Đồng dư thức
Khái niệm đồng dư
Cho một số tự nhiên m lớn hơn 1, hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo modulo m nếu chúng có cùng số dư khi chia cho m Ký hiệu cho sự đồng dư này là a ≡ b (mod m).
Nói cách khác, a đồng dư với b theo modulo m nếu a và b biểu diễn được dưới dạng: a = pm+r b = qm+r
Từ đó suy ra: a ≡ b(modm) khi và chỉ khi m/a−b. khi và chỉ khi tồn tại số nguyên t sao cho a = b+mt.
Hệ thức (1.1) được gọi là một đồng dư thức.
Định lý Euler và định lý Fermat
Định lý Euler
Chứng minh rằng cho x chạy qua hệ thặng dư thu gọn không âm nhỏ nhất r1, r2, , rϕ(m), thì ax cũng chạy qua một hệ thặng dư thu gọn Giả sử s1, s2, , sϕ(m) là các thặng dư không âm nhỏ nhất cùng lớp với ax1, ax2, , axϕ(m) Ta có các đồng dư: ar1 ≡ s1 (mod m), ar2 ≡ s2 (mod m), , arϕ(m) ≡ sϕ(m) (mod m) Nhân từng vế các đồng dư thức, ta được aϕ(m) r1r2 rϕ(m) ≡ s1s2 sϕ(m) (mod m).
Vì r1, r2, , rϕ(m) và s1, s2, , sϕ(m) là hệ thặng dư thu gọn không âm nhỏ nhất và chỉ khác nhau về thứ tự, nên mỗi số trong đó đều nguyên tố với m Khi chia hai vế của đồng dư thức cho tích r1, r2, , rϕ(m), ta có a ϕ(m) ≡ 1 (mod m) Đặc biệt, khi m là số nguyên tố và a không chia hết cho m, ta nhận được định lý Fermat từ định lý Euler.
Phương trình đồng dư một ẩn
Chương 2 Thặng dư toàn phương
Ký hiệu Jacobi
Chương 3 Một số ứng dụng của thặng dư toàn phương
Giải một số bài toán khó trong số học phổ thông
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng, người thầy tận tâm đã hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, tôi cũng rất biết ơn các thầy cô phản biện đã dành thời gian quý báu để đọc và góp ý cho bản luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tâm hướng dẫn và truyền đạt kiến thức trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Đồng thời, tôi cũng muốn bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ và giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện luận văn này.
Dù đã nỗ lực hết mình để hoàn thiện luận văn, tôi nhận ra rằng vẫn còn những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô và các bạn để cải thiện hơn nữa.
Thái Nguyên, ngày 29 tháng 12 năm 2019
Chương 1 Đồng dư và phương trình đồng dư
Cho số tự nhiên m lớn hơn 1, hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo modulo m nếu chúng cho cùng một số dư khi chia cho m Ký hiệu cho mối quan hệ này là a ≡ b (mod m).
Nói cách khác, a đồng dư với b theo modulo m nếu a và b biểu diễn được dưới dạng: a = pm+r b = qm+r
Từ đó suy ra: a ≡ b(modm) khi và chỉ khi m/a−b. khi và chỉ khi tồn tại số nguyên t sao cho a = b+mt.
Hệ thức (1.1) được gọi là một đồng dư thức.
1.1.2 Tính chất của đồng dư thức a) • a ≡a(modm)∀a.
• Nếu a ≡ b(modm) b ≡c(modm) thì a ≡ c(modm)
• Nếu a1 ≡ b1(modm) a 2 ≡ b 2 (modm) thì a1 ±a2 ≡b1 ±b2(modm)
Chứng minh Ta chỉ chứng minh với phép toán cộng, phép trừ hoàn toàn tương tự.
Từ giả thiết ta có: a1 = b1 +mt1 a2 = b2 +mt2
Cộng từng vế của hai đẳng thức ta có:
Từ tính chất này ta suy ra:
* Có thể thêm, bớt cùng một số ở hai vế của một đồng dư thức Nghĩa là: Nếu a ≡ b(modm) thì a+c ≡ b+c(modm) với c là số nguyên tùy ý.
