ĐLL và luật phân phối xác suất

ĐLL và luật phân phối xác suất

Ths Nguyễn Công Trí

Copyright 2001

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN (XEM)

2 LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC (XEM)

3 HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN (XEM)

4 LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LIÊN TỤC (XEM)

5 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA ĐLNN LIÊN TỤC (XEM)

6 LUẬT PHÂN PHỐI Đ ÀNG THỜI (XEM)

CHƯƠNG 2

Ths NguyễnCông Trí

qGiả sử trong không gian mẫu ta gán cho mỗi phần tử mẫu một con số, sau đó ta định nghĩa một hàm trên không gian mẫu này thì hàm này được gọi làđ ïi ư ïng ngẫu nhiên

(hay biến ngẫu nhiên) hay chính xác hơn là

hàm ngẫu nhiên Thư øng ký hiệu ĐLNN bằng mẫu tự in hoa, chẳng hạn X, Y hay Z.

X: Ω → ℜ

A → X(A)

qNói chung, một ĐLNN chỉ ra một ý nghĩa vật lý, hình học hay một ý nghĩa nào đó.

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

qVÍDỤ 2.1 Tung một đồng xu hai lần, ta có

không gian mẫu Ω = {NN, NS, SN, SS}.Gọi X

là số lần mặt ngửa xuất hiện, với mỗi phần

tử mẫu ta có thể gán một số cho X như sau:

Bảng 2-1

qMột ĐLNN nhận các giá trị h õu hạn hay

các giá trị vô hạn đếm được thì được gọi là

ĐLNN rời rạc; một ĐLNN nhận các giá trị vô

hạn không đếm được thì được gọi là ĐLNN

không rời rạc

0 1 1 2 X

SS SN NS NN Phần tử mẫu

(→) (→VD2.2)

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

TRƯ ØNG HỢP ĐLNN RỜI RẠC

qGọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử các giá trị của X là x 1 , x 2 ,…, x K , được xếp theo một thứ tự nào đó và các giá trị của X có xác suất như sau

P(X = x k ) = f(x k ), k = 1, 2, … (1)

qVậy f(x) là hàm xác suất khi 1) f(x) ≥ 0 và 2)

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

f(x k )

f(x 2 ) f(x 1 ) f(x)

x k

x 2

x 1 X

( ) 1

x

∑

qVÍ DỤ 2.2 Tìm luật phân phối xác suất với

đ ïi ư ïng ngẫu nhiên X của ví dụ 2.1.

Giả sử đồng xu công bằng, ta có P(NN) = ¼, P(SN) = ¼, P(NS) = ¼, P(SS) = ¼ thì P(X = 0) = P(SS) = ¼

P(X = 1) = P(SN∪NS) = P(SN) + P(NS) = ½ P(X = 2) = P(NN) = ¼

Luật phân phối xác suất được cho bởi

Bảng 2-2

¼

½

¼

(→VD 2.3)

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Hàm phân phối tích lũy, gọi tắt là hàm phân phốicủa đ ïi ư ïng ngẫu nhiên X được định nghĩa như sau

trong đó x là số thự , nghĩa là -∞ < x < ∞ Hàm phân phốiF(x)có các tính chất sau:

1 F(x)là hàm không giảm nghĩa là, F(x) ≤ F(y) nếu x ≤ y 2.

.

3 F(x)là hàm liên tục phải Nghĩa là, , với mọi x].

HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN

( )

→−∞ = lim ( ) 1

→∞ =

0

lim

h +F x h F x

→ + =

ong

q Hàm phân phốicủa ĐLNN rời rạc X có thể

thu được từ hàm xác suất của nó bằng

cách, với mọi x trong khoảng ( ∞,∞),

(4) Nếu X là các giá trị h õu hạn x 1 , x 2 , , x n , thì

hàm phân phối được xác định bởi biểu thứ

(5)

u x

≤

= ≤ =∑

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

x x

F x

−∞ < <



= 





L

HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN

qVÍ DỤ 2.3 (a) Tìm hàm phân phối của đ ïi

lư ïng ngẫu nhiên X trong ví dụ 2.2 (b) hãy vẽ đồ thị hàm phân phối của X.

q(a) hàm phân phối của ĐLNN X

( )

1

4 3

4

x x

F x

x x

−∞ < <







= 





HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN

qĐồ thị hàm phân phối của X.

HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN

TRƯ ØNG HỢP ĐLNN LIÊN TỤC

qĐLNN không rời rạcX được gọi làliên tục, nếu hàm phân phối của nó có thể được biểu diễn như sau

(7)

qTrong đó hàm mật độf(x)có tính chất

§ f(x) ≥ 0

§

qTheo khái niệm trên, nếu X là ĐLNN liên tục thì P(X = x) = 0 và xác suất của X (a,b) là

(8)

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

f x dx

∞

−∞ =

∫

−∞

a

P a<X<b =∫ f x dx

qVÍ DỤ 2.4 Chọn ngẫu nhiên một ngư øi từ

một nhóm gồm các quiù ông, xác suất chiều

cao X của ngư øi này chính xác 68 inches thì

bằng không Tuy nhiên, có một xác suất của

chiều cao X nằm giữa 67,000 inches và

68,500 inches sẽ là một số dương.

qMột hàmf(x)thỏa tính chất 1 và 2 ở trên sẽ

được gọi làhàm mật độ và công thứ tính

xác suất sẽ được tính theo biểu thứ (8).

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

q VÍ DỤ 2.5 (a) Tìm hằng số c sao cho hàm

là hàm mật độ, (b) tính P(1 < X < 2).

(a)f(x)thỏa tính chất 1 khi c ≥ 0, đểf(x)là hàm mật độ thìf (x)phải thỏa tính chất 2

Ta có

f(x)là hàm mật độ thì 9c = 1 ⇒ c = 1/9.

(b)

0

f x

khac

 < <

= 



( )

3 3

2 0

0

9 3

cx

∞

1

1

x

P <X< =∫ x dx= = − =

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

ong

qVÍ DỤ 2.6 (a) Tìm hàm phân phối của đ ïi

lư ïng ngẫu nhiên trong VÍ DỤ 2.5 (b) Dùng

kết quả câu (a) tìm P(1 < x ≤ 2).

(a) Ta có

Nếu x < 0, thì F(x) = 0 Nếu 0 ≤ x < 3, thì Nếu x ≥ 3, thì

Vậy hàm phân phối cần tìm là

−∞

= ≤ =∫

2

1

9 27

2

1

9

F x f u du f u du u du du

( ) 3

2 7

x x

x

<





≥



QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

(b) Ta có

Ta có kết quả giống như trong ví dụ 2.5

qChú ý Trong tr ờng hợpf(x) liên tục, nếu không có một phát biểu nào khác, P(X = x)

= 0 Do đó ta có thể thay thế một hoặc cả hai ký hiệu “<” trong công thứ (8) bởi “≤”

Vì vậy, trong ví dụ 2.5, ta có

3 3

1 2 2 1

2 1

2 1 7

27 27 27

< ≤ = ≤ − ≤

= −

= − =

1 2 1 2 1 2 1 2

27

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

qNếu f(x) là hàm mật độ của ĐLNN liên tục

X thì đồ thị y = f(x) biểu diễn như Hình 2-2

Hình 2-2

qDo f(x)≥0,nên đường cong luôn bên trên

trục x Toàn bộ diện tích giới hạn bởi đường

cong và trục x bằng 1 Về ý nghĩa hình học,

P(a <X < b) được biểu diễn bởi diện tích

được tô đ äm trong Hình 2-2.

BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA ĐLNN LIÊN TỤC

qHàm phân phối F(x) = P(X ≤ x) là hàm đơn điệu tăng F(x) tăng từ 0 đến 1 và được biểu diễn bởi đường cong như trong Hình 2-3.

