Dan va de so 914 BoxMath

Tìm tất cả các giá trị của k để trên đồ thị hàm số C tồn tại đúng hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc k đồng thời đường thẳng đi qua hai tiếp điểm cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại [r]

DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN

www.boxmath.vn - www.facebook.com/pages/BoxMath

TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ

ĐẠI HỌC NĂM 2012

Đề thi được ra bởi Ban quản trị Boxmath và Lời giải

được đóng góp bởi các thành viên của diễn đàn

DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012

ĐỀ SỐ: 09

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= −x3 3x2+2 ( )C

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C

2. Tìm tất cả các giá trị của k để trên đồ thị hàm số ( ) C tồn tại đúng hai tiếp tuyến có cùng hệ số

góc k đồng thời đường thẳng đi qua hai tiếp điểm cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A và

Bsao cho AB≥ 5

Câu II (2 điểm)

xdx I

x

=+

∫

Câu IV.(1 điểm) Cho hình chóp tam giác đều SABC có khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC bằng )

a và góc tạo bởi AB và mặt phẳng ( SBC bằng ) 300 Gọi M là trung điểm của BC,N là trung điểm của SM Tính thể tích khối chóp SABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA BN theo , a

Câu V (1 điểm)Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn điều kiện:

2 2

12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P=x2+y2+z2

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là

AD x+ + =y , đường cao xuất phát từ đỉnh B là BH: 2x− + =y 1 0 Cạnh AB đi qua M(1;1) Biết diện tích của tam giác là 27

2 Tìm tọa độ của các đỉnh tam giác ABC

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 mặt phẳng ( ) : P x+mz− =m 0,

( ) : (1Q −m x my) − =0 (m là tham số thực và m≠0) Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ), ( )P Q biết khoảng cách từ điểm (2;1; 1)I − đến đường thẳng ∆ là lớn nhất

Câu VII.a (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 11z10+10iz9+10iz− =11 0 Chứng minh rằng 1

z =

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )d :x− + =y 1 0 và đường tròn

2 2

( ) :T x +y −2x+4y− =4 0 Tìm điểm M thuộc đường thẳng ( ) d sao cho qua M ta kẻ được các

tiếp tuyến MA MB, đến đường tròn ( )T ,( ,A B là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ điểm

  đến đường thẳng đi qua AB là lớn nhất

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho (1; 0; 2), (3;1; 4), (3; 2;1) A B C −

Gọi ∆ là đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ( ABC) Tìm điểm S thuộc đường thẳng ∆

sao cho mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có bán kính bằng 3 11

- Hết -

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ SỐ 9 NĂM 2012

BOXMATH.VN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I Cho hàm số y= −x3 3x2+2 ( )C

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( )C

2 Tìm k để tồn tại đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) C có cùng hệ số góc k đồng

thời đường thẳng đi qua hai tiếp điểm cắt các trục tọa độ Ox Oy, tại hai điểm ,A B sao cho AB≥ 5

3x 6x k 0

⇔ − − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ +' 0 9 3k > ⇔ > −0 k 3

Khi đó tọa độ hai tiếp điểm thỏa mãn hệ phương trình sau:

x x

Câu III Tính tích phân:

1 3

xdx I

x

=+

6

3tan 1

24

Câu IV Cho hình chóp tam giác đều SABC có khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC) bằng

a và góc tạo bởi AB và mặt phẳng ( SBC) bằng 30 Gọi M là trung điểm của BC , N là trung 0điểm của SM Tính thể tích khối chóp SABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

,

SA BN theo a

B A

S

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì H là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: BC⊥(SAM) Trong tam giác SAM kẻ

4

a a

( )

2 2 2

2 2

2

2 2

Từ đó tính được các giá trị của , ,a b c để dấu bằng xảy ra:

Vậy max 25 616; min 25 616

Câu V Phần tính toán phức tạp nhưng kq ra lẻ Rất mong các bạn tìm cách giải để đi đến

kq đơn giản hơn

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là AD x: + + =y 2 0, đường cao xuất phát từ đỉnh B là BH: 2x− + =y 1 0 Cạnh

AB đi qua M(1;1) Biết diện tích của tam giác là 27

2 Tìm tọa độ của các đỉnh tam giác ABC

Giải:

N M

Phương trình đường thẳng AC: AC BH AC x: 2y 9 0 A AC AD A(5; 7)

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 mặt phẳng

( ) :P x+mz− =m 0, ( ) : (1Q −m x) −my=0 (m là tham số thực và m≠0) Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ), ( )P Q biết khoảng cách từ điểm (2;1; 1) I −

đến đường thẳng ∆ là lớn nhất

Giải:

Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ luôn thỏa mãn hệ: 0

dễ tìm được điểm cố định thuộc đường thẳng giao tuyến là: K(0; 0;1)

Ta thấy rằng mọi điểm M x y z thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) ,(Q) thì , ,( ; ; ) x y z phải thỏa

mãn phương trình: x+mz− + −m (1 m x) −my= ⇔ + + − =0 x y z 1 0

Vậy ∆ luôn thuộc mặt phẳng cố định ( ) :α x+ + − =y z 1 0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ∆ thì IH ≤IK

z i

−

=+ (*)

Đặt z x yi= + với ,x y∈ℝ Từ (*) suy ra:

Câu VIb

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )d :x− + =y 1 0 và đường tròn

2 2

( ) :T x +y −2x+4y− =4 0 Tìm điểm M thuộc đường thẳng ( ) d sao cho qua M ta kẻ được

các tiếp tuyến MA MB, đến đường tròn ( )T ,( ,A B là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ điểm 1;1

Xét điểm M a a( ; + ∈1) ( )d Và điểm ( ; )A x y là tiếp điểm

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua ,A B là: ( )∆ :(a−1)x+ −(a 3)y+ − =a 2 0

Ta tìm được điểm cố định ( )∆ luôn đi qua là: 1; 1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên ( )∆ thì NH ≤NP

Dấu bằng xảy ra khi NH ⊥NP ta có: 1; 3

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho (1; 0; 2), (3;1; 4), (3; 2;1) A B C −

Gọi ∆ là đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ( ABC) Tìm điểm S thuộc đường thẳng

∆ sao cho mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có bán kính bằng 3 11

2

Ta có:


AB(2;1; 2),


AC(2; 2; 1)− −

vì


AB AC.


=0⇒∆ABC

vuông tại A Gọi K là tâm vòng tròn

ngoại tiếp tam giác 3; 1 5;

Trong mặt phẳng chứa ∆ và đường thẳng (d) qua K vuông góc với (ABC) ta dựng đường trung

Theo giả thiết ta có:

A A A

DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012

ĐỀ SỐ: 10

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I.(2 điểm) Cho hàm số: yx33(m1)x26mx3m (4 Cm )

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m 1

2 Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Cm tại điểm ) A có hoành độ bằng 1 Tìm m để tiếp

tuyến cắt đồ thị hàm số (Cm tại điểm ) B khác A sao cho tam giác OAB cân tại O

Câu II (2 điểm)

0

sin

1 sincos

Câu V (1 điểm) Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện x y z , ,  0;1

Tìm giá trị nhỏ nhất của  2  2  2

P xy y  yz z  zx x

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VI a.(2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD có 0

90

AD Biết BCCD2AB Trung điểm của BC là M(1; 0), đường thẳng AD có phương trình: x 2y0 Tìm tọa độ điểm A

2 Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho đường thẳng : 2 3 1

x y z

d     

  Xét hình bình hành ABCD có A(1;0;0), C(2;2;2),Dd Tìm tọa độ điểm B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2

2011 3 2011 5 2011 2011 2011

S C  C  C   C

2.Theo chương trình Nâng cao

Câu VII b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD tại A và D có đáy lớn là CD, cạnh

AD xy , cạnh BD x: 2y Biết góc tạo bởi BC và AB bằng 0 0

45 , diện tích hình thang ABCD bằng 24 Tìm tọa độ các đỉnh hình thang biết đỉnh B có tung độ dương

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z  và mặt phẳng (P):x2y2z Từ một điểm M trên mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng 5  tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N Tìm vị trí của M để MN  11

Câu VIIb (1 điểm) Cho   là hai số phức liên hợp thỏa mãn điều kiện: , 2

 là số thực và

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI SỐ 10

yx  m x  mx m (Cm )

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m 1

4 Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Cm tại điểm ) A có hoành độ bằng 1 Tìm m để tiếp

tuyến cắt đồ thị hàm số (Cm tại điểm ) B khác A sao cho tam giác OAB cân tại O

f x  x  m x m Tiếp tuyến tại A là: :y 3(x1)  2 :y 3x 5

Phương trình hoành độ giao điểm của  và (Cm là: ) x33(m1)x26mx3m4 3x 5

Câu III Tính tích phân:

4

2 2

0

sin

1 sincos

2

12

B A

D

Đường thẳng (d) qua M song song với CD có dạng: 2xy 20

Giao điểm N của (d) và AD là nghiệm của hệ sau:

B A

2 10( )5

Ta có: d I/( )P 6 mà M thuộc mặt phẳng (P) suy ra M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P)

M thuộc đường thẳng ( )d qua (5;1;3) I vuông góc với (P) nên M(5t;1 2 ;3 2 ) t  t

I PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh

Câu I.(2 điểm) Cho họ đường cong (Cm) : y = mx3− m 2 x2− 4mx + 4m 2 − 6 , m là tham số thực.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = −2.

2 Tìm trên trục Ox các điểm mà không có đường cong nào của họ (Cm) đi qua.

Câu II.(2 điểm)

1 Giải phương trình: sin 2x + sin 3x

cos 3x − cos 2x =

√ 3.

√ 2

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có SA ⊥ (ABCD) Gọi O là tâm của hình thoi M là trung điểm của SC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM Biết

SO = 2√2, AC = 4, AB =√5.

Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện (x+y +z)2+18xyz = 27 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x + y + z − 9xyz

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VIa (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0 và d 2 : x + y − 4 = 0 Tìm trên trục hoành hai điểm A và B, trên d1 điểm C và trên d2 điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm I(2; 3; −1) và đường thẳng d :

q log23x + 1 − 2m − 1 = 0 có nghiệm trên [1; 3

√

3 ]

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0 và d 2 : x + y − 4 = 0 Tìm trên trục hoành hai điểm A và B, trên d1 điểm C và trên d2 điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật Biết diện tích tứ giác ABCD bằng 7.

2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − y + z + 1 = 0, điểm A(−1; 3; 2) và điểm B(−9; 4; 9) Tìm điểm K thuộc (P ) sao cho tam giác ABK có chu vi nhỏ nhất.

DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012

ĐỀ SỐ: 12

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x





  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng  d :y  x m cắt đồ thị  C tại 2

điểm phân biệt ,A B sao cho OA2OB2 18

BC DC SC tương ứng MBC N, DC P, SC Tính thể tích khối tứ diện AMNP và khoảng cách

giữa hai đường thẳng NP AC theo , a

Câu V (1 điểm) Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn , ,  2 2

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A 5; 2 , B 3; 4 Biết diện tích tam giác

ABC bằng 8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5 Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương

2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P đi qua M  1;1;1, song song với

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 25 Trọng tâm G nằm trên

đường thẳng ( ) : 3 x6y10 Biết 0 A6; 2 ,  B2; 4, tìm tọa độ điểmC

2 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M    1; 1; 2, cắt

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 12 CỦA BOXMATH.VN

x





  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng  d :y  x m cắt đồ thị  C tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho OA2OB2 18

2 4

2sin1

2 sin1

x

x x

x x

x x x

2 sin 2 1 cos 2 1 2 1 cos 2

2 sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 1 0

Cách 1: Giải hệ (1), (3) và kiểm tra (4)

x x

x  y  vào (4) ta thấy nghiệm này được thỏa mãn

Cách 2: Giải hệ (1), (4) và kiểm tra (3)

1 l

1n

e

dx

x x

x K

tương ứng MBC N, DC P, SC Tính thể tích khối tứ diện AMNP và khoảng cách giữa hai

đường thẳng PN AC theo , a

- Tính V AMNP

Trong mặt phẳng SAC dựng PH/ /SA, HACPH ABCD

a HQ

Câu V Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn , ,  2 2

a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 91

108 Dấu bằng xảy ra khi 1; 5

5

a bc

Câu VI.a

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A 5; 2 , B 3; 4 Biết diện tích tam giác

ABC bằng 8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5 Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương

4 2

152

 Kết hợp với x C y C  ta được phương trình vô nghiệm 1

 Kết hợp với x C y C  15 ta được C11; 4 ,  C 5; 10 (loại)

- Với I  1; 0, ta có: IC2 5x C 12y C 02 20

 Kết hợp với x C y C  ta được 1 C  3; 4 (loại), C3; 2  (nhận)

 Kết hợp với x C y C  15 ta được phương trình vô nghiệm

(2a b ) 02a b  0Chọn: a1;b  , suy ra: 2 c 2

Vậy phương trình mặt phẳng là: x2y2z  1 0

i z

  S : x12y22z12 25 tại hai điểm A B sao cho , AB 8

Đường thẳng d đi qua N2;1;1 có a   d  1; 2;1

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 13 CỦA BOXMATH.VN

Môn: Toán

Câu I (2 điểm) Cho hàm số yx33mx 1 C m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số C m có hai điểm cực trị A B sao cho ,diện tích tam giác IAB bằng 4 2 , trong đó I 1;1

Tọa độ hai điểm cực trị A( m; 2 m m1); (B  m; 2m m1)

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y 1 2mx

1 Giải phương trình: 1 sin 3 2 cos2 2

sin cos4sin cos cos 2 sin 2 1

sin 2

x x x

x x x

Vậy phương trình có nghiệm

Gải phương trình này ta có :a2b1 hoặc 3a b 4

-Với a2b1 thu được 4(5 7)

2 4

2 4

2 cos 2 cossin cos

Câu IV Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và  0

60

BAD  Gọi M N lần ,lượt là trung điểm của AB AD tương ứng, hình chiếu của , S lên mặt phẳng ABCD là giao điểm P

của CM BN Biết góc tạo bởi , SB và mặt phẳng ABCD bằng 0

 

2 2

Câu V Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 4 3

5ba c 5b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 12(a b) 12(b c) 25(c a)

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 7

Dấu “=” xảy ra khi

a b

2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 ,  B2;1; 2 , C0; 3; 2  và mặt phẳng

 P :x2y2z 1 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P sao cho biểu thức MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Đầu tiên gọi điểm I có toạ độ ( , , ) I a b c thoả mãn:   IA IB IC0

Ta dễ dàng tìm được điểm (1; 4 5; )

3 3

I Khi đó ta có ngay điểm M chính là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( ) P

Ta viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng ( ) P là:

142352

Câu VII.b Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: