Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng

Động cơthúc đẩy việc đưa ra khái niệm mới này là thuật toán, từ khi Plastriachứng minh rằng, phương pháp mặt phẳng cắt cổ điển của Kelley cũngdùng được cho bài toán tối ưu lồi, dưới một

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Thầy đã hướngdẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tậpcũng như trong nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên, khích lệ tácgiả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua khó khăn trong việc nghiêncứu và hoàn thiện luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn lớn lao, lòngkính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo tỉnh Lào Cai, SởGD-ĐT tỉnh Lào Cai, Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệptrường Trung học phổ thông số III Bảo Yên cùng gia đình, người thân,bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoànthành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Phạm Trọng Dần

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Phạm Trọng Dần

Lời cảm ơn i

1.1 Không gian Euclid Rn 3

1.1.1 Tích vô hướng và chuẩn 4

1.1.2 Tập đóng và tập mở 4

1.1.3 Sự hội tụ 5

1.1.4 Tập bị chặn, tập compact 5

1.2 Tập lồi, hàm lồi, hàm lồi suy rộng 6

1.2.1 Tập lồi - tập affine 6

1.2.2 Hàm lồi 6

1.2.3 Hàm lồi suy rộng 7

1.3 Không gian tôpô lồi địa phương 9

1.3.1 Không gian tôpô 9

iii

1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương 11

1.3.4 Nón lồi và nón lùi xa của tập lồi 12

1.4 Hàm Lipschitz 13

1.5 Ma trận 13

1.6 Hàm toàn phương và bài toán quy hoạch toàn phương 14 1.6.1 Hàm toàn phương 14

1.6.2 Bài toán quy hoạch toàn phương 16

2 DƯỚI VI PHÂN DƯỚI CỦA HÀM TOÀN PHƯƠNG 18 2.1 Khái niệm dưới vi phân dưới 18

2.2 Dưới vi phân dưới bị chặn của hàm toàn phương 19

2.3 Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương 30

3 ỨNG DỤNG CỦA DƯỚI VI PHÂN DƯỚI VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG 46 3.1 Bài toán tối ưu toàn phương 46

3.2 Điều kiện tối ưu 47

3.3 Thuật toán tìm nghiệm 48

iv

Q(x) = 12xTAx + bTx Hàm toàn phương

∂−f (x) Dưới vi phân dưới của f tại x

Khái niệm dưới vi phân dưới được giới thiệu bởi Plastria [10] xemnhư một sự nới lỏng khái niệm dưới vi phân trong giải tích lồi Động cơthúc đẩy việc đưa ra khái niệm mới này là thuật toán, từ khi Plastriachứng minh rằng, phương pháp mặt phẳng cắt cổ điển của Kelley cũngdùng được cho bài toán tối ưu lồi, dưới một số giả thiết thích hợp sửdụng dưới gradient dưới để sinh ra những mặt phẳng cắt Plastria cũnglưu ý rằng, tính dưới khả vi dưới của hàm số suy ra tính tựa lồi Sau đómối liên quan giữa khái niệm dưới vi phân dưới với một số khái niệmkhác đã được nghiên cứu bởi Greenberg và Pierskalla [4] Một số kết quảcủa dưới vi phân dưới của hàm số được định nghĩa trong không gian lồi

và được ứng dụng vào các bài toán trong lĩnh vực quy hoạch phân thức

Tính tựa lồi của hàm toàn phương được nghiên cứu bởi một số tácgiả [3] Động cơ thúc đẩy họ là sự tin tưởng khái niệm dưới vi phân dưới

là điều kiện chắc chắn thích hợp mà ta đặt cho hàm tựa lồi để tạo nênmột lý thuyết, ở một mức độ nào đó, song song với giải tích lồi

Sau khi học được các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốntìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng củachúng Tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:

“ Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng ”

2 Mục đích nghiên cứu

Để hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứngdụng của chúng Đồng thời thu nhận được kiến thức về dưới vi phândưới của hàm toàn phương và ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hàm toàn phương, dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và bàitoán tối ưu với hàm mục tiêu là hàm toàn phương

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổnghợp để được một nghiên cứu tổng quan về dưới vi phân dưới của hàmtoàn phương và bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hàm toàn phương

