(Sáng kiến kinh nghiệm) báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến ứng dụng đao hàm trong tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ham số

Một bàitoán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ

1 Lời giới thiệu:

Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT Một bàitoán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ

đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn Ứng dụng cách tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất của hàm số vào giải quyết các bài toán thực tế, giảm chi phí, nâng cao chấtlượng và hiệu quả trong công việc…

Nội dung tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong nhữngnội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia trong những nămgần đây, nhưng rất nhiều học sinh còn mơ hồ và lúng túng không biết giải bài toánnày Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có nhiều dạng khác nhau.Học sinh không biết phân loại bài tập để có cách giải hữu hiệu, trong quá trình làm bàitập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trường hợp

Học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về lí thuyết; chưa được rènluyện nhiều về kĩ năng Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về bàitoán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với mong muốn giúp học sinhhiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toánthành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đạo hàm

để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”

2 Tên sáng kiến: “Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THƠM

- Địa chỉ: Trường THPT Trần Hưng Đạo- Tam Dương –Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0985794595

- Email: nguyenthithom.gvtranhungdao@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Thơm

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Chương I: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của

hàm số Trong chương trình Giải tích 12 bậc THPT Cụ thể như sau:

- Về phía học sinh, tôi lựa chọn học sinh các lớp 12A3, 12A4 trường THPTTrần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc, do tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2018–2019.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Năm học 2018 -2019.

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

PHẦN I NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b; 

Nếu f x'  giữ nguyên dấu trên đoạn a b; thì f x  đạt giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn

3 QUY TẮC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

 

yf x LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN a b; 

Bước 1 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng a b;  mà tại đó f x '  0

4 CHÚ Ý KHI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:

Nếu hàm số f x( ) liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên a b;  thì

Nếu hàm số f x  là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì để tìm GTLN,GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn có độ dàibằng T

Khi bài toán yêu cầu tìm GTLN, GTNN mà không nói trên tập nào thì ta hiểu

là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số

PHẦN II CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1.1 Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng a b; 

Phương pháp

Tự luận

 Xét hàm số yf x( ) trên khoảng a b;  Tính f x  ?

 Tìm các điểm x i( ; )a b , tại đó f x '( ) 0 hoặc f x'( ) không xác định

 Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a b; 

b a

Nhìn bảng giá trị Kết luận

Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3x1 trên khoảng 0;2 là

Câu 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số

min y 2 9

Câu 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số    

1 3 2

x trên nửa khoảng  4; 2 

A   

 4;2

miny 4

B   

 4;2

miny 5

C   

 4;2

15 min

2

y

D   

 4;2 miny 7

Câu 4 Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

1 5

 Xét hàm số yf x( ) trên đoạn [a;b] Tính f x  ?

 Tìm các điểm x i( ; )a b , tại đó f x '( ) 0 hoặc f x'( ) không xác định

Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Học sinh không loại giá trị x 3

x y x

 

M m

C

13 3

 

M m

D M m 5

Câu 9 Giá trị lớn nhất của hàm số

x y x

x





 trên 0;1

A. min  0;1  y 0.

B  0;1 

1 min

x y x

x

trên đoạn 1;4 là:

1.3 Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định

Ví dụ 4: Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và hnỏ nhất của hàm số y x  4 x2 Hãy tính P M m  ?

A 2 2 1 

B 2 2 1 

C 2 1  D 2 1 

Lời giải Chọn A.

Tập xác định: D   2;2 Ta có:

2

41

Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Học sinh không tìm TXĐ của hàm số, Tìm GTLN, GTNN bằng cách lập BBT

Câu 3 Gọi M , m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số y x1 7 x Khi đó

có bao nhiêu số nguyên nằm giữa M , m?

DẠNG 2 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

 B1: Ấn MoDe sau đó chọn 7 (TABLE)

 B2: Nhập biểu thức f x  vào máy

 B3: Ấn “=” sau đó nhập giá trị Start, end, step với 20

end start step 

Giải theo tự luận:

2 1

5 2

Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh:

Học sinh không nhớ công thức lượng giác nên dễ biến đổi sai hoặc khi thử nghiêm bằng máy tính không đổi sang đơn vị radian

x y

Câu 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2

3 2sin2cos 3

x y

.Hàm số đã cho trở thành: yt2 t 1

Nhập biểu thức f x  vào máy

Lần 1: ấn “=” sau đó nhập giá trị start 1;end 3;step0.2

Lần 2: ấn “=” sau đó nhập giá trị start 2.6;end 3;step0.02

 chọn A

Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh:

Học sinh thường hay quên tìm điều kiện của t nên sẽ chọn đáp án B hoặc nhầm lẫn khoảng xác đinh của hàm số nên sẽ chọn D hoặc sử dụng Casio 1 lần sẽ chọn đáp án C

Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  

2 2

 





BÀI TOÁN 1: Biết bẳng biến thiên – đồ thị của hàm số yf x 

 Dựa vào đồ thị, BBT để xác định giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

Ví dụ 1: (MH – 2019) Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị nhưhình bên Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trênđoạn 1;3 Giá trị của M m bằng

O

2



231

123

A miny 1. B miny 1 C miny 0 D miny 2.