Hình 2-3 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA ĐLNN LIÊN TỤC

1 TRƯỜNG HỢP ĐLNN RỜI RẠC Nếu X và Y

là hai ĐLNN rời rạc Ta định nghĩahàm xác

suất đồng thờicủa X và Y như sau

P(X= x, Y= y) = f(x, y) (13) trong đó

1. f(x,y) ≥ 0

2.

q Giả sử X = {x 1 , x 2 , , x m } và Y = {y 1 , y 2 , ,

y n } thì xác suất của biến cố X = x j và Y = y k

cho bởi biểu thứ

P(X= x j , Y= y k ) = f(x j , y k ) (14)

LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

( ), 1

x y

∑∑

qHàm xác suất đồng thời của X và Y

qHàm xác suất biên (lề) của X, của Y; hàm phân phối xác suất đồng thời của X và Y là

Tổng 1

f 2 (y n )

f 2 (y 2 )

f 2 (y 1 )

Tổng cột

f 1 (x m ) f(x m ,y n ) f(x m ,y 2 )

f(x m ,y 1 )

x m

…

f 1 (x 2 ) f(x 2 ,y n )

f(x 2 ,y 2 ) f(x 2 ,y 1 )

x 2

f 1 (x 1 ) f(x 1 ,y n )

f(x 1 ,y 2 ) f(x 1 ,y 1 )

x 1

Tổng dòng

y n

y 2

y 1

Y X

1

, ;

n

i

=

1

,

m

j

=

u x v y

F x y P X x Y y f u v

≤

LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

ong

2 TRƯỜNG HỢP ĐLNN LIÊN TỤC Cả hai ĐLNN

đều liên tục, tương tự như tr ờng hợp rời rạc

ta thay ký hiệu tổng bằng ký hiệu tích phân

Hàm phân phối xác suất đồng thời của hai

ĐLNN X và Y (còn được gọi làhàm mật độ

đồng thờicủa X và Y) được xác định bởi

1. f(x,y) ≥ 0

2.

q Trên đồ thị z = f(x,y) biểu diễn một mặt,

được gọi là mặt xác suất, được minh hoạ

trong Hình 2-4

( ), 1

f x y dxdy

∞ ∞

∫ ∫

LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

Hình 2-4

qToàn bộ thể tích giới hạn bởi mặt này và mặt phẳng xy thì bằng 1

qXác suất của X (a, b) khi Y∈(c,d) trên đồ thị là thể tích được tô đ äm trong Hình 2-4.

qTổng quát, nếu A là một biến cố thì tồn tại một miềnA của mp xy tương ứng với A,

x a y c

= =

< < < < =∫ ∫

( ) ( ),

A

ℜ

=∫∫

LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

q Hàm phân phối đồng thời của X, Y trong

tr ờng hợp này được định nghĩa như sau

(22)

Ta có

(23) Từ (22) ta có lần lư ït hàm phân phối biên

(hàm phân phối lề) của X và Y.

(24) (25)

u v

=−∞ =−∞

( )

2 ,

F

f x y

x y

∂ =

∂ ∂

u u

=−∞ =−∞

u u

=−∞ =−∞

LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

qLấy đ ïo hàm của (24) đối với x và (25) đối với y thì lần lư ït ta cóhàm mật độ biên (hàm mật độ lề), hay đơn giản làhàm mật độcủa X và của Y được cho bởi biểu thứ

(26)

v

f x ∞ f x v dv

=−∞

=∫

u

f y ∞ f x u du

=−∞

=∫

LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

1 TRƯỜNG HỢP ĐLNN RỜI RẠC Nếu biến cố

X= x và biến cố Y= y là các biến cố độc lập

với mọi x và y, thì ta nói X và Y là cácĐLNN

nhiên độc lập Trong tr ờng hợp như vậy thì

P(X= x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) (27) hay f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y) (28)

q Ngư ïc lại, với mọi x và y, hàm xác suất

đồng thời f(x,y) có thể được biểu diễn qua

tích của một hàm theo biến x và một hàm

theo biến y thì X và Y là độc lập Nếuf(x,y)

không thể biểu diễn được như vậy thì X và Y

được gọi làphụ thuộc.

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

2 TRƯ ØNG HỢP ĐLNN LIÊN TỤC Nếu X, Y liên tục, ta nói X, Y độc lập nếu các biến cố X ≤

x và Y ≤ y độc lập với mọi x và y Ta có P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) (29) hay F(x, y) = F 1 (x)F 2 (y) (30) trong đó F 1 (x) và F 2 (y) lần lư ït là các hàm phân phối (biên) của X và Y.

q Với các ĐLNN độc lập liên tục có hàm mật độ đồng thời f(x,y) = f 1 (x)f 2 (y) thì các hàmf 1 (x), f 2 (y)lần lư ït là hàm mật độ biên (lề) của X và Y.

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

ong

CHƯƠNG 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

ĐLNN RỜI RẠC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1 Giả sử tung một cặp xúc xắc công bằng và gọi đại lượng ngẫu nhiên X là tổng số

điểm trên hai mặt xuất hiện của cặp xúc xắc Tìm luật phân phối xác suất của X

Hướng dẫn:

f (x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

2.2 Tìm luật phân phối xác suất của con trai và con gái trong một gia đình có 3 con,

giả sử xác suất sinh con trai và con gái bằng nhau

Hướng dẫn:

HÀM PHÂN PHỐI RỜI RẠC 2.3 (a) Tìm hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.1, (b) hãy

vễ đồ thị của phân phối này

2.4 (a) Tìm hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.2, (b) hãy

vễ đồ thị của phân phối này

ĐLNN LIÊN TỤC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

2.5 Một đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = c/(x2 + 1), trong đó - < x <

(a) Tìm giá trị của hằng số c (b) Tìm xác suất của X2 nằm giữa 1/3 và 1

Đs: (a) c = 1/ , (b) 1/6 2.6 Tìm hàm phân phối ứng với hàm mật độ của bài tập 2.5

Đs: ½ + (1/ )tan-1x

2.7 Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là

2

x

F x

x

0

Tìm (a) hàm mật độ, (b) xác suất của X > 2 và (c) xác suất của – 3 < X 4

Đs: (b) e-4

LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI VÀ ĐLNN ĐỘC LẬP 2.8 Hàm xác suất đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X và Y là

f(x,y) = c(2x + y), trong đó x và y đều là số nguyên sao cho 0 x 2, 0 y 3û và

ngược lại f(x,y) = 0

ong

(c) Tìm P(X 1, Y 2)

Đs: (a) c = 1/42, (b) 5/42, (c) 4/7 2.9 Tìm hàm xác suất biên (a) của X và (b) của Y với các đại lượng ngẫu nhiên của

bài tập 2.8

2.10 Chứng minh các đại lượng ngẫu nhiên X và Y trong bài tập 2.8 là phụ thuộc

5

2.11 Hàm mật độ đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục X và Y là

, 0

f x y

ngủọûc lại

(a) Tìm giá giá trị của hằng số c

(b) Tìm P(1 < X < 2, 2 < Y < 3).

(c) Tìm P(X 3, Y 2).

Đs: (a) c = 1/96, (b) 5/128, (c) 7/128.

BÀI TẬP BỔ SUNG

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.12 Tung một đồng xu ba lần Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện số lần xuất

hiện mặt ngửa, lập bảng phân phối xác suất của X

Đs:

2.13 Một lọ chứa 5 bi trắng và 3 bi đen Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 2 bi và gọi

X là số bi trắng có trong 2 bi được chọn ra, tìm luật phân phối xác suất của X

Đs:

f (x) 3/28 15/28 5/14

2.14 Làm bài tập 2.13, với hai bi được chọn ra có hoàn lại

Đs:

f (x) 9/64 15/32 25/64

2.15 Gọi Z là đại lượng ngẫu nhiên thể hiện số lần xuất hiện mặt ngửa trừ số lần

xuất hiện mặt sấp trong hai lần tung một đồng xu công bằng Tìm luật phân phối xác suất của Z Hãy so sánh kết quả này với ví dụ 2.1 và 2.2