6 Dự kiến đóng góp mới

Một tổng quan về dưới vi phân dưới của hàm toàn phương và ứngdụng

x = (x1, x2, , xn)Tvới hai phép toán

(x1, , xn)T + (y1, , yn)T = (x1 + y1, , xn+ yn)T

λ(x1, , xn)T = (λx1, , λxn)T, λ ∈ Rlập thành một không gian véc tơ thực n - chiều

Nếu x = (x1, , xn)T ∈ Rn thì xi gọi là thành phần tọa độ thứ icủa x Véc tơ không của không gian này gọi là gốc của Rn và được kíhiệu là 0, vậy 0 = (0, , 0)T

3

Ta gọi hệ e1 = (1, 0, , 0)T; e2 = (0, 1, 0, , 0)T; ; en = (0, , 0, 1)T

là cơ sở chính tắc của không gian Rn

1.1.1 Tích vô hướng và chuẩn

Trong không gian Rn ta định nghĩa tích vô hướng chính tắc h., inhư sau: với x = (x1, , xn)T, y = (y1, , yn)T ∈ Rn,

kxk =phx, xi =

vuut

n

X

i=1

x2 i

và gọi là chuẩn Euclid của véc tơ x

1.1.2 Tập đóng và tập mở

Định nghĩa 1.1.1 Cho x0 ∈ Rn,ε > 0 ,ta gọi tập

B(x0, ε) =x ∈ Rn | x − x0 < ε

là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0, bán kính ε

Định nghĩa 1.1.2 Tập K ⊂ Rn được gọi là tập mở nếu với mọi x0 ∈ Utồn tại ε > 0 sao cho B(x0, ε) ⊂ K

Tập L ⊂ Rn gọi là tập đóng nếu tập Rn\L là tập mở

Định nghĩa 1.1.3 Cho K là tập con bất kì trong Rn Kí hiệu {Ui(K)}i∈I

là họ tất cả các tập mở chứa trong K {Fj(K)}j∈J là họ tất cả các tậpđóng chứa trong K Ta có U = ∪

i∈IUi(K) là tập mở và F = ∩

j∈JFj(K) làtập đóng

Tập U gọi là phần trong của K và kí hiệu: intK Tập F gọi là baođóng của K và kí hiệu: K

Ta có một số kết quả:

(i) K là tập mở khi và chỉ khi K = intK

(ii) K là tập đóng khi và chỉ khi K = K

1.1.3 Sự hội tụ

Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểm xk trong Rn gọi là hội tụ đến x0 ∈ Rnkhi k → ∞ nếu dãy số xk − x0

hội tụ tới 0 ∈ R khi k → ∞ Khi đó

ta gọi x0 là giới hạn của dãy xk và kí hiệu xk → x0

Ta nói x ∈ Rntiến đến x0 ∈ Rn Kí hiệu x → x0 nếu x − x0 → 0

Dễ dàng chứng minh được tính chất sau: Tập A ⊂ Rn được gọi làtập đóng khi và chỉ khi với mọi dãy xk ⊂ A mà xk hội tụ đến x0 thì

x0 ∈ A

1.1.4 Tập bị chặn, tập compact

Định nghĩa 1.1.5 Tập K trong Rn được gọi là tập bị chặn nếu tồn tại

m > 0 sao cho kxk < m với mọi x ∈ K

Định nghĩa 1.1.6 Tập K trong Rn được gọi là tập compact nếu mọidãy xk trong K đều có dãy con xkm hội tụ đến một điểm x∗ ∈ K.Định lý 1.1.1 Tập K ⊂ Rn compact khi và chỉ khi K là tập đóng và

bị chặn

1.2 Tập lồi, hàm lồi, hàm lồi suy rộng

1.2.1 Tập lồi - tập affine

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian véc tơ Tập M ⊂ X được gọi

là đa tạp affine (tập affine) nếu với ∀x, y ∈ M , λ ∈ R ta có:

λx + (1 − λ) y ∈ MNếu K ⊂ X bất kì Ta gọi bao affine của K, kí hiệu: af f K, làgiao của tất cả các tập affine chứa K

Định nghĩa 1.2.2 Tập K ⊂ Rn được gọi là lồi nếu

λx + (1 − λ) y ∈ K ∀x, y ∈ K, ∀λ ∈ [0; 1]

Giả sử X ⊂ Rn Giao của tất cả các tập lồi trong Rn chứa X được gọi

là bao lồi của tập X, kí hiệu là coX

Theo định nghĩa tập rỗng được xem là tập lồi

Ví dụ 1.2.1 Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là tập lồi.Hình cầu đơn vị trong không gian Rn là tập lồi

f (tx + (1 − t)y < tf (x) + (1 − t)f (y)

Hàm f được gọi là hàm lõm trên K nếu với mọi x, y ∈ K và vớimọi t ∈ [0, 1] ta có:

f (tx + (1 − t)y ≥ tf (x) + (1 − t)f (y)

Dễ nhận thấy, f là hàm lõm khi và chỉ khi (−f ) là hàm lồi trên

K, trong đó (−f ) được xác định bởi (−f )(x) = −f (x) với ∀x ∈ K.Định nghĩa 1.2.4 Nếu f là một hàm lồi trên tập K ⊂ Rn thì tập

epi(f ) = {(x; α) ∈ X × R|f (x) ≤ α}

gọi là trên đồ thị của hàm f

Ví dụ 1.2.2 Hàm hằng f : X → R; f (x) = a với ∀x ∈ X là một hàmlồi

Ví dụ 1.2.3 Hàm f : R → R; f (x) = x3 không phải là hàm lồi trên R

Thật vậy với x = −1, y = 0, t = 12 ta có

f (tx + (1 − t) y) = −1

8, tf (x) + (1 − t)f (y) = −

12Chứng tỏ

f (tx + (1 − t) y) > tf (x) + (1 − t)f (y)Vậy f (x) = x3 không phải là hàm lồi trên R

Hàm f được gọi là hàm giả lồi chặt trên K nếu với mọi x, y ∈ Ksao cho f (x) ≤ f (y) và với mọi λ ∈ [0, 1], tồn tại một số β > 0 thỏamãn

f (λx + (1 − λ)y) < f (y) − λ(1 − λ)β

Ta có một số tính chất sau:

(i)Hàm lồi là hàm giả lồi, hàm lồi chặt là hàm giả lồi chặt, nhưnghàm giả lồi có thể không lồi

(ii)Hàm lồi chưa chắc đã là hàm giả lồi chặt

(iii)Hàm giả lồi chưa chắc đã là hàm giả lồi chặt

Định nghĩa 1.2.6 Cho K ⊂ Rn là một tập lồi và f : K → R là mộthàm số

Hàm f được gọi là hàm tựa lồi trên K nếu với mọi x, y ∈ K vàvới mọi t ∈ [0, 1], ta có:

f (tx + (1 − t)y) ≤ max {f (x), f (y)}

Hàm f được gọi là hàm tựa lồi chặt trên K nếu với mọi x, y ∈ K

và với mọi t ∈ [0, 1], ta có:

f (tx + (1 − t)y) < max {f (x), f (y)}

Ta có một số tính chất sau:

(i)Hàm tựa lồi chặt là hàm tựa lồi

(ii)Hàm tựa lồi thì chưa chắc tựa lồi chặt

(iii)Nếu hàm f lồi thì nó là hàm tựa lồi Điều ngược lại khôngđúng

(iv)Hàm lồi chưa chắc đã là hàm tựa lồi chặt

1.3 Không gian tôpô lồi địa phương

1.3.1 Không gian tôpô

Cho X là tập hợp Kí hiệu P(X) là họ các tập con của X Họ

τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chấtsau:

(i) ∅; X ∈ τ

(ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ

(iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ Khi đó X được gọi là không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ đượcgọi là tập mở trong X

Cho A ⊂ X, x0 ∈ X, ta nói x0 là:

- Điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x0 ∈ U ⊂ A

- Điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x0 ∈ U và U ∩A = ∅

- Điểm biên nếu cả hai mệnh đề trên đều sai

Định nghĩa 1.3.1 Nếu x0 là điểm trong của A thì ta cũng nói A là lâncận của x0

Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B ⊂ τ được gọi là một cơ sởlân cận của τ nếu mọi tập U ∈ τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp củacác tập thuộc B Một họ V ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ Xnếu mọi lân cận U của x0 đều tồn tại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U

1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính

Cho không gian véc tơ X Khi đó một tôpô τ trên X được gọi làtương đương với cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này các ánh xạsau lên tục:

+ : X × X → X : R × X → XTức là:

Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận

U của x, V của y sao cho U + V ⊂ W

Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 vàlân cận V của x sao cho µV ⊂ W với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε)

Khi đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi làkhông gian tôpô tuyến tính

Định nghĩa 1.3.2 Cho A là tập con của không gian véc tơ X trêntrường K

Tập A được gọi là cân đối nếu với mọi x ∈ A ta có λx ∈ A vớimọi |λ| ≤ 1

Tập A được gọi là hấp thụ nếu với mọi x ∈ X đều tồn tại λ > 0sao cho x ∈ µA với mọi µ thỏa mãn điều kiện |µ| ≥ λ

Định lý 1.3.1 Cho X là một không gian véc tơ

(a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V ⊂ τthỏa mãn:

(i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,

(ii) αV ⊂ V với mọi α 6= 0 và V ∈ V,

(iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U + U ⊂ V,

(iv) Với mọi V1, V2 ∈ V sao cho U ⊂ V1 ∩ V2

(b) Ngược lại nếu V ⊂ P(X) là họ các tập thỏa mãn các điều kiện (i iv), thì tồn tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc.

-1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương

Từ kết quả trên ta thấy cấu trúc tôpô tuyến tính hoàn toàn đượcxác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốcgồm toàn các tập lồi thì τ được gọi là tôpô lồi địa phương và X đượcgọi là không gian tô pô lồi địa phương

Định lý 1.3.2 Cho X là một không gian véc tơ

(i) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sởlân cận gốc gồm các tập lồi, cân đối và hấp thụ

(ii) Ngược lại, nếu V0 là họ gồm các tập lồi, cân đối và hấp thụ thì

là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó Hơn nữa, tôpô

là Hausdorff khi và chỉ khi

∩

V ∈ V 0 ,ε>0

εV = {0}

Trong phần này ta định nghĩa phần trong tương đối của K (Với K

là tập lồi trong X) là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinh trong

V = {εB(0, 1) | ε > 0} = {B(0, ε)|ε > 0}

1.3.4 Nón lồi và nón lùi xa của tập lồi

Định nghĩa 1.3.3 Tập K ⊂ Rn được gọi là một nón nếu với mọi

x ∈ K, với mọi λ ≥ 0 ta có: tx ∈ K

Định nghĩa 1.3.4 Tập K ⊂ Rn được gọi là một nón lồi nếu K vừa lànón vừa là một tập lồi, tức là: với mọi x, y ∈ K và với mọi λ, µ ≥ 0, tacó

λx + µy ∈ KĐịnh lý 1.3.3 Tập K ⊂ Rn được gọi là một nón lồi khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.3.5 Cho D là tập lồi khác rỗng trong Rn

Véc tơ v ∈ Rn khác 0 được gọi là phương lùi xa của D nếu với mọi

x ∈ D, với mọi t ≥ 0 ta có x + tv ∈ D

Tập tất cả các phương lùi xa của D cùng véc tơ 0 của Rn lập thànhmột nón lồi Ta gọi nón đó là nón lùi xa của D và kí hiệu là 0+D

1.4 Hàm Lipschitz

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X là không gian Banach, f : X → R

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 ∈ X hay Lipschitzđịa phương gần x0, nếu tồn tại lân cận U của x0 số K > 0 sao cho vớimọi x, x0 ∈ X ta có

(iii) A được gọi là nửa xác định âm (xác định âm) nếu −A là nửaxác định dương (xác định dương)

1.6 Hàm toàn phương và bài toán quy hoạch toàn

Định lý 1.6.1 Nếu A là ma trận vuông cấp n × n, đối xứng, nửa xácđịnh dương, b ∈ Rn thì hàm toàn phương Q(x) = 1

2x

TAx + bTx là mộthàm lồi

Chứng minh Vì A là nửa xác định dương nên với x, y ∈ Rn ta có

≤ t

2

2x

TAx + tbTx+ 1 − t

Áp dụng Trường hợp n = 1 ta thấy hàm toàn phương như trên códạng hàm bậc hai f (x) = ax2 + bx