Câu 2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3x5có đồ thị sau trên đoạn 0; 2 là:

x y x

C Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

D Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ x 1 và giá trị nhỏ nhấtbằng 1

Câu 11 Gọi y y1; 2 lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A

169 2



169 4



169

2

Bài toán 2: Biết bảng biến thiên – đồ thị của yf x' 

 Dựa vào đồ thị của đạo hàm để lập BBT, từ đó xác định giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

x 

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số yf x'( ) ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số yf x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0;2tại x  1

nhất trên 2;2.

A x 0 2 B x 0 1 C x 0 2 D x 0 1

Câu 2 Cho đồ thị hàm số yf x'( ) như hình vẽ

Hàm số yf x( ) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1;1 tại x bằng baonhiêu?

A

2 3

x 

B x  0 C x  1 D x  2

Câu 3 Cho đồ thị hàm số yf x'( ) như hình vẽ

Hàm số yf x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 1; 4 tại x bằng baonhiêu?

x y

Hàm số yf x( ) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 1;3 tại x0 Khi đó giá trịcủa x02 2x0  2018bằng bao nhiêu?

Lập hàm số g x  f x  x2 x Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 1 (QG-2019)Cho hàm số f x  , hàm số yf x liên tục trên  và có đồ thịnhư hình vẽ bên Bất phương trình f x   x m(m là tham số thực) nghiệm đúng vớimọi x 0; 2 khi và chỉ khi

A mf  2  2 B m f  2  2 C mf  0 D m f  0

Câu 2 (QG-2019)Cho hàm số f x 

, hàm số yf x 

liên tục trên  và có đồ thịnhư hình vẽ bên

Bất phương trình f x  2x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x 0;2khi và chỉ khi

DẠNG 4 BÀI TOÁN THAM SỐ

Ví dụ 1: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f x  x3 3x2a có giá trị nhỏnhất trên đoạn 1;1 bằng 0.

O

 

yf x

A m  1 B 3m4 C m 4 D 1 m 3

Câu 2 (QG – 2017) Cho hàm số 1

x m y

3

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

 với m là tham số thực Tìm giá trị lớn nhất của

m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng 2.

A. m 4 B m  5 C m 4 D m 1

Câu 4 Cho hàm số 1.

x m y

 

 

  C.  ;1 \ 2 D. 0; 2 Câu 9 Cho hàm số f x  x3m21x m 2 2

với m là tham số thực Tìm tất cảcác giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;2 bằng 7

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực khác 0 của tham số m để hàm số 2 1

mx y x



đạt giá trị lớn nhất tại x 1 trên đoạn 2; 2?

DẠNG 5: ỨNG DỤNG MAX-MIN TRONG CÁC BÀI TOÁN THAM SỐ

Bài toán 1 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình f x m ( , ) 0có

nghiệm (nghiệm đúng với mọi ) x K ?

m 

2 3

m 

3 2

m 

Lời giải Chọn D

Giải theo tự luận:

Với x   1;0, bpt

2 1 1

x

m x

Giải theo pp trắc nghiệm:

Do hàm số bậc nhất trên bậc nhất nên giá trị lớn nhất,nhỏ nhất đật tại các đầumút nên suy ra kết quả!

Bài tập tương tự:

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình x35x 7 m nghiệm

đúng với mọi x   5;0?

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình







2 11

m

5 3

m 

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình2x4 4x2 10m

nghiệm đúng với mọix     ; 1 ?

Bài toán 2:Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b

Bước 1 :Đưa bất phương trình ( ) f x ¢ ³ (hoặc ( ) 00 f x¢ £ ), " Îx ( ; )a b về

dạng g x( )³ h m( ) (hoặc g x( )£ h m( )), " Îx ( ; )a b

Bước 2 :Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) trên ( ; )a b

Bước 3 :Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị

  

  D 0;  Giải

G x  x  x , trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết

áp (x được tính bằng mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp đểhuyết áp giảm nhiều nhất

A 20 mg B 0,5mg C 2,8mg D 15 mg

Lời giải

- +

-100

0 0

+ ∞ 20

0 -∞

G(x) G'(x) x

Ví dụ 2 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách 300km Vận tốc

dòng nước là 6km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng

lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

E v cv t,

trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng

yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

Lời giải

Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là v  6 (km/h).

Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300km là

300 6

t v

Để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) là 9km/h

Ví dụ 3: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inox có nắp đậy với

thể tích là k m3k 0 Chi phí mỗi m2 đáy là 600 nghìn đồng, mỗi m2 nắp là 200

0 0

15 0

0

t g'(t) g(t)

+

+ ∞ 675

nghìn đồng và mỗi m2 mặt bên là 400 nghìn đồng Hỏi ông An cần chọn bán kính đáycủa bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất ? (Biết bề dày vỏ inox không đáng kể)

3

2

k r





thì chi phí làm bể là ít nhất

Ví dụ 4: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm

bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f t( ) 45 t2 t3 Nếu xem f t( ) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t Hỏi tốc độ truyền bệnh

sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Câu 1 (MH – 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở bốn

góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x

(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm

x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Câu 2. Người ta khảo sát gia tốc a t  của một vật thể chuyển động (t là khoảng thờigian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 và ghinhận được a t  là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới Hỏi trong thờigian từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể cóvận tốc lớn nhất?

Câu 3. Người ta khảo sát gia tốc a t  của một vật thể chuyển động (t là khoảng thờigian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghinhận được a t  là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới Hỏi trong thờigian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vậntốc lớn nhất?

t

a (t)

3 2

A giây thứ 7 B giây thứ nhất C giây thứ 10 D giây thứ 3.

Câu 4. Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là x(m), chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h(m), có thể tích là

Câu 6. Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm Người ta cắt một tấm gỗ có hình

một tam giác vuông ABC từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau Biết AB x (

0x60cm) là một cạnh góc vuông của tam giác ABC và tổng độ dài cạnh góc

vuông AB với cạnh huyền BC bằng 120 cm Tìm x để tam giác ABC có diện tích lớn

nhất

A x 40cm B x  cm50

C x  cm30 D x 20cm

Câu 7 (QG – 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6,7 m2 kính để làm một bể cá bằngkính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép

có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quảlàm tròn đến hàng phần trăm)?

A.1,57 m3 B 1,11m3 C 1, 23m3 D 2, 48m3Câu 8 (QG – 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể các bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép

có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

A 1,17m3 B 1, 01m3 C 1,51m3 D 1, 40m3.

PHẦN II KHẢ NĂNG ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

- Sáng kiến có thể áp dụng với tất cả các em học sinh THPT khi học Chương I - bài 3:

“Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” – Giải tích 12

- Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế với các em học sinh tại lớp 12A3 trườngTHPT Trần Hưng Đạo, khi học Chương I - bài 3: “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số” – Giải tích 12

Thực tế cho thấy các em học sinh dễ tiếp thu bài giảng, dễ làm quen với các bàitập về tính thể tích khối đa diện hơn

Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng kiến thứctốt hơn Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với đối chứng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nhà xuất bản Giáo dục - 2008)

[2] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (Nhà xuất bản Giáo dục – 2009)

[3] Sách bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất bản Giáo dục - 2007)

[4] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (Nhà xuất bản Giáo dục – 2009)

[5] Đề thi đại học cao đẳng, THPT Quốc gia các năm

[6] Mạng Internet

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không có

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Giáo viên: Nhiệt tình, có trách nhiệm cao, đầu tư chuyên môn, chuẩn bị kĩ bài tập vàđáp án

- Học sinh: Chuẩn bị bài, sách giáo khoa, và các đồ dùng học tập khác

- Thiết bị dạy học: Máy tính, máy chiếu, giấy A0, A3, A4, bút dạ, sách giáo khoa…

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiếntheo ý kiến của tác giả:

So sánh phương pháp dạy khi chưa phân dạng và phương pháp dạy theo hướng phân dạng

a Phương pháp dạy khi chưa phân dạng

Khi chưa phân dạng mà ra bài tập cho học sinh làm ta thấy như sau:

- Học sinh không có phương hướng làm bài dẫn đến mất nhiều thời gian suynghĩ

- Nhiều khi biến đổi không hiểu bản chất dẫn đến mắc sai lầm trong toán học.Mặc dù dạy theo kiểu chưa phân dạng giúp các em phải kiên trì tư duy, tự pháthiện vấn đề để giải nhưng lại không khắc sâu tổng quan về chuyên đề

b Phương pháp dạy khi phân dạng