Giáo trình: Chương I: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Giáo trình: Chương I: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

CHƯƠNG 5 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

(Random Variables and Probability Distributons)

5 ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN (Random Variable)

5.1.1 Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên là những biến mà giá trị của nó được xác định một cách ngẫu nhiên

• Về mặt toán học, nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy có thể đặt tương ứng với một đại lượng xác định X = X(A) thì X được gọi là một biến cố ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên X có thể xem như hàm của biến cố A với miền xác định

là ω

• Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X, Y, Z,… còn các giá trị của chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x, y, z

5.1.2 Phân loại

Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục

a) Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable)

Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lập thành dãy rời rạc các số x1, x2, …, xn (dãy hữu hạn hay vô hạn) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

b) 3.1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable)

Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô hạn (a,b) của trục số 0x thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục

Thí dụ

• Lượng khách hàng đến cửa hàng trong ngày là biến ngẫu nhiên rời rạc

• Nhiệt độ trong ngày ở Sài Gòn là biến ngẫu nhiên liên tục

5.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

(Probability Distribution for Discrete Variable)

5.2.1 Hàm xác suất (Probability Function)

Hàm xác suất Px(x) của biến ngẫu nhiên rời rạc X dùng diễn tả xác suất để cho biến ngẫu nhiên X đạt giá trị x PX(x) là hàm của giá trị x

PX(x) = P(X=x)

Thí dụ

Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có

P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6

→ Hàm xác suất là : PX(x) = P(X=x) = 1/6 với x =1, 2, 3, 4, 5, 6

5.2.2 Phân phối xác suất (Probability Distribution)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X thể hiện sự tương quan giữa các giá trị xi của X

và các xác suất của xi, sự tương quan có thể trình bày bằng bảng đồ thị hoặc bằng biểu thức

≤

<

61

5211

6

10

0 0 0

xneáu

), ,,j(jx jneáuj

xneáu

FX(xo)

0 1 2 3 4 5 6 x

5.2.4 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

(Expected Value of Discrete Random Variable)

a) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

• Kỳ vọng, E(X), của biến ngẫu nhiên rời rạc X được định nghĩa như sau:

*

x = 0 * 0,81 + 1 * 0,17 + 2 * 0,02

= 0,21 lỗi /1 trang

b) Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên

Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất PX(x)

g(X) là một hàm số của biến ngẫu nhiên X

Kỳ vọng của hàm số g(X) được định nghĩa như sau :

E[g(x)] = ∑

)x(P)x(g

5.2.5 Phương sai (Variance)

Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Gọi µX là số trung bình của biến ngẫu nhiên

• Phương sai của biến ngẫu nhiên X chính là kỳ vọng của (X - µx)² và được ký hiệu

2

X

σ

2 X

σ = E[(X - µX)²] = ∑ ( −µ )

)x(P

X X

5.2.6 Độ lệch chuẩn σx (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn được ký hiệu σx

5.2.8 Phân phối xác suất nhị thức (Binomial Probability Distubutions)

a) Hàm xác suất của phân phối nhị thức

(Probability Function of Binomial Distribution)

• Hàm xác suất PX(x) là hàm xác suất của phân phối nhị thức

b) Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối nhị thức

Gọi X là số lần thành công trong n phép thử, mỗi phép thử có xác suất thành công là p X tuân theo phân phối nhị thức với số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn được tính theo các công thức sau:

Số trung bình

µX = E(X) = np Phương sai

a) Tìm phân phối xác suất của số lần bán được hàng

b) Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của số lần bán được hàng

c) Tìm xác suất của số lần bán được hàng trong khoảng 2 đến 4 lần

b Số trung bình của số lần bán được hàng µx = np = 5 * 0,4 = 2

Phương sai σ = np(1-p) = 5 * 0,4 * 0,6 = 1,2 2X

Độ lệch chuẩn σx = 12 = 1,10

c P(2 < X < 4) = PX(2) + PX(3) + PX(4) = 0,653

5.2.9 Phân phối xác suất Poisson

a) Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X được gọi tuân theo phân phối Poisson nếu hàm xác suất của X có dạng

PX(x) =

!x

e λλx

với λ > 0, ∀λ

x = 0,1,2,…

b) Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối Poisson

• Số trung bình của phân phối Poisson

Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 lần gọi trong 1 giờ Hỏi xác suất

để trạm đó nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút cho trước

5.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC

(Probability Distributions For Continuous Random Variables)

Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục được xác định bởi hàm mật độ xác suất

5.3.1 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function)

Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x là giá trị bất kỳ nằm trong miền các giá trị có thể

của mỗi điểm trên đường cong gọi là mật độ xác suất

9 Về mặt hình học xác suất để biến ngẫu nhiên rơi vào khỏang (a,b) bằng diện tích

hình thang cong giới hạn bởi đường cong phân phối xác suất, trục 0x, x = a, x = b

x Fx(x)

