Bài giảng Giải tích 2 – Chương 3 – Tích phân kép (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

Đổi biến tổng quát Tiếp theo, ta chia miền S trong mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ

Bài toán: Tìm diện tích

Nhắc lại

= lim

n→∞

Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai , f  f x y ( , )  0

giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn)

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D,

Bài toán: Tìm thể tích hình trụ

Định nghĩa

Định nghĩa

Định nghĩa

Định nghĩa

Định nghĩa

Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai , f x y( , )  0

giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn)

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D

Định nghĩa

Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D (tổng quát)

( , ) ( , ) ( , )

1) Hàm liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền này

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f x y( , ) 16  x2  2y2

giới hạn dưới bởi hình vuông: R  [0,2] [0,2]

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên R

Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:

a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;

b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;

c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;

d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;

e) Tính thể tích của vật thể

Ví dụ

4 1

2 1

( ) ( )

a g

1

( ) ( )

Định lý Fubini: tích phân lặp

2

1

( ) ( )

x

c h

Tính tích phân kép , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi:

Tính tích phân kép ( ) , trong đó D là tam giác OAB, với:

x D

I    dx e dy 1 2 0

0

x x

Tính tích phân kép

3 0

Thay đổi thứ tự lấy tích phân

Thay đổi thứ tự lấy tích phân

2

2

2 4 3

( , )

y y

Đổi biến tổng quát

Tổng quát, xét phép đổi biến T từ mặt Ouv sang mặt Oxy:

Đổi biến tổng quát

Nếu T là đổi biến 1-1, nó sẽ có một phép biến đổi ngược 𝑇−1 từ mặt Oxy

sang mặt Ouv

Do đó, ta có thể tìm u và v theo x và y :

𝑢 = 𝐺(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝐻(𝑥, 𝑦)

Đổi biến tổng quát

Xét một hình chữ nhật nhỏ S trong mặt Ouv: ảnh của S là miền R trong mặt Oxy Một điểm trên cạnh biên của nó sẽ là:

(𝑥0, 𝑦0) = 𝑇(𝑢0, 𝑣0)

Đổi biến tổng quát

Ta có vector vị trí của điểm (u, v):

𝒓(𝑢, 𝑣) = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 = 𝑔(𝑢, 𝑣) 𝒊 + ℎ(𝑢, 𝑣) 𝒋

Phương trình của cạnh dưới của S là: 𝑣 = 𝑣0

Ảnh của nó được cho bởi hàm vector 𝒓(𝑢, 𝑣0)

Đổi biến tổng quát

Nếu một đường cong trong mặt phẳng cho bởi hàm vector:

𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝒊 + 𝑦(𝑡) 𝒋 với 𝑡 là tham số thì vector tiếp tuyến tại 𝑡0 đối với đường cong không gian này sẽ là:

j i

j i

r

t

y t

x y

Đổi biến tổng quát

Do đó vector tiếp tuyến tại (𝑥0, 𝑦0) đối với đường cong ảnh này sẽ là:

Đổi biến tổng quát

Tương tự, vector tiếp tuyến tại (𝑥0, 𝑦0) đối với đường cong ảnh của cạnh trái của (𝑢 = 𝑢0) là:

Đổi biến tổng quát

Ta có thể xấp xỉ miền ảnh 𝑅 = 𝑇(𝑆) bởi một hình bình hành xác định bởi các vector cát tuyến:

Đổi biến tổng quát

Đổi biến tổng quát

Điều này có nghĩa là ta có thể xấp xỉ R bởi một hình bình hành xác định

bởi 2 vector ∆𝑢 𝒓𝑢 và ∆𝑣 𝒓𝑣

Đổi biến tổng quát

Vậy, có thể xấp xỉ diện tích của R bởi diện tích của hình bình hành này:

|(∆𝑢 𝒓𝑢) × (∆𝑣 𝒓𝑣)| = |𝒓𝑢 × 𝒓𝑣| ∆𝑢 ∆𝑣 Tích có hướng của 2 vector:

0 0

Đổi biến tổng quát

Jacobian của biến đổi T cho bởi 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) và 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) là:

Với ký hiệu này ta có thể xấp xỉ một diện tích ∆A của R:

( , ) ( , )

Đổi biến tổng quát

Tiếp theo, ta chia miền S trong mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ 𝑆𝑖𝑗

và gọi ảnh của nó trong mặt Oxy là 𝑅𝑖𝑗

Đổi biến tổng quát

Áp dụng công thức xấp xỉ đối với 𝑅𝑖𝑗 ở trên, ta có xấp xỉ của tích phân

2 lớp của f trên miền R như sau

( , )

( , )

( , ) ( ( , ), ( , ))

Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 ; sao cho phép đổi biến

này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số điểm

Ví dụ Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2:

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r  2

Định nghĩa

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2

• Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: x2  y2  2 x

Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2

2 sin 2sin

r  r   r 

• Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: x2  y2  2 y

Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là: cos 2 2

Ví dụ

cossin

Tọa độ cực của điểm Rij là: (r i* cos*j,r i* sin*j )

Tính tích phân kép ( ) , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi:

8 1cos sin

I 

Ví dụ

I  

8cos3

0 0

cossin

r r

Trường hợp 2 Miền phẳng D là Ellipse:

y

r b

Tính (2 ) , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

Tính ( 1) , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

sin2

2



 

Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi



Tính diện tích miền D giới hạn bởi: x2  y2  2 ;y x2  y2  6 ;y y  x 3; x  0Diện tích miền D là:

1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z  z x y2( , )

2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z  z x y1( , )

3) Xác định hình chiếu của xuống Oxy:  D xy  PrOxy

Chú ý: 1) Có thể chiếu Ω xuống Oxz, hoặc Oyz Khi đó mặt phía trên, mặt phía dưới phải theo hướng chiếu xuống

2) Để tìm hình chiếu của Ω xuống Oxy, ta khử z trong các phương trình của Ω

Tính thể tích

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: và các mặt tọa độ z  2x2  y2 1,x  y 1

x

y

z Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z  4 y z2;  y2  2; x  1; x  2

Chiếu vật thể xuống Oyz:

2 ( 1)

y y

1

4 2 1

Mặt S cho bởi phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), D là hình chiếu của S xuống Oxy Chia miền D thành n miền con D1, D2, , Dn Khi đó tương ứng, S được chia thành các mặt con S1, S2, , Sn

Diện tích mặt cong

Lấy điểm tùy ỳ ( , ,0)P x y i i i D i

Tương ứng với điểm ( , , )M x y z i i i i S i

Gọi Ti là mặt tiếp diện với Si tại Mi

Và Ti là mảnh có hình chiếu xuống Oxy là Di

Diện tích tương ứng: ∆𝑆1, ∆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑛

Với Di nhỏ, ta coi diện tích của Ti là diện tích gần đúng của mảnh Si :

Gọi là góc giữa hai mảnh Di i và Ti : S D( i)  S T( ) cosi  i

Ta có là góc giữa pháp tuyến tại Mi i với mặt S và trục Oz

Diện tích mặt cong

Véctơ pháp của S tại Mi :

1cos

Diện tích mặt cong có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), có hình chiếu xuống mặt

phẳng Oxy là D xy được tính bởi công thức:

Tính diện tích phần mặt paraboloid nằm trong hình trụ: z  1 x2  y2

Hình chiếu của S xuống Oxy: