De thi HSG cap truong toan 9

Suy ra  OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC.. Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ( GỬI PHÒNG ) : 2012-2013

15 11 3 2 2 3

0, 1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để

1 2

A 

c) Chứng minh rằng

2 3

A 

d) Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 2 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng :52222555 chia hết cho 7

a b c

a b c x y x

x y z

        

Chứng minh rằng : ax2by2cz2 0

Bài 4 ( 2 điểm) : Cho a,b,c,d > 0 và a.b.c.d = 1

Chứng minh rằng : a2b2c2d2a b c  b c d  d c a  10

Bài 5 (8,0 điểm)

Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại

A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)

c) Chứng minh K là trung điểm của CH

d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất

đó theo R

HẾT

-ĐÁP ÁN :

Bài 1 :

15 11 3 2 2 3

)

15 11 3 2 2 3

7 5 2

2 5

3

a A

x x

x

x



 









0.5 0.5

0.5 0.5

b) Để

1

2

A 

2 5 1

2 3

1

11 1

121

x

x

x





 

0.5 0.25

0.25 0.25

c)

2

3

3 3

x x



 Xét

2 5 2 17 1

3

 

Ta có : 17 x1 0 ( vì x0) và 3 x 3 0

( vì x 0)

17 1

0

x

x

 





Vậy

2 3

A 

0.25 0.25

0.25 0.25

d)











 



2 5

)

3

3

17

3

x

b A

x

x

x

x

A đạt GTLN khi

17 3

x  đạt giá trị lớn nhất, nên x 3 đạt GTNN suy ra x = 0

0.25 0.25 0.25 0.25

Bài 2 :

555 2(mod 7) 555222  2222(mod 7 ) (1)

23 1(mod7)  (23)74 1(mod7)  555222 1(mod7) (2)

0.5 0.5

222 -2(mod7)  222555 (-2)222(mod7)

Lại có (-2)3 -1(mod7)  [(-2)3]185 -1(mod7)  222555  -1(mod7) (3)

Từ (1), (2) và (3) Suy ra 555222+222555 1-1(mod 7)  555222+222555 chia hết cho 7 0.5

0.5

Bài 3

Ta có x + y+ z = 0  x2 = (y+z)2 ; y2 =(x+z)2; z2 = (y+x)2

 ax2 +by2 +cz2 = a(y+z)2 +b(x+z)2+c(y+x)2

=(b+c)x2 +(a+c)y2+(a+b)z2 +2(ayz+bxz+cyz) (1)

Từ a+b+c = 0  -a=b + c ; -b = a + c; -c = a + b( 2)

a b c

x yz  

ayz+bxz+cxy

0 xyz   ayz+bxz+cxy = 0(3) Thay (2); (3) vào (1) ta được : ax2 +by2 +cz2 =-(ax2+by2+cz2) ax2 +by2 +cz2 = 0

( Hai số đối nhau mà bằng nhau chỉ có số 0)

0.5 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5

Bài 4

Ta có : a2b2 2 ;ab c2d2 2cd

Do abcd = 1 nên

1

cd ab



ab

        

Mặt khác :

2 2 2

10

a b c b c d d c a ab cd ac bd bc ad

a b c d a b c b c d d c a

          

        

          

0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25

1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn (2 điểm)

Chứng minh OI  AC

Suy ra OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC

CHAB (gt) CHO vuông tại H  H thuộc đường tròn đường kính OC

Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC hay C, I, O, H cùng thuộc một

đường tròn

0.75 0.25 0.75 0.25

2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) (2 điểm)

K

M

I

C

A

- Chứng minh AOM = COM

- Chứng minh MCCO

 MC là tiếp tuyến của (O; R)

0.75 0.25 0.25

3) Chứng minh K là trung điểm của CH ( 2 điểm)

MAB có KH//MA (cùng AB) 

KH

Chứng minh cho CB // MO  AOM CBH (đồng vị)

C/m MAO đồng dạng với CHB 

CH

Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH  CK = KH  K là trung điểm của CH

1

0.75 0.25 4) Xác định vị trí của C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó

Chu vi tam giác ACB là PACB ABACCB2RACCB

Ta lại có

AC CB  0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB

2 AC CB  ACCB  ACCB 2 AC CB  ACCB 2AB

(Pita go)

2

ACCB 2.4R  ACCB2R 2

Đẳng thức xảy ra khi AC = CB  M là điểm chính giữa cung AB

Suy ra PACB 2R2R 2 2R 1  2

, dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB

Vậy max PACB 2R 1  2

đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB

0.5

0.75

0.25 0.25 0.25