S

F X (x)

P(a<X<b) = S

∫−∞∞fx( x ) dx = 1 ==> Toàn bộ diện tích của hình thang cong là 1

Nếu fX(x) là hàm mật độ phân phối thì fX(x) cần thỏa mãn 2 điều kiện

9 FX(x) ≥ 0, ∀x

9 ∫∞fx( x ) dx = 1

1x0neáu 2x

0xneáu 0

Tìm xác suất để X rơi vào khoảng (0,5; 0,75)

Giải

Kiểm tra điều kiện của hàm mật độ phân phối

fX(x) ≥ 0, ∀x

102

dxdx

, 0

5 , 0

75 , 0

5 , 0

2)

(x dx xdx x

1 1

2

x y

<

≤+

<

1xneáu 0

1x0neáu aax-

0x1

- neáu aax

-1xneáu 0

a Tìm a

b Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trị ở trong khoảng (1/2,1) và ở trong khoảng

(-1/3,1/3)

b Tìm xác suất

P(1/2≤X≤1) = ∫112 − + =− + 1

2 1

= 1-2 [1/2 * 1/4 * 1/2] = 7/8

5.3.2 Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function)

Hàm phân phối tích lũy còn được gọi là hàm phân tích hay hàm phân phối xác suất

= 1 - (2,5 -1)/2 = 0,25

5.3.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục

a) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng E(X) của biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa như sau :

x ( g [

Nếu x <1 Nếu 1 ≤ x ≤ 3 Nếu x >1

5.3.6 Hàm phân phối chuẩn (The Normal Distribution)

a) Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn

Nếu hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng

2

2 2

2

σΠ

) x (

e

Với - ∞ < µ < +∞ và 0 < σ² < +∞

Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối chuẩn

b) Tính chất của phân phối chuẩn

Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham số µ và σ² Ta có các tính chất sau

a Số trung bình của biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn là µ

c) Hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn (Cumulative Distribution Function of Normal Distribution)

2 2

21

• Đường cong của hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn chuẩn hóa gọi là đường cong chuẩn chuẩn hóa (standard normal variable)

2

1 − σµπσ

) x (e

(

z

e x

πσ

• Giá trị của hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn chuẩn hóa (cũng bằng diện tích nằm dưới đường cong chuẩn) được lập thành bảng và được cho sẵn trong các phụ lục của sách thống kê Các bảng này cho giá trị của

P(Z < a) P(a ≤ Z ≤ b) P(Z > b)

b) Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên (Standardization of Variable)

Nếu biến ngẫu nhiên X có số trung bình là µ và phương sai là σ², thì biến ngẫu

nhiên Z = (X-µ)/σ sẽ có số trung trung bình là 0 và phương sai là 1

Z được gọi là biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa (standardized)

Nếu X tuân theo phân phối chuẩn thì Z tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa và Z được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa (Standard normal variable) Khi đó :

(Normal Approximaton to the Binomial Distribution)

npX

−

−1Với số trung bình của phân phối nhị thức µ = np và độ lệch chuẩn σ= np −(1 p)

Khi đó :

P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(

)p(np

npbZ)p(np

npa

5,0)

1(

5,0

p np

np b

Z p np

np a

−

−+

5,0)

1(

5,0

p np

np a

Z p np

np a

−

−+

5.3.9 Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối Poisson

Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson có số trung bình là λ

Nếu λ lớn thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để tính toán gần đúng cho phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên X được chuẩn hóa theo công thức

Z =

λ

λ

−X

X

Số lần thành công

Px(x)

P(a≤ X ≤ b) ≈ P( 0,5 0,5 )

λ

λλ

λ ≤ ≤ + −

−

Z a

P(X=a) ≈ P (a-0,5 ≤ X ≤ a+0,5)

Thí dụ

Một người bán hàng đi chào hàng với 100 khách hàng Theo kinh nghiệm hy vọng bán được hàng cho mỗi một khách hàng là 40% Tìm xác suất để số khách hàng sẽ mua hàng nằm trong khoảng 45 đến 50

Một nhà máy sản xuất thử một loại sản phẩm mới Mỗi sản phẩm sản xuất có xác suất bị

hư là 0,16 Tìm xác suất để có đúng 20 sản phẩm bị hư trong 80 sản phẩm

Giải

Gọi X là số sản phẩm bị hư X tuân thủ theo luật phân phối nhị thức với

5.3.10 Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với tỉ số của số lần thành công của biến

ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong n phép thử

Gọi f = X/n là tỉ số của số lần thành công

Gọi p là xác suất thành công của 1 lần thử

pf

−

−1

Thí dụ

Giả sử n = 100, p = 0,36 Tìm xác suất sao cho số f của số lần thành công trong n phép thử nằm trong khoảng 0,24 và 0,42

Giải