoài Suy ra BME E  1 B

Vậy

      1  

CMF BME  ACB F  E  B

Hay 2

2

ACB B BMEACB B  BME 

A

M

<

E

F H D