* Có thể chuyển vế (phải đổi dấu) các số hạng của một đồng dư thức Nghĩa là: a+c ≡ b(modm) khi và chỉ khi a ≡ b−c(modm)
* Có thể thêm, bớt một vế của đồng dư thức một bội số của m Nghĩa là: a ≡ b(modm) thì a+tm ≡ b(modm) b) Nếu a1 ≡ b1(modm) a 2 ≡ b 2 (modm) thì a1.a2 ≡ b1.b2(modm)
Chứng minh Từ giả thiết ta có: a1 = b1 +mt1 a2 = b2 +mt2
(t 1 , t 2 ∈ Z) Nhân từng vế của hai đẳng thức ta được: a1.a2 ≡ b1.b2 +mT trong đó T là một số nguyên.
Từ tính chất này ta có thể suy ra các tính chất sau:
* Có thể nhân cả hai vế của một đòng dư thức với cùng một số nguyên Chính xác hơn:
Nếu a ≡ b(modm) thì ak ≡ bk(modm)
* Có thể nâng lên lũy thừa nguyên dương hai vế của một đồng dư thức Tức là:
Nếu a ≡ b(modm) thì a n ≡b n (modm) trong đó n nguyên dương bất kì. c) Đặc biệt khi m = p là số nguyên tố, a = a1.a2.
Ta có khẳng định sau: a ≡ 0(modp) khi và chỉ khi: a1 ≡0(modp) a2 ≡0(modp) Chứng minh. a ≡ 0(modp)
⇔ a1 ≡ 0(modp) a 2 ≡ 0(modp) d) Nếu a ≡ b(modm), d/a, d/b,(d, m) = 1 thì a d = b d(modm) Chứng minh Giả sử a = a1d, b = b1d Ta có: a ≡b(modm)
⇒m/d(a1 −b1), mà (d, m) = 1 nên m/a1 −b1 ⇒a1 ≡ b1(modm). e) a ≡ b(modm) khi và chỉ khi ak ≡ bk(modmk) trong đó k nguyên dương bất kì.
⇔ ak ≡bk(modmk) g) Nếu a ≡ b(modm1) a ≡ b(modm2) thì a ≡ b(modm) trong đó m = [m1, m2] Chứng minh Từ giả thiết ta có: m1/a−b m2/a−b tức là a−b là bội chung của m1 và m2.
Theo định nghĩa bội chung nhỏ nhất ta có m/a−b
⇒ a ≡b(modm) h) Nếu a ≡ b(modm) thì a ≡ b(modd) trong đó d là ước số của m với d > 1.
⇒ a ≡ b(modd). k) Nếu a ≡ b(modm) thì tập hợp các ước số chung của a, m trùng với tập hợp các ước số chung của b, m Đặc biệt (a, m) = (b, m).
Chứng minh Tính chất này trực tiếp suy ra từ định nghĩa a ≡ b(modm).
1.2 Hệ thặng dư và lớp thặng dư
Xét m là một số nguyên dương lớn hơn 1, mỗi số nguyên a có thể được viết duy nhất dưới dạng a = qm + r, với 0 ≤ r ≤ m − 1 Tập hợp Ar, chứa tất cả các số nguyên có cùng số dư r khi chia cho m, được gọi là lớp thặng dư modulo m, và mỗi phần tử trong Ar được gọi là một thặng dư modulo m.
Mỗi số nguyên a có duy nhất một cặp số nguyên q và r, với điều kiện 0 ≤ r ≤ m − 1, sao cho a = qm + r Điều này có nghĩa là a thuộc và chỉ thuộc một lớp thặng dư modulo m, ký hiệu là Ar Hơn nữa, khi hợp tất cả các lớp thặng dư modulo m, ta thu được tập hợp Z của các số nguyên, tức là m−1 S r=0.
• Trong mỗi lớp thặng dư modulo m lấy một thặng dư đại diện.
Hệ thặng dư đầy đủ modulo m là tập hợp gồm m phần tử, trong đó mỗi phần tử là một số nguyên không đồng dư với nhau modulo m.
H = {0,1, , m−1} được gọi là hệ thặng dư đầy đủ modulo m không âm nhỏ nhất.