Theo định lý trên ta thấy hàm bậc hai là hàm lồi khi a > 0

Dựa vào các kết quả của S.Schaible [12], các tính chất của hàmtoàn phương, tựa lồi, ta có các kết quả sau:

Λ = diag(−1, 1, , 1, 0, , 0)(ii) Tập hợp D = {y ∈ Rn | x = P y + v ∈ K} thỏa mãn một tronghai điều sau:

D ⊂ {y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn | G(y) ≤ δ, y1 ≥ 0}

hoặc

D ⊂ {y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn | G(y) ≤ δ, y1 ≤ 0}

trong trường hợp này hàm số h(x) = −(δ − Q(x))12 là hàm lồi trên K

Hệ quả 1.6.1 Cho K ⊂ Rn là tập lồi, mở

Khi đó

Q(x) = 1

2x

TAx + bTxgọi là tựa lồi trên clK khi và chỉ khi nó là hàm giả lồi trên K

Định lý 1.6.3 K ⊂ Rn là tập lồi, mở Khi đó

Q(x) = 1

2x

TAx + bTx

là hàm giả lồi trên K khi và chỉ khi ma trận

2(δ − Q(x0))∇Q(x0)(∇Q(x0))T(Với δ được xác định trong định lí 1.6.2) là nửa xác định dương với

∀x0 ∈ K

1.6.2 Bài toán quy hoạch toàn phương

Xét bài toán quy hoạch toàn phương

Ta dùng các kí hiệu:

∆(C, d) = {x ∈ Rn|Cx ≥ d}

θ = inf {f (x) | x ∈ ∆(C, d)}

Ta có các định lý sau:

Định lý 1.6.4 (Định lý Frank - Wolf) Nếu θ = inf {f (x) | x ∈ ∆(C; d)}

là một số thực hữu hạn thì bài toán (P ) có nghiệm

Định lý 1.6.5 (Định lý Eaves) Bài toán (P ) có nghiệm khi và chỉ khicác điều kiện sau được thỏa mãn:

(i)∆(C; d) 6= ∅

(ii) Nếu v ∈ Rn và Cv ≥ 0 thì vTAv ≥ 0

(iii) Nếu v ∈ Rn và x ∈ Rn thỏa mãn Cv ≥ 0, vTAv = 0 và

Cx ≥ d thì (Ax + b)Tv ≥ 0

Kết luận

Chương 1 đã trình bày một số kiến thức có liên quan làm cơ sở đểtrình bày các kiến thức trong các chương tiếp theo

DƯỚI VI PHÂN DƯỚI CỦA HÀM TOÀN PHƯƠNG

Chương 2 trình bày khái niệm dưới vi phân dưới của hàm toànphương và một số tính chất đặc trưng của nó

2.1 Khái niệm dưới vi phân dưới

Định nghĩa 2.1.1 Cho K ⊂ Rn và f : K → R

Ta nói f là dưới khả vi dưới của x nếu f (x) ∈ R và ∃x∗ ∈ Rn thỏamãn

f (y) ≥ f (x) + (x∗)T(y − x)với mọi y ∈ K mà f (y) < f (x)

Véc tơ x∗ được gọi là dưới gradient dưới của f tại x Tập hợp cácdưới gradient dưới của f tại x được gọi là dưới vi phân dưới của f tại x

và được kí hiệu là ∂−f (x)

Cho f : K → R Ta nói rằng f là dưới khả vi dưới trên K nếu nó

là dưới khả vi dưới tại mọi điểm x ∈ K (Ta thường viết tắt dưới vi phândưới là l.s.d)

18

2.2 Dưới vi phân dưới bị chặn của hàm toàn phương

Nếu tồn tại N > 0 sao cho ∂−f (x) ∩B(O; N) 6= ∅ với mọi x ∈ K tanói rằng f là dưới khả vi dưới bị chặn (viết tắt là b.l.s.d), trong trườnghợp này N được gọi là cận của dưới vi phân dưới bị chặn f

Bổ đề 2.2.1 Cho K ⊂ Rn là tập lồi và f : clK → R là hàm liên tục.Khi đó các mệnh đề sau tương đương

(i) f là hàm tựa lồi trên riK

(ii) f là hàm tựa lồi trên K

(iii) f là hàm tựa lồi trên clK

Chứng minh Do riK ⊂ K ⊂ clK nên các chứng minh từ (iii) => (ii)

