Tài liệu Toán xác suất_ Chương 1 doc

THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ 1.1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên Random Experiment Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính : • Không biết chắc hậu quả nào sẽ

CHƯƠNG 1

XÁC SUẤT

1.1 THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ

1.1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment)

Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính :

• Không biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra

• Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra

Thí dụ 1.1.1:

Thảy một con xúc sắc là một Thí nghiệm ngẫu nhiên vì :

• Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện

• Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra

(xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6)

1.1.2 Không gian mẫu (Sample Space)

Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu của thí nghiệm đó

Thí dụ 1.1.2:

Không gian mẫu của thí nghiệm thảy một con xúc xắc là:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Thí dụ 1.1.3:

Không gian mẫu của thí nghiệm thảy cùng một lúc hai đồng xu là:

E = {SS, SN, NS, NN} với S: Sấp, N: Ngửa

1.1.3 Biến cố (Event)

1.1.3.1 Biến cố

• Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố

• Biến cố chứa một phần tử gọi là biến cố sơ đẳng

Thí dụ 1.1.4:

Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc :

• Biến cố các mặt chẵn xuất hiện là : {2, 4, 6}

• Biến cố các mặt lẻ xuất hiện là : {1, 3, 5}

• Các biến cố sơ đẳng là : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

1.1.3.2 Biến cố xảy ra (hay thực hiện)

Gọi r là một gọi hậu quả xảy ra và A là một biến cố

• nếu r ∈ A ta nói biến cố A xảy ra

• nếu r ∉ A ta nói biến cố A không xảy ra

Thí dụ 1.1.5 :

Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì:

• Biến cố {2,4,6} xảy ra vì 4 ∈ {2, 4, 6}

• Biến cố {1,3,5} không xảy ra vì 4 ∉ {1, 3, 5}

Ghi chú:

• Þ ⊂ E => Þ là một biến cố

r ∉ Þ => Þ là một biến cố vô phương (biến cố không)

• E ⊂ E => E là một biến cố

∀ r, r ∈ E => E là một biến cố chắc chắn

1.1.4 Các phép tính về biến cố

Cho 2 biến cố A, B với A ⊂ E và B ⊂ E

1.1.4.1 Biến cố hội A ∪ B (Union)

Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B

A ∪ B xảy ra Ù (A xảy ra HAY B xảy ra)

A

B A∪B

E

1.1.4.2 Biến cố giao A ∩ B (Intersection)

A ∩ B xảy ra Ù (A xảy ra VÀ B xảy ra)

1.1.4.3 Biến cố phụ A = C E A (Biến cố đối lập, Component of A)

A xảy ra Ù A không xảy ra

1.1.4.4 Biến cố cách biệt ( biến cố xung khắc, mutually exclusive event)

A cách biệt với B Ù A ∩ B = Þ

A cách biệt với B Ù A với B không cùng xảy ra

A

B A∩B

A

E

A

B

A

E

A∩B=Þ

E

Thí dụ 1.1.6 :

Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có không gian mẫu:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện => A = {1, 3, 5}

• Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện => B = {3, 6}

• Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện => C = {4}, biến cố sơ đẳng

Ta có:

A ∪ B = {1, 3, 5, 6}

A ∩ B = {3}

A = {2,4,6} : biến cố khi mặt chẵn xuất hiện

A ∩ C = Þ => A và C là 2 biến cố cách biệt

1.1.4.5 Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive)

Gọi A1, A2…, Ak là k biến cố trong không gian mẫu E

Nếu A1∪ A2∪… ∪Ak = E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ

1.2 XÁC SUẤT (Probability)

1.2.1 Định nghĩa :

Nếu thông gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng và biến cố A có n biến cố sơ đẳng thì xác suất của biến cố A là :

P(A) =

N

n(A) Một cách khác ta có thể viết :

P(A) =

ra xảy thể có hợp trường Số

ra xảy A hợp trường Số

Thí dụ 1.2.1:

Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, xác suất của biến cố các mặt chẵn xuất hiện là :

P(A) =

N

n(A) =

2

1 6

3 =

1.2.2 Tính chất :

a Gọi A là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu E

0 ≤ P(A) ≤ 1

b P (Þ) = 0 ==> Þ là Biến cố vô phương

P (E) = 1 ==> E là Biến cố chắc chắn

1.2.3 Công thức về xác suất :

1.2.3.1 Xác suất của biến cố hội:

P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P( A ∩ B)

Chứng minh:

Gọi N : là số phần tử của không gian mẫu E

n1: là số phần tử của (A-B)

n2: là số phần tử của (A∩B)

n3: là số phần tử của (B -A)

n(A ∪ B) = n1 + n2 + n3

= n1 + n2 + n2 + n3 - n2

= n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Do đó : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Ghi chú :

Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có:

A ∩ B = Þ => P(A ∩ B) = P(Þ) = 0

==> P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

1.2.3.2 Xác suất của biến cố phụ (biến cố đối lập)

Biến cố phụ của biến cố A trong không gian quan mẫu E là A

P(A) + P ( A ) = 1

Chứng minh

A∪A = E

A

B

n1 n2 n3

E

P (A∪ A ) = P(E)

P(A) + P( A ) - P(A ∩ A ) = 1 vì P(A∩ A ) = P(Þ) = 0

1.2.4 Công thức nhân về xác suất :

1.2.4.1 Xác xuất có điều kiện :

Gọi P (B / A) là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện

P(B/A) = P(A ∩ B)/ P(A) Với P(A) > 0 ; P(B) > 0

hay

P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B)

Chứng minh :

• Gọi E là không gian mẫu chứa hai biến cố A,B

• Giả sử A thực hiện rồi thì A là biến cố chắc chắn, ta có thể chọn A làm không gian mẫu thu gọn

• Biến cố B thực hiện sau khi biến cố A xảy ra trở thành biến cố B/A

• Trong không gian mẫu biến cố B/A thực hiện nếu và chỉ nếu A ∩ B thực hiện

r ∈ B/A Ù r ∈ A ∩ B

Theo định nghĩa, ta có:

) A ( P

) B A ( P

N

) A ( n N

) B A ( n

) A ( n

) B A (

n

)

A

/

B

(

∩

=

∩

=

1.2.4.2 Công thức nhân về xác suất:

Cho hai biến cố A và B trong không gian mẫu E, xác suất của biến cố giao được tính theo công thức:

P(A∩B) = P(B/A) * P(A) hay P(A∩B) = P(A/B) * P(B)

A

B

A∩B

E

1.2.4.3 Biến cố độc lập :

Biến cố gọi là độc lập với biến cố A về phương diện xác suất nếu xác suất của biến cố

B không thay đổi cho dù biến cố A đã xảy ra, nghĩa là:

P(B/A) = P(B)

Ngược lại

P(A/B) = P(A)

Trong trường hợp hai biến cố độc lập, công thức nhân trở thành:

P(A∩B) = P(A) * P(B)

1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes

1.2.5.1 Công thức xác suất đầy đủ :

Giả sử biến cố B xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố của hệ đầy đủ cách biệt nhau từng đôi một A1, A2…, Ak xảy ra

Biết xác suất P(Ai) và P(B/Ai) hãy tìm P(B)

Theo giả thiết bài toán thì

B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B∩Ak)

Ư P(B) = P[(B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪…∪ (B∩Ak)] = P(B∩A1) + P(B∩A2) + … + P(B∩Ak)

Vì

P(B∩Ai) = P(B/Ai) * P(Ai)

E

Ak

A2

A1

B

Ư P(B) = ∑

=

k

) A ( P

* ) A / B ( P

1

Công thức này được gọi là công thức xác xuất đầy đủ

Thí dụ 1.2.2:

Trong nhà máy có 4 phân xưởng Phân xưởng I sản xuất chiếm 1/3 tổng sản lượng của nhà máy; Phân xưởng II chiếm 1/4; Phân xưởng III chiếm 1/4; Phân xưởng IV chiếm 1/6 Tỷ lệ phế phẩm tương ứng với các phân xưởng là 0.15, 0.08, 0.05, 0.01

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho sản phẩm của nhà máy thì sản phẩm đó là phế phẩm

Giải :

Gọi A1, A2, A3, A4 là biến cố lấy đúng một sản phẩm của phân xưởng I,II,III,IV

Gọi B là biến cố lấy được một phế phẩm

B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4)

==> P(B) = ∑

=

4

1

) A ( P

* ) A / B ( P Theo đề bài:

P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/4, P(A3)= 1/4, P(A4) = 1/6, ∑P(Ai)= 1

P(B/A1) = 0.15, P(B/A2) = 0.08, P(B/A3) = 0.05, P(B/A4) = 0.01

Vậy P(B) =1/3 * 0.15 + 1/4 * 0.08 + 1/4 * 0.05 + 1/6 * 0.01 = 0.0816

1.2.5.2 Công thức Bayes:

Giải bài toán ngược của bài toán trên, tức là biết các P(Ai), P(B/Ai) và biến cố B đã xảy ra, tìm P(Ai/B)

Ta có :

B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4)

và P(Ai∩B) = P(Ai/B) * P(B) = P(B/Ai) * P(Ai)

P(Ai /B) =

P(B)

) P(A

* )

P(Ai /B) =

∑

=

k

i i

) P(A

* ) P(B/A

) P(A

* ) P(B/A

1

Công thức này được gọi là công thức Bayes, hay công thức xác suất các giả thiết về các biến cố Ai có thể xem như giả thiết theo đó biến cố B xuất hiện Ta phải tính xác suất của các giả thiết với điều kiện biến cố B xuất hiện

Thí dụ 1.2.3:

Xét lại thí dụ 2.2, cũng với giả thiết đó bây giờ ta yêu cầu xác suất để lấy một sản phẩm của phân xưởng thứ nhất biết nó là một phế phẩm

Ư Ta phải tìm P(A1/B)

P(A1/B) = [P(B/A1) * P(A)]/P(B) = [0.15 * 1/3]/0.0816 = 0.61

1.2.6 Công thức Bernoulli :

1.2.6.1 Công thức Bernoulli :

Nếu tiến hành những phép thức độc lập, trong mỗi phép thử xác suất hiện của biến cố

A như nhau và bằng p thì xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử đó được biểu diễn bằng công thức Bernoulli

Pn(k) = C

n

k

pk qn-k Với q = 1-p

Ghi chú :

a Trong trường hợp biến cố A xuất hiện từ k1 đến k2 lần trong n phép thử thì ta ký hiệu xác xuất đó là Pn(k1,k2)

Gọi Aki là biến cố A xuất hiện ki lần

A = Aki ∪ Ak1+1 ∪…∪ Ak2

Pn (k1,k2) = P(A) =∑

=

−

2

1

k

k i

i n i i

np q C

b Khi n và k khá lớn việc tính toán Pn(k) và Pn(k1, k2) sẽ phức tạp Để khắc phục điều đó người ta phải tìm cách tính gần đúng các xác suất đó bằng các áp dụng các định lý giới hạn

Thí dụ 1.2.4:

Trong thùng có 30 bi: 20 trắng và 10 đen Lấy liên tiếp 4 bi, trong đó mỗi bi lấy ra đều hoàn lại thùng trước khi lấy bi và tiếp theo và các bi đều được trộn lại Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có 2 bi trắng

Giải:

Xác suất lấy được bi trắng p = 20/30 =2/3 có thể xem như nhau trong 4 phép thử:

q = 1 - p = 1/3

áp dụng công thức Bernoulli

P4(2) = C42p²q(4-2) =

27

8 3

1 30

2 2 1

3

=

























*

Thí dụ 1.2.5:

Xác suất xuất hiện biến cố A bằng 0.4 Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố A xuất hiện không quá 3 lần

Giải:

p = 0.4, q = 0.6

Xác suất để biến cố A xuất hiện 0 lần : P10(0) = q10

Xác suất để biến cố A xuất hiện 1 lần : P10(1) = 10pq9

Xác suất để biến cố A xuất hiện 2 lần : P10(2) = 45p2q8

Xác suất để biến cố A xuất hiện 3 lần : P10(3) = 120p3q7

Xác suất để biến cố A xuất hiện không quá 3 lần

P10(0,3) = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) ≈ 0.38

Ghi chú:

a) Chỉnh hợp Ap

n =

p)!