Nhận xét 1.2.1 Tất cả các số nguyên thuộc một lớp thặng dư modulo m có cùng ước chung lớn nhất với m.
Thật vậy, giả sử a, b ∈ Ar, tức là a = q1m+r, b = q2m+ r(q1, q2 ∈ Z).
Đặt ϕ(m) là số lượng các số tự nhiên nhỏ hơn m và nguyên tố với m Theo nhận xét, ϕ(m) tạo thành các lớp thặng dư, trong đó mọi thặng dư đều nguyên tố với m Khi chọn một thặng dư đại diện từ mỗi lớp thặng dư, ta có được hệ thặng dư thu gọn modulo m Hệ thặng dư này bao gồm ϕ(m) số nguyên, nguyên tố cùng nhau với m và không đồng dư với nhau modulo m Nếu tập hợp ϕ(m) phần tử này được chọn từ hệ thặng dư đầy đủ modulo m không âm nhỏ nhất, ta sẽ có hệ thặng dư thu gọn không âm nhỏ nhất modulo m.
1.3 Định lý Euler và định lý Fermat
Chứng minh rằng cho x chạy qua hệ thặng dư thu gọn không âm nhỏ nhất r1, r2, , rϕ(m), thì ax cũng chạy qua một hệ thặng dư thu gọn Giả sử s1, s2, , sϕ(m) là các thặng dư không âm nhỏ nhất cùng lớp với ax1, ax2, , axϕ(m) Ta có các đồng dư sau: ar1 ≡ s1 (mod m), ar2 ≡ s2 (mod m), , arϕ(m) ≡ sϕ(m) (mod m) Nhân từng vế các đồng dư thức, ta được aϕ(m) r1r2 rϕ(m) ≡ s1s2 sϕ(m) (mod m).
Vì r1, r2, , rϕ(m) và s1, s2, , sϕ(m) là hệ thặng dư thu gọn không âm nhỏ nhất và chỉ khác nhau về thứ tự, nên mỗi số trong đó đều nguyên tố với m Khi chia hai vế của đồng dư thức cho tích r1, r2, , rϕ(m), ta có a ϕ(m) ≡ 1 (mod m) Trong trường hợp đặc biệt của định lý Euler với m là số nguyên tố và a không chia hết cho m, ta nhận được định lý Fermat.
Nếu p là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì: a p−1 ≡ 1(modp)
Bằng cách nhân cả hai vế của đồng dư thức này với a ta được một dạng khác của định lý Fermat phát biểu như sau: a p ≡ a(modp)
Với p là số nguyên tố và a là số nguyên bất kì (Để ý rằng khi a chia hết cho p định lý hiển nhiên đúng).
1.4 Phương trình đồng dư một ẩn
• Đồng dư thức có dạng f(x) ≡ 0(modm) trong đó f(x) = aox n +a1x n−1 + + an với ao không chia hết cho m, được gọi là phương trình đồng dư bậc n.
Giải phương trình đồng dư là tìm tất cả các giá trị của ẩn số sao cho đồng dư thức thỏa mãn một số nhất định Những giá trị này được gọi là nghiệm đúng của phương trình đồng dư Bằng cách áp dụng các phép biến đổi tương đương, nếu r là nghiệm đúng của phương trình đồng dư f(x) ≡ 0 (mod m), thì mọi số cùng lớp thặng dư với r modulo m cũng sẽ là nghiệm của phương trình đó.
Thật vậy: Giả sử y thuộc lớp thặng dư với r: y ≡ r(modm)
⇒ an−iy i ≡ an−ir i (modm) với mọi 1 ≤ i ≤n−1.
Mặt khác an ≡ an(modm)
Cộng từng vế n+ 1 đồng dư thức ta được: f(y) ≡f(r)(modm)
Mỗi lớp đồng dư modulo m như vậy được gọi là một nghiệm của phương trình đồng dư.
• Ta có: f(x) ≡ 0(modm) khi và chỉ khi f(x) = mt hay f(x)−mt = 0.
Do vậy việc giải phương trình đồng dư f(x) ≡ 0( modm) tương đương với giải một phương trình bất định dạng f(x) +my = 0.