Đs:

2.16 Rút ngẫu nhiên 4 lá bài từ một bộ bài 52 lá Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên thể

hiện số lá xì rút được trong 4 lá được rút ra, lập bảng phân phối xác suất của X

ong

f (x) 194.580/270.725 69.184/270.725 6.768/270.725 192/270.725 1/270.725

HÀM PHÂN PHỐI RỜI RẠC 2.17 Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X được thể hiện trong Bảng

2-7 Hãy lập bảng thể hiện hàm phân phối của X

Bảng 2-7

f(x) ½ 1/3 1/6

Đs:

F(x) ½ 5/6 1

2.18 Tìm hàm phân phối của (a) bài tập 2.12, (b) bài tập 2.13, (c) bài tập 2.14

2.19 Tìm hàm phân phối của (a) bài tập 2.15, (b) bài tập 2.16

2.20 Bảng 2-8 thể hiện hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X Hãy xác định (a)

hàm xác suất, (b) P(1 X 3), (c) P(X 2), (d) P(X < 3), (e) P(X > 1,4)

Bảng 2-8

F(x) 1/8 3/8 ¾ 1

f(x) 1/8 ¼ 3/8 ¼

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.21 Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ là

x

f x

x

Tìm (a) hằng số c, (b) P(1 < X < 2), (c) P(X 3), (d) P(X < 1)

2.22 Tìm hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên trong bài tập 2.21 Hãy vẽ đồ thị

hàm mật độ và hàm phân phối, mô tả mối quan hệ giữa chúng

2.23 Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ là

0

khác

Tìm (a) hằng số c, (b) P(X > 2), (c) P(½ < X < 3/2)

2.24 Tìm hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X trong bài tập 2.23

2.25 Hàm

2

0

F x

khác

1 có phải là hàm phân phối không? Hãy giải thích

ong

cxy, với x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3 và f(x,y) = 0 khi x, y có giá trị khác Tìm (a) hằng

số c, (b) P(X = 2, Y = 3), (c) P(1 X 2, Y 2), (d) P(X 2), (e) P(Y < 2), (f) P(X = 1), (g) P(Y = 3)

Đs: (a) 1/36, (b) 1/6, (c) ¼, (d) 5/6, (e) 1/6, (f) 1/6, (g) ½ 2.27 Tìm hàm xác suất biên của (a) X và (b) Y với đại lượng ngẫu nhiên trong bài

tập 2.26 (c) Hãy xác định X và Y có độc lập hay không?

2.28 Gọi X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời là

, 0

f x y

khác

1

Hãy xác định (a) hằng số c, (b) P(X < ½ , Y > ½ ), (c) P(Y < ½ ) (d) X và Y có độc lập không?

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP

2.29 Giả sử f(x) = c/3x, x = 1, 2 … là hàm xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X (a)

Hãy xác định c (b) Tìm hàm phân phối (c) vẽ đồ thị hàm xác suất và hàm phân phối (d) Tìm P(2 X < 5) (e) Tìm P(X 3)

2.30 Giả sử

0

x

f x

khác

là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X (a) Xác định c (b) Tìm hàm phân phối (c) vẽ đồ thị hàm mật độ và hàm phân phối (d) Tìm P(X 1) (e) Tìm P(2 X < 3)

2.31 Hàm xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là

2

0

f x

khác

trong đó p là hằng số Tìm (a) P(0 X < 3), (b) P(X > 1)

Đs: (a) 3/7, (b) 5/7 2.32 Hàm xác suất đồng thời của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được cho trong

Bảng 2-9 (a) Tìm hàm xác suất biên của X và Y (b) Tìm P(1 X < 3, Y 1) (c) X và Y có độc lập không?

Bảng 2-9

Y

Đs: (b) 7/18.

ong