=>(i) là hiển nhiên

Ta chỉ cần chứng minh (i) => (iii)

Cho x và y là 2 điểm thuộc clK và λ ∈ [0; 1]

Từ điều kiện clK = cl(riK) Tồn tại hai dãy {xn} và {yn} chứatrong riK hội tụ tới x và y

Do tính liên tục của f nên hai dãy {f (xn)} và {f (yn)} hội tụ tới

f (x) và f (y)

Khi đó, do f là tựa lồi trên riK, ta có:

f ((1 − λ)xn + λyn) ≤ max {f (xn); f (yn)}

Cho qua giới hạn n → ∞, ta được:

f ((1 − λ)x + λy) ≤ max {f (x); f (y)}

khẳng định trên được chứng minh

Chú ý Ngay cả trong trường hợp 1 chiều, giả thiết tính liên tụctrong khẳng định trước cũng không thể thay thế bằng tính nửa liên tục

Ví dụ 2.2.1 Xét hàm số f : [0; 1] → R xác định bởi f (0) = f (1) = 0

và f (x) = 1 với x ∈ (0; 1)

Ta thấy f (x) là hàm nửa liên tục dưới nhưng nó không liên tục

Ta chứng minh được f (x) không phải là hàm tựa lồi Thật vậy:Chọn x = 1, y = 0 và t ∈ (0; 1) bất kì, ta có:

f (tx + (1 − t)y) = f (t) = 1và

max {f (x); f (y)} = 0hay là

f (tx + (1 − t)y) > max {f (x); f (y)}

Tuy nhiên, dễ thấy tính nửa liên tục trên là đủ để diều kiện tươngđương đúng trong trường hợp hàm của một biến thực

Nhưng khi n > 1, tính nửa liên tục trên là chưa đủ

Ví dụ 2.2.2 Cho hàm số f : [−1; 1] × [−1; 1] → R cho bởi biểu thức

f (x; y) =

(0; x 6= 1

Suy ra điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.2.2 Cho K ⊂ Rn là tập lồi và f : clK → R là hàm liên tục.Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) f là dưới khả vi dưới bị chặn trên riK với N là cận của dưới

Khi {xn ∗} nằm trong tập compact; không giảm tính tổng quát tagiả thiết dãy này hội tụ tới x∗ ∈ B(O; N)

Ta phải chứng minh:

x∗ ∈ ∂−f |clK(x0)Lấy x ∈ clK thỏa mãn f (x) < f (x0)] ; khi đó từ tính hội tụ của {xn}tới x0 và tính liên tục của f, ∃n0 sao cho f (x) < f (xn) với n ≥ n0

Khi đó với x ∈ riK ta có

f (x) ≥ f (xn) + (xn)∗ T(x − xn)

với n ≥ n0.

Lấy giới hạn n → ∞, ta được:

f (x) ≥ f (x0) + (x∗) T(x − x0)

Từ đó ta có: xn∗ ∈ ∂−f |riK(x0) và do đó ∂−f |clK(xn) ∩B(O; N) 6= ∅(đpcm)

Chú ý Bổ đề 2.2.2 không đúng khi thay thế điều kiện dưới khả vidưới bị chặn bằng dưới khả vi dưới

Ví dụ 2.2.3 Xét hàm f : [−1; 1] → R được cho bởi biểu thức

(i) Q là dưới khả vi dưới bị chặn trên K

(ii) Q là hàm Lipschitz trên K

(iii) Q là bị chặn dưới trên K

(iv) AK là bị chặn

Chứng minh Khẳng định (i) => (ii) là đúng với mọi hàm Q (không cần

là hàm toàn phương)

(ii) => (iii) Theo tính liên tục của hàm Q, ta chỉ cần chứng minh

Q là bị chặn dưới trên intK Lấy x0 ∈ intK với ma trận

(iii) => (iv) Lấy P , v, G, Λ, δ và D như trong định lý 1.6.2 vàlấy r = rankΛ Không giảm tính tổng quát, ta giả sử có y1 ≥ 0 với

αiyi ≤ p (điều này mâu thuẫn).

Hơn thế khi α1 < 0 không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử

α1 = −1 Khi đó với mọi y2, , yr ∈ R, hàm số

β(y2, , yr) = −

vuut