-(nn!

b) Tổ hợp Cp

n =

p)!

-(n p!

n!

c) Hoán hợp pn = Cn

n = n! = n* (n - 1) * ( n - 2) * … 3 * 2 * 1

1.2.6.2 Số lần xuất hiện chắc chắn nhất:

Trị số của Pn(k) nói chung phụ thuộc vào k Ta tìm một số k0 sao cho Pn(k0) đạt giá trị lớn nhất Số k0 gọi là số lần xuất hiện chắc chắn nhất của biến cố A trong n phép thử

Ta có:

np-q ≤ k0 ≤ np + p p ≠ 0 và p ≠ 1

Thí dụ 2.6 :

Xác suất bắn trúng đích bằng 0.7 Bắn 25 phát Xác định số lần có khả năng trúng đích nhất

Giải :

n = 25

p = 0.7

q = 0.3

np - q ≤ k0 ≤ np + p

25 * 0.7 – 0.3 ≤ k0 ≤ 25 * 0.7 + 0.7

17.2 ≤ k0 ≤ 18.2

Vì k là số nguyên, nên chọn k = 18

1.2.6.3 Các công thức gần đúng để tính P n (k) và P n (k 1 ,k 2 )

Các công thức được rút ra từ các định lý giới hạn

1.2.6.3.1 Công thức Moixre - Laplace :

a Pn(k) ≈ ϕ(xk)/ npq

• Công thức Moixre - Laplace được sử dụng khi n khá lớn

• p là xác suất của biến cố A trong phép thử Bernoulli, p không quá gần 0 và 1

xk = (k-np)/ npq

ϕ(x) = 1 / 2π * e-x²/2 : hàm số Gauss

f(x)/ 2π

x

Thí dụ 1.2.7:

Xác suất để sản xuất ra một chi tiết loại tốt là 0.4 Tìm xác suất để trong 26 chi tiết sản xuất ra thì có 13 chi tiết loại tốt

Vấn đề là tìm P26(13)

n = 26

p = 0.4

q = 0.6

xk = (k - np)/ npq = 1.04

ϕ(xk) = ϕ(1.04) = 0.2323

P26(13) = ϕ(xk) / npq = 0.2323/2.5 = 0.093

b Pn (k1, k2) ≈ Þ (β) - Þ (α)

Þ(x) 1/2

0

-1/2

α = (k1 - np)/ npq

β = (k2 - np)/ npq

Þ(x) = 1/ 2

0

π∫x e-x²/2dx : hàm Laplace chuẩn

Thí dụ 1.2.8:

Một phân xưởng sản xuất bóng đèn đạt trung bình là 70% sản phẩm loại tốt Tìm xác suất để trong 1000 bóng đèn có từ 652 đèn 760 bóng đèn loại tốt

Xác suất phải tìm là P1000 (652, 760)

n = 1000, p = 0.7 q = 0.3 k1 = 652 k2 = 700

α = (k1 - np)/ npq = - 3.31 => Þ (α) = Þ(-3.31) = - 0.499520

β = (k2 - np)/ npq = 4.14 => Þ (β) = Þ(4.14) = 0.499968

P1000 (652, 760) = Þ (β) - Þ (α) = 0.999488

1.2.6.3.2 Công thức Poisson

a Nếu n Ỉ ∞ và p Ỉ 0 sao cho np = λ (const) thì

Pn (k) ≈ (e-λλk) / k!

b Định lý Poisson cũng có thể dùng để tính gần đúng Pn (k1,k2)

Pn (k1, k2) = ∑ ∑

=

λ

=

λ

1

2

1

k

k

k k! e k

k

k n

k

(k) P

Thí dụ 1.2.9 :

Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong 1 quí là 800 Xác xuất để sản xuất ra một phế phẩm là 0.005 Tìm xác suất để cho :

1 Có 3 sản phẩm là phế phẩm

2 Có không quá 10 sản phẩm bị hỏng

Giải:

n =800, p = 0.005 => λ = np = 4

1 P800(3) = e-44³/3! = 0.1954

2 P800(0.10) =

k=

∑

0 10

e-44k/k! = 0 997