Dạng toàn phương và ứng dụng để nhận dạng đường và mặt bậc hai

ba’n cu’a phu.o.ng ph´ap Lagrange l`a nhu.. riˆeng tru..c chuˆa’n cu’a A.. cu’a c´ac vecto.. riˆeng ta cˆa` n gia’i c´ac hˆe... thuˆo.c hai tham sˆo´ α v`a β.Ta lˆa´y ra hai vecto... cu’

Da.ng to`an phu o.ng v`a ´u.ng

6.1 Da.ng to`an phu o.ng

Da th´u.c d˘a’ng cˆa´p bˆa.c hai cu’a c´ac biˆe´n x1, x2, , x n du.o c go.i l`a da.ngto`an phu.o.ng cu’a n biˆe´n d´o:

th`ı thu du.o c

ϕ(x1, x2, , x n ) = X T AX. (6.2)

D- i.nh l´y Nˆe´u C l`a ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt thu c hiˆe.n trˆen c´ac biˆe´n

cu’a da ng to`an phu.o.ng (6.1) v´o.i ma trˆa n A th`ı da ng to`an phu.o.ng m´o.i

thu du.o c c´o ma trˆa.n l`a CT AC.

Da.ng to`an phu.o.ng da.ng

α1x21+ α2 x22+ · · · + α n x2n (6.3)khˆong ch´u.a c´ac sˆo´ ha.ng v´o.i t´ıch cu’a c´ac biˆe´n kh´ac nhau (v`a do d´o n´o

c´o ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo) du.o c go.i l`a da.ng to`an phu.o.ng ch´eo hay da.ng

ch´ınh t˘a´c

Tiˆe´p theo ta tr`ınh b`ay nˆo.i dung cu’a c´ac phu.o.ng ph´ap du.a da.ng

to`an phu.o.ng vˆ` da.ng ch´ınh t˘a´c.e

6.1.1 Phu.o.ng ph´ ap Lagrange

D - i.nh l´y Lagrange B˘a`ng ph´ep biˆe´n dˆo’i tuyˆe´n t´ınh khˆong suy biˆe´n

dˆo´i v´o.i c´ac biˆe´n x1 , , x n mo i da ng to`an phu.o.ng dˆ`u du.a du.o c vˆee `

da ng ch´ınh t˘a´c

Tinh thˆ` n co ba’n cu’a phu.o.ng ph´ap Lagrange l`a nhu sau.a

1+ ´It nhˆa´t mˆo.t trong c´ac hˆe sˆo´ a ii kh´ac khˆong

Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, c´o thˆe’ cho r˘a`ng a11 6= 0 (nˆe´u khˆong th`ıd´anh sˆo´ la.i) Khi d´o b˘a`ng ph´ep tr´ıch mˆo.t b`ınh phu.o.ng du’ t`u cu.m tˆa´t

ca’ c´ac sˆo´ ha.ng ch´u.a x1 ta c´o

ϕ(·) = αy12+ ϕ2(x2 , x3, , x n)

y1= λ1 x1 + λ2 x2+ · · · + λ n x n

trong d´o λ1 , λ2, , λ n l`a c´ac h˘a`ng sˆo´, ϕ2(x2 , , x n) l`a da.ng to`an

phu.o.ng chı’ c`on n − 1 biˆe´n (khˆong c`on x1) Dˆo´i v´o.i ϕ2(x2 , , x n) ta

la.i thu c hiˆe.n thuˆa.t to´an nhu v`u.a tr`ınh b`ay,

2+ Tru.`o.ng ho p a ii = 0 ∀ i = 1, n nh˜ u.ng a ij 6= 0 (i 6= j) du.o c du.a

vˆ` tru.`o.ng ho p trˆen b˘a`ng ph´ep biˆe´n dˆo’i tuyˆe´n t´ınh khˆong suy biˆe´ne

vˆ` da.ng ch´ınh t˘a´c.e

Gia’i V`ı a11 = a22 = a33= 0 nˆen dˆ` u tiˆen thu c hiˆe.n ph´ep biˆe´n dˆo’ia

so bˆo khˆong suy biˆe´n thu du.o c sˆo´ ha.ng c´o b`ınh phu.o.ng:

2+ z2 z3− 9z32.

Nh´om c´ac sˆo´ ha.ng c´o ch´u.a z2 ta c´o

6.1.2 Phu.o.ng ph´ ap Jacobi

Phu.o.ng ph´ap n`ay chı’ ´ap du.ng du.o c khi mo.i di.nh th´u.c con ch´ınh cu’a

ma trˆa.n A cu’a da.ng to`an phu.o.ng dˆe`u kh´ac 0, t´u.c l`a khi

∆1 = a11 6= 0, ∆2 =

a11 a12

a21 a22

v´o.i c´ac hˆe sˆo´ du.o c x´ac di.nh theo (6.9) ´Ap du.ng (6.9) ta thu du.o c

α21 = (−1)3D 1,1

32

3

−14

= 8,

α32 = (−1)4D 2,2

3

... v´o.i c´ac sˆo´ d˘a.c tru.ng d´o l`a c´ac hu.´o.ng ch´ınh cu’ada.ng to`an phu.o.ng (Lu.u ´y r˘a`ng hai vecto riˆeng tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac gi´atri riˆeng kh´ac cu’a ma trˆa.n dˆo´i x´u.ng l`a tru... ph´ep biˆe´n dˆo’i dˆo´i x´u.ng (v´o.i ma trˆa.n

A) l`a ma trˆa.n tru c giao v`ı ca’ hai co so.’ dˆe`u tru c chuˆa’n

Nhu vˆa.y dˆo´i v´o.i mo.i ma trˆa.n dˆo´i x´u.ng thu c A