• Xét phương trình đồng dư f(x) ≡ 0(modm), trong đó m = m1.m2,(m1, m2) = 1 Theo tính chất g) và h) ở mục 1.1.2, đồng dư thức đang xét tương đương với hệ f(x) ≡ 0(modm 1 ) f(x) ≡ 0(modm2)
Có thể chuyển việc nghiên cứu các phương trình đồng dư modulo bất kỳ sang việc xét các phương trình đồng dư với modulo là lũy thừa của một số nguyên tố.
Phương trình đồng dư modulo có thể tìm nghiệm là lũy thừa của một số nguyên tố, trong khi các nghiệm của phương trình đồng dư tương tự lại liên quan đến lũy thừa bậc nhỏ hơn của số nguyên tố đó.
Ví dụ 1.4.1 Giải phương trình: x 4 + 7x+ 4 ≡ 0(mod3 2 )
Giải Xét phương trình x 4 + 7x+ 4 ≡ 0(mod3).
Dễ thấy phương trình có nghiệm là x ≡ 1(mod3) Tức là x= 3t+ 1.
Thay x vào phương trình cần giải và bỏ đi những số hạng chia hết cho 9 ta được
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình cần giải là x = 9k + 4, hay x≡ 4(mod9).
Xét phương trình đồng dư modulo nguyên tố f(x) ≡ 0(modp) với bậc n > p, ta có thể chia f(x) cho x^p − x để thu được các đa thức g(x) và r(x) với f(x) = (x^p − x).g(x) + r(x), trong đó r(x) có bậc nhỏ hơn p hoặc r(x) = 0 Dựa vào định lý Fermat, ta thấy x^p − x ≡ 0(modp), do đó phương trình này tương đương với r(x) ≡ 0(modp), tức là r(x) là phương trình có bậc nhỏ hơn p hoặc nghiệm đúng với mọi x.
Do đó, để xét một phương trình đồng dư modulo nguyên tố bậc n bất kì, ta có thể đưa về xét một phương trình có bậc nhỏ hơn p.
Chú ý 1.4.2 Nếu phương trình đồng dư có dạng h(x).g(x) ≡ 0(modp) (1.2) trong đó p là một số nguyên tố, theo tính chất c) mục 1.1.2 ta sẽ có
• Cuối cùng, chỉ cần xét phương trình đồng dư modulo p nguyên tố bậc n < p: f(x) ≡0(modp) (1.3)
Giả sử x1 nghiệm đúng phương trình, tức là f(x1) ≡0(modp).
Chia f(x) cho (x−x1) ta được f(x) = (x−x1).f1(x) +r trong đó f1(x) là đa thức hệ số nguyên có bậc nhỏ hơn n và hằng số r được xác định bởi r = f(x1).
Vậy phương trình đang xét tương đương với
Ta lại xét tiếp phương trình f1(x) ≡0(modp), trong đó bậc của f1(x) nhỏ hơn bậc của f(x)
Nhận xét 1.4.3 Sau mỗi lần chia bậc của phương trình lại nhỏ đi và số nghiệm của phương trình nhiều nhất là bằng số bậc.
Thặng dư toàn phương, hay còn gọi là thặng dư bậc hai, là một số nguyên dương a mà thỏa mãn hai điều kiện: (a, m) = 1 và phương trình đồng dư x² ≡ a (mod m) có nghiệm Ngược lại, nếu phương trình x² ≡ a (mod m) không có nghiệm, thì a được coi là không phải là thặng dư bậc hai của m.
Ví dụ 2.1.2 Để xác định số nguyên nào là thặng dư bậc hai của 11, chúng ta tính bình phương của các số nguyên 1,2,3, ,10 Chúng ta thấy rằng 1 2 ≡
10 2 ≡ 1(mod11), 2 2 ≡ 9 2 ≡ 4(mod11), 3 2 ≡ 8 2 ≡ 9(mod11), 4 2 ≡ 7 2 ≡ 5(mod11), và 5 2 ≡ 6 2 ≡ 3(mod11).
Như vậy thặng dư bậc hai của 11 là 1,3,4,5,9; các số nguyên 2,6,7,8,10 không phải thặng dư bậc hai của 11.