Tài liệu Phân tích ứng suất_chương 2 docx

PHÂN TÍCH ỨNG SUẤTVật chất được cấu tạo bởi các phần tử tự nhiên được gọi là môi trường liên tục, nếu trong đó ta chỉ xét vật chất ở trạng thái vĩ mô, bỏ qua các cấu trúc vi mô, bằng các

Chương 2 PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT

Vật chất được cấu tạo bởi các phần tử tự nhiên được gọi là môi trường liên tục, nếu trong đó ta chỉ xét vật chất ở trạng thái vĩ mô, bỏ qua các cấu trúc vi mô, bằng cách giả định vật chất là liên tục và chiếm hoàn toàn thể tích của nó

2.1.1 Sự đồng chất, đẳng hướng - Khối lượng riêng:

Sự đồng chất của môi trường nghĩa là trong môi trường đó mọi điểm đều có tính chất giống nhau

Môi trường là đẳng hướng nếu tại một điểm bất kỳ của môi trường nó đều có tính chất giống nhau theo mọi hướng Ngược lại ta sẽ có môi trường bất đẳng hướng

Khối lượng riêng: là tỉ số giữa khối lượng ∆M và thể tích ∆V của vùng bao quanh 1 điểm

P trong môi trường liên tục.

Khối lượng riêng bình quân là:

( ) V

M

∆

ρ = [2.1]

Khối lượng riêng tại 1 điểm P của

thể tích phân tố ∆V cho bởi:

dV

dM V

M lim

0

=

∆ ρ

ρ là đại lượng vô hướng.

2.1.2 Lực Khối - Lực mặt:

Lực là đại lượng véc tơ biểu diển cho sự đẩy và kéo

Lực khối: Là lực tác dụng lên mỗi

phần tử trong 1 thể tích của môi trường liên tục, thí dụ như lực trọng

trường (trọng lượng bản thân(, lực quán tính, v.v Ký hiệu bi là lực trên đơn vị khối lượng (như gia tốc) và pi là lực trên đơn vị thể tích (như trọng lượng riêng) Ta có quan

hệ:

i

b =

Lực mặt: là lực tác dụng lên bề mặt của phần tử hay mặt bao của 1 thể tích bất kỳ

trong MTLT, thí dụ lực tiếp xúc giữa 2 vật là lực mặt (như lực ma sát, lực gió) Ký hiệu

fi , là lực trên đơn vị diện tích.

Nói chung lực mặt và lực khối là các ngoại lực tác dụng lên MTLT, các ngoại lực này sẽ tạo ra sự tương tác giữa các phần tử với nhau bằng những nội lực Để xác định nội lực, người ta dùng phương pháp mặt cắt, tức là tưởng tượng cắt môi trường bằng một mặt nào đấy thành những bộ phận ở hai bên mặt cắt Khi đó nội lực tác dụng giữa các

bộ phận với nhau thông qua mặt cắt được coi là lực mặt.

X1

X3

X2

kˆ

V

P

Hình 1 Thể tích phân tố ∆V trong MTLT V.

2.2 NGUYÊN LÝ ỨNG SUẤT CÔ SI (CAUCHY)_ VÉC TƠ ỨNG SUẤT:

Xét MTLT chịu tác dụng của các ngoại lực là lực mặt f i và lực khối b i Kết quả là tại 1 thể

tích nhỏ V bao bởi mặt S sẽ tương tác với môi trường xung quanh bằng các nội lực được

phân phối do các ngoại lực Chọn một mặt phân tố ∆S của S có n i là pháp tuyến đơn vị

đi qua điểm P Gọi f∆ i và M∆ i là lực tổng và mô men tổng của nội lực tác dụng lên ∆S

tại điểm P Nội lực trung bình trên đơn vị diện tích ∆S là:

S

f i

∆

∆

Hình 2 a/ Các lực tác dụng lên MTLT b/ Véc tơ ứng suất

Nguyên lý ứng suất Cô si: Tỉ sôú

S

f i

∆

∆ sẽ tiến tới giới hạn

dS

df i khi ∆S tiến về zero (tại

điểm P) Trong khi đó mô men của f∆ i đối với P sẽ triệt tiêu trong quá trình giới hạn Nếu mô men M∆ i tại điểm P không triệt tiêu trong khi lấy giới hạn thì sẽ tạo nên véc tơ

ứng suất kép (gọi là mô men nội lực)

Ta gọi

dS

df i là véc tơ ứng suất (nội lực trên đơn vị diện tích)

dS

df

= S

f

=

0 S

) nˆ (

∆ →

[2.4]

Ký hiệu trên đây để nhấn mạnh rằng tại một điểm P giá trị ứng suất tùy thuộc vào mặt

phân tố ∆S có hướng là pháp tuyến đơn vị n i , khi n i thay đổi (do∆S thay đổi) thì

t ( eˆ )

i i cũng thay đổi Theo định luật Newton ta có:

t

= t

- (- nˆ )

i ) nˆ (

Véc tơ ứng suất còn gọi là véc tơ kéo

x1

x3

x2

P

∆fi

∆Mi

ni

( )nˆ i

t

S

dS

ni

∆Mi

fi

2.3 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT _ TEN XƠ ỨNG SUẤT:

Hình 3 a/ Véc tơ ứng suất trên 3 mặt tọa độ b/ Ten xơ ứng suất

2.3.1 Trạng thái ứng suất tại 1 điểm: Trong hệ tọa độ vuông góc Descartes, trạng thái

ứng suất tại 1 điểm P được xác định bởi các cặp véc tơ t ( eˆ )

i i và eˆ i trên 3 mặt phẳng tọa

độ đi qua điểm P đó Để đơn giản 3 hình vẽ trên được thu lại trên cùng 1 hình vẽ (h.3b)

Trên mọi mặt phẳng của 3 mặt tọa độ, véc tơ ứng suất được viết theo các thành phần Descartes là:

eˆ

t

= eˆ

t + eˆ

t + eˆ

t

=

t

eˆ

t

= eˆ

t + eˆ

t + eˆ

t

=

t

eˆ

t

= eˆ

t + eˆ

t + eˆ

t

=

t

j ) eˆ ( j 3 ) eˆ ( 3 2 ) eˆ ( 2 1 ) eˆ ( 1 )

eˆ

(

j ) eˆ ( j 3 ) eˆ ( 3 2 ) eˆ ( 2 1 ) eˆ ( 1 )

eˆ

(

j ) eˆ ( j 3 ) eˆ ( 3 2 ) eˆ ( 2 1 ) eˆ ( 1 )

eˆ

(

3 3

3 3

3

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1

r

r

r

[2.6]

Hay:

(e )

j (e ) j

t $ = t $ e$

Chín thành phần trên đây của ten xơ ứng suất là các thành phần của ten xơ Descartes hạng 2 Còn gọi là ten xơ ứng suất:

σij ) eˆ ( j

Biểu diễn dưới ký hiệu ma trận :

x1

x3

x2

1

( )eˆ 1

j

t

x1

x3

x2

2

e)

P

( )eˆ 2

j

t

x1

x3

x2

3

e)

P

( )eˆ 3

j

t

x1

x3

x2

3

eˆ

1

eˆ

2

eˆ

( )eˆ 1

j

t

( )eˆ 2

j

t

( )eˆ 3

j

t

x1

x3

x2

σ22

σ21

σ23

σ33

σ32

σ31

σ12

σ11

σ13

33 32 31

23 22 21

13 12 11

σ σ σ

σ σ σ

σ σ

σ

=

σ σ σ

σ σ σ

σ σ

σ σ

33 32 31

23 22 21

13 12 11

ij = [

Các thành phần(σ11 ,σ22 ,σ33 ) vuông góc với 3 mặt tọa độ, được gọi là ứng suất pháp tuyến, và các thành phần còn lại (σ12 ,σ21 ,σ13 ,σ31 ,σ23 ,σ32 ) là tiếp tuyến của các mặt tọa

độ nên còn gọi là ứng suất tiếp Các ứng suất vẽ trên hình 3 đều có giá trị dương

2.3.2 Quan hệ giữa véc tơ ứng suất và ten xơ ứng suất:

Quan hệ giữa ten xơ ứng suất σij tại điểm P và véc tơ ứng suất t ( eˆ )

i i trên 1 mặt phẳng có hướng bất kỳ qua điểm P đó, được thiết lập bởi cân bằng lực hoặc cân bằng động lượng cho khối tứ diện nhỏ trong môi trường liên tục

có đỉnh vuông góc là P

Đặt diện tích ABC = dS có nˆ

là véc tơ pháp tuyến đơn vị,

và diện tích các mặt bên là hình chiếu của diện tích ABC, tức là:

3

2 2

2 2

1 1

1 1

n dS eˆ nˆ dS eˆ

, nˆ cos dS dS

dtABP

n dS eˆ nˆ dS eˆ

, nˆ cos dS dS

dtACP

n dS eˆ nˆ dS eˆ

, nˆ cos dS dS

dtCPB

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

[2.10a]

i dS cos nˆ , eˆ dS nˆ eˆ dS n

trong đó n i là thành phần Descartes của pháp tuyến đơn vị nˆ

Ta có cân bằng lực tác dụng lên tứ diện theo phương trình:

0

= dV b + dS t

- dS t

- dS t

-

dS

t * i ( nˆ ) * i ( eˆ 1 ) 1 * i ( eˆ 2 ) 2 * i ( eˆ 3 ) 3 ρ * i [2.11]

trong đó t * ( nˆ )

i là véc tơ kéo (căng) trung bình tác dụng lên mặt đáy ABC, t * ( eˆ )

i j là các véc tơ

kéo trung bình lên các mặt bên, b *

i là véc tơ lực khối trung bình tác dụng lên thể tích dV.

Nếu các cạnh của tứ diện giảm nhỏ dần theo cùng 1 tỉ lệ, thì số hạng lực khối sẽ tiến về zero trước (vì thứ nguyên là bậc 3 của chiều dài) hơn so với các lực mặt

Suy ra:

X1

X3

X2

nˆ

* i

t

( )eˆ 1

* i

t

−

( )eˆ 2

*

i

t

−

( )eˆ 3

* i

t

−

A

C

B P

* i

b

Hình 4 Quan hệ giữa véctơ ứng suất và tenxơ ứng suất

dS n

t

= dS

t + dS

t + dS

t

=

dS

t ( i nˆ ) ( i eˆ 1 ) 1 ( i eˆ 2 ) 2 ( i eˆ 3 ) 3 ( i eˆ j ) j [2.13]

hay:

dS n

t

=

dS

đơn giản dS :

n

= n

t

=

ta có thể viết:

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

33 32 1

23 22 1

3 2 11 3 2 1 ) nˆ ( 3 ) nˆ ( 2 ) nˆ (

hoặc:

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

33 3 23 2 13 1 ) nˆ ( 3

32 3 22 2 12 1 ) nˆ ( 2

31 3 21 2 11 1 ) nˆ ( 1

n + n + n

= t

n + n + n

= t

n + n + n

=

t 1

[2.17]

2.4.1 Phương trình cân bằng: Cho 1 thể tích bất kỳ V chịu tác dụng của hệ thống lực

mặt t ( eˆ )

i i và lực khối b i, cần có tổng hợp lực và mô men tác dụng lên thể tích phải bằng không

0

= dV b +

dS

v

) nˆ ( i s

ρ

∫

thay thế i(n)

ji j

t = $ σ n và ứng dụng định lý Divergent của Gauss ta được:

0

= dV ) b + ( hay

0

= dV ) b + j , (

v i

ji

v

r

ρ Σ

∆ ρ

Vì thể tích V được chọn tùy ý:

0

= b + hay

0

= b + j

ji

r

ρ Σ

∆ ρ

2.4.2 Ten xơ ứng suất đối xứng: Nếu không kể các mô men phân phối hay ứng suất

kép thì phương trình cân bằng mô men của lực quanh điểm gốc sẽ là:

0 dV b x + dS t x

V

k S

) nˆ

hay:

0

= dV b x +

dS t

v

) nˆ ( k j ijk s

ρ ε

thay t ( nˆ ) = pk n p

k σ vào [2.21b] ta được:

0

= dv b x +

dS n

v p pk j ijk s

ρ ε σ

∫

= )dV b x + x

+

x j, p pk j pk, p j k ijk

v

ε

∫

0

= )}dV b + ( x +

x j, p pk j pk, p k ijk

v

ε

∫

0

= dV

x j, p pk ijk

v

σ ε

∫

vì ta có : x j, p =δjp ;δjpσpk =σjk

v

σ ε

Với thể tích V bất kỳ ta có:

0

=

jk ijkσ

Khai triển ta được:σ12 =σ21 ;σ13 =σ31 ;σ23 =σ32 Có nghĩa là ten xơ ứng suất luôn luôn đối xứng:

σ

σij = ji

Vậy phương trình cân bằng có thể viết theo:

0

= b + i

j

ij, ρ

Khai triển ta được:

0

= b + x

+ x

+ x

0

= b + x

+ x

+ x

0

= b + x

+ x

+ x

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

11

ρ σ σ

σ

ρ σ σ

σ

ρ σ σ

σ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

[2.25]

2.5 ỨNG SUẤT CHÍNH _ BẤT BIẾN ỨNG SUẤT:

Tại 1 điểm P trạng thái

ứng suất được xác định bởi các thành phần ten

xơ ứng suất,σij Phương trình t ( nˆ ) = ji n j

liên kết với mỗi hướng

n i một véc tơ ứng suất

t ( nˆ )

i , trong đó nếu t ( nˆ )

i và

n i song song với nhau

ta gọi đó là phương ứng suất chính

dS

x2

x1

x3

P

i

nˆ

t =σ

Hình 5 Ứng suất chính ( )nˆ

i

t , giá trị chính σ và phương chính ni

=

t ( i nˆ ) σ i hay t r( nˆ ) =σnˆ [2.26]

σ được gọi là giá trị ứng suất chính

Mặt khác ta có:

n

= n

=

thay [2.27] vào t ( nˆ ) = ji n j = ij n j

0

= n )

- (σij σδij j hay (Σ- σI) nˆ = 0 [2.28]

Trong 3 phương trình trên có 4 ẩn số, đó là 3 ẩn n i (là cosin của góc hợp bởi nˆvà các

hệ trục) và σ Ngoài nghiệm tầm thường của phương trình là n j = 0, nghiệm tổng quát của phương trình đạt được với điều kiện định thức của |σij - δijσ | = 0, tức là:

0 ) -(

) -(

) -(

33 32

31

23 22

21

13 12

11

= σ σ σ

σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

[2.29]

Khai triển định thức ta được:

0

= III -II + I

- 2 3

Σ Σ

trong đó:

Σ σ

σ σ σ σ σ

Σ

Σ

det

= |

|

= III

) -(

= II I

ij

ij ij jj ii 2 1 ii

=

∑

[2.31]

là các bất biến ứng suất thứ nhất, thứ hai và thứ ba

Phương trình bậc ba trên đây có 3 nghiệm σ(1) ,σ(2) ,σ(3) là 3 giá trị ứng suất chính Mỗi nghiệm σ(k) sẽ liên kết với 1 hướng có cosin n (k)

i là nghiệm của phương trình sau đây:

0

= n )

-

j ij (k)

Khai triển phương trình trên cho phương chính thứ 2 ta được:

0

= n ) -( + n +

n

0

= n +

n )

- ( + n

0

= n +

n +

n )

-

(

(2) 3 (2) 33

(2) 2 32

(2) 1 31

(2) 3 23

(2) 2 (2) 22

(2) 1 21

(2) 3 13

(2) 2 12

(2) 1 (2) 11

σ σ σ

σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ

Khi chọn hệ trục tọa độ trùng với các phương ứng suất chính, thi ma trận biểu diễn ten

xơ ứng suất [σij ]có dạng đường chéo:

σ σ

σ σ

) 3 (

) 2 (

(1) ij

0 0

0 0

0 0 ]

[

σ σ

σ σ

(III) (II)

(I) ij

0 0

0 0

0 0 ]

Ở đây ta chọn theo thứ tự: σI >σII >σIII

_ Không gian ứng suất chính: là không gian có các hệ trục tọa độ là các phương ứng suất

chính Một véc tơ ứng suất t ( nˆ )

i bất kỳ có các thành phần như sau:

n

= t , n

= t , n

=

t 1 ( nˆ ) σ(1) 1 ( 2 nˆ ) σ(2) 2 ( 3 nˆ ) σ(3) 3 [2.35a]

và với quan hệ ( ) ( ) ( )n n n 2 1

3

2 2

2

tơ pháp tuyến đơn vị n i , véc tơ ứng suất t ( nˆ )

i

phải thỏa :

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )t 1

t t

2 3

2 nˆ 3 2 2

2 nˆ 2 2 1

2 nˆ

σ σ

Đây là phương trình biểu diễn mặt ellipsoid có các bán trục là giá trị của các ứng suất chính, còn được gọi là ellipsoid ứng suất

Lamé Mặt ellipsoid là quỹ tích mũi véc

tơ ứng suất của các mặt tại 1 điểm, nên

còn được gọi là mặt ứng suất Navier

ỨNG SUẤT TIẾP TUYẾN:

Trị số ứng suất pháp tuyến của véc tơ

ứng suất t ( nˆ )

i tại điểm P trên 1 mặt dS

có n i là pháp tuyến đơn vị là hình chiếu của t ( nˆ )

i lên phương của n i, ký hiệu bởi:

n n

= n

t

= ( nˆ ) i ij i j i

suy ra:

) n ( + ) n ( + )

n

(

3 III

2 2 II

2

1

I

Trị số ứng suất tiếp của véc tơ ứng suất

t ( nˆ )

i là hình chiếu lên phương tiếp tuyến

của mặt dS tại điểm P.

( ) = t t ( ) 2

N ) nˆ ( i ) nˆ ( i

2

suy ra:

σ(2)

P

ni

( )nˆ i

t

( )nˆ 2

t

( )nˆ

1

t

( )nˆ

3

t

σ(1)

σ(3)

Hình 6a Không gian ứng suất chính

σ(2)

P

ni

( )nˆ 2

t

( )nˆ 1

t

( )nˆ 3

t

σ(3)

Hình 6b Mặt ellipsoid ứng suất Lamê

( )nˆ i

t

σ(1)

σII

( )nˆ i

t

σI

σIII

σN

σS

x2

x1

x3

dS

Hình 7 Trị số ứng suất pháp và tiếp tuyến

} ) n ( + ) n ( + ) n ( { ) n ( + ) n ( + ) n

(

=

)

(

3 III

2 2 II

2 1 I

2 2

3 III

2 2 II

2 1 I

2

2.7 VÒNG TRÒN MOHR ỨNG SUẤT:

Trạng thái ứng suất 3 phương tại 1 điểm được biểu diễn bởi các vòng tròn trên sơ đồ 2 phương được gọi là vòng tròn ứng suất Mohr

Theo qui ước σI >σII >σIII, và ta có:

) n ( + ) n ( + ) n (

3 III

2 2 II

2 1 I

) n ( ) ( + ) n ( ) ( + ) n ( ) (

= ) ( + )

3

2 III

2 2

2 II

2 1

2 I

2 s

2

1

= ) n ( + ) n ( + ) n

3

2 2

2

Kết hợp 3 phương trình trên để giải ra các

nghiệm cosin chỉ phương n i:

) -)(

-(

) ( + ) -)(

-(

= ) n (

III I II I

2 s III N II N 2 1

σ σ σ σ

σ σ

σ σ

) -)(

-(

) ( + ) -)(

-(

= ) n (

I II III II

2 s I N III N 2 2

σ σ σ σ

σ σ σ σ

) -)(

-(

) ( + ) -)(

-(

= ) n (

II III I III

2 s II N I N 2 3

σ σ σ σ

σ σ σ σ

Các phương trình trên đây là phương trình cơ bản cho vòng tròn ứng suất Mohr được vẽ trên mặt phẳng ứng suất có σN

là trục hoành và σS là trục tung

Từ phương trình [2.43] ta có: σI -σII > 0 , σI -σIII > 0

Vậy tử số ( - )( - ) + ( ) 2 0

s III N II

2 III II 2 s

2 III II N

2 )

( + 2

) (

-









≥











σ σ

σ

Cho thấy các điểm ứng suất trên mặt phẳng (σN,σS) phải nằm trên hoặc ngoài vòng tròn

C 1, bán kính

2

=

R 1 σ −II σIII .

σII

( )nˆ i

t

σI

σIII

σN

σS

dS Hình 8 Ứng suất pháp tuyến và tiếp tuyến

trong không gian ứng suất chính

Tương tự, trong phương trình [2.44] vì σII -σIII > 0 , σII -σI < 0 do đó tử số

0 ) ( + ) -)(

s I N

III

tròn C 2, bán kính

2

=

R I III

2 I III 2 s

2 I III N

2 )

( + 2

) (

-









≤











σ σ

σ

Tương tự, phương trình [2.45] vì σIII -σI < 0 , σIII -σII < 0 do đó tử số :

0 ) ( + ) -)(

s II N I

Suy ra:

2 II I 2 s

2 II I N

2 )

( + 2

) (

-









 −

≥











σ σ

σ

Nên các điểm ứng suất phải nằm ngoài hoặc trên vòng tròn C 3, bán kính là

2

=

Tóm lại mỗi điểm ứng suất, biểu diễn bởi cặp giá trị (σN,σS), đặc trưng cho 1 véc tơ ứng

suất riêng t ( nˆ )

i , trạng thái ứng suất tại P biểu diễn bởi các phương trình [2.43], [2.44], [2.45] được giới hạn trong vùng gạch đậm của các vòng tròn Mohr

Trị số ứng suất tiếp tối đa được xác định trên vòng tròn Mohr là

2

) (σ −I σIII và tối thiểu là

zero

2

III

σ −

2

III

σ −

2

II

I σ

σ −

σS

σN

C2

C3

C1

Hình 9a Vòng tròn Mohr ứng suất

2.8 QUAN HỆ GIỮA VÒNG TRÒN MOHR ỨNG SUẤT VÀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐIỂM:

Hình 9b biểu diễn 1/8 hình cầu của môi trường có tâm là điểm P và các mặt cắt qua

tâm là các mặt phẳng tọa độ do các trục chính tạo thành Pháp tuyến ni tại 1 điểm Q bất

kỳ trên mặt cầu ABC mô phỏng cho mặt phân tố dS tại điểm P.

Do tính đối xứng của ten

xơ ứng suất, trạng thái

ứng suất tại điểm P hòan

toàn xác định bởi toàn thể

các điểm Q định vị trên

mặt cầu ABC đó Các cung

tròn KD, GE và FH biểu thị

cho những điểm Q mà dọc

theo đó cosin chỉ phương

ni có giá trị không đổi

Chẳng hạn:

n1 = cosφ trên KD,

n2 = cosβ trên GE,

n3 = cosθ trên FH,

và trên các cung tròn biên

BC, CA, AB,

n1 = cos π/2 = 0 trên BC,

n2 = cos π/2 = 0 trên CA,

n3 = cos π/2 = 0 trên AB [*]

Dựa vào giá trị n1 của [*] và [2.43] các véc tơ ứng suất tại Q định vị trên BC sẽ có các thành phần cho bởi các điểm ứng suất nằm trên vòng tròn C1 của hình 9a.

Tương tự, cung tròn CA trong hình 9b tương ứng với vòng tròn C2 , và AB tương ứng với C3 trong hình 9a.

Các thành phần véctơ ứng suất σN và σS đối với các điểm Q bất kỳ có thể được xác định bởi hình 9c Do đó điểm e có thể được định vị trên C3 bằng cách vẽ 1 bán kính từ tâm O3 theo 1 góc = 2β hợp với đoạn O3 σII (chú ý các góc thực được vẽ trong không gian vật lý sẽ được nhân đôi trong không gian ứng suất Mohr, vì chẳng hạn cung AB trương

1 góc 90o trong hình 9b, trong khi đó hình 9c trục σI và σII hợp với nhau một góc 180o trương nửa cung tròn C3 ).

σII

σI

σIII

x2

x1

x3

P

ni

dS A

B

C

Q

H G

D E

F K

θ θ

β

φ

β φ

Hình 9b