dau hieu chia het cho5

Chuyên đề 4: Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa 1... Phơng pháp 2: Dùng phép biến đổi tơng đơng 1.[r]

Chuyên đề 4: Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản

Ph

ơng pháp 1 : Dùng định nghĩa

1 Kiến thức:

Để chứng minh A>B ta đi chứng minhA-B>0

Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M2> 0∀ M

2 Các ví dụ:

* Ví dụ 1: x,y, z chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2

a x y z xy yz xz

     

Giải:

a Ta xét hiệu

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

x y z xy yz xz

x y z

x y x xy yz xz

b.Ta xét hiệu

x2+y2+x2+3 −2( x+ y +z )

x2−2 x +1+ y2− 2 y +1+z2− 2 z +1

z −1¿2≥0

¿

y −1¿2+ ¿

x − 1¿2+ ¿

¿

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng

a a2+b2

2 ≥(a+b2 )2

b a2

+b2

+c2

3 ≥(a+b+c3 )2

c Hãy tổng quát bài toán

Giải:

a Ta xét hiệu

a2+b2

2 −(a+b2 )2

¿

2(a2

+b2

)

a2+b2+2 ab 4 1

4(2 a

2

+2 b2−a2− b2− 2 ab)

a − b¿2≥ 0

1

4¿

Vậy a2

+b2

2 ≥(a+b2 )2

Dấu bằng xảy ra khi a=b

b Ta xét hiệu

a2+b2+c2

3 −(a+b+c3 )2

1

9[(a − b)2+(b − c)2+(c − a)2]≥ 0

Vậy a2

+b2

+c2

3 ≥(a+b+c3 )2

c.Tổng quát

a21

+a22 + +an2

n ≥(a1 +a2+ +an

n )2

Tóm tắt các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa

Bớc 1: Ta xét hiệu H =A-B

Bớc 2: Biến đổi H=( C+D) ❑2 hoặc (C+D) ❑2 + … +(E+F) ❑2

Bớc 3: Kết luận A B

Bài tập nâng cao

1 Cho abc=1 và a>36 chứng minh rằng

2

2 2

3

a

b c ab bc ca

2 Chứng minh rằng : Với mọi số thực x,y,z ta có

a x4y4z2  1 2 (x xy2 x z  1)

b x2+5 y2−4 xy +2 x −6 y +3>0

Gợi ý

2 a.Ta xét hiệu

H=x ❑4 +y ❑4 +z ❑2 +1-2x ❑2 y ❑2 +2x ❑2 -2xz-2x

=(x ❑2 -y ❑2 ) ❑2 +(x-z) ❑2 +(x-1) ❑2 H>0 ta có đpcm

b.Vế trái có thể viết

H=(x-2y +1) ❑2 +(y-1) ❑2 +1

Suy ra H >0 ta có đpcm

Ph

ơng pháp 2: Dùng phép biến đổi tơng đơng

1 Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức

đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng.

Chú ý các hằng đẳng thức sau:

 (A ± B) ❑2 = A ❑2 ± 2AB +B ❑2

 (A+B+C) ❑2 = A ❑2 +B ❑2 +C ❑2 +2AB +2AC +2BC

 (A ± B) ❑3 = A ❑3 ± 3A ❑2 B +3AB ❑2 ± B ❑3

 A ❑3 ± B ❑3 =(A ± B)(A ❑2 +AB+B ❑2 )

2.Các ví dụ

*Ví dụ1:

Cho a,b, c d,e là các số thực chứng minh rằng:

a a2

+b2

4 ≥ ab

b a2

+b2 +1 ≥ ab+a+ b

c a2b2c2d2e2 a b c d e(    )

Giải:

a

2 2

2

4

b

a b

( Bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy a2+b2

4 ≥ ab ( Dấu bằng xảy ra khi 2a=b suy ra a=

b

2 ).

b

a2+b2+1 ≥ ab+a+b

⇔2(a2+b2+1)≥ 2(ab +a+b )

⇔ a2

− 2ab+b2+a2−2 a+1+b2− 2b +1≥ 0

⇔(a −b )2

+(a −1)2+(b −1)2≥ 0

Bất đẳng thức cuối đúng Vậy a2

+b2 +1 ≥ ab+a+ b Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

c

a2+b2+c2d2+e2≥ a(b+c +d +e )

⇔ 4(a2+b2+c2d2+e2)≥ 4 a(b+c+d+e)

⇔(a2− 4 ab+4 b2)+(a2− 4 ac +4 c2)+(a2−4 ad+4 d2)+(a2− 4 ae+4 e2)≥ 0

⇔( a− 2 b)2+(a −2 c )2+(a −2 d )2+(a −2 e )2≥ 0

Bất đẳng thức đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng

(a10+b10)(a2+b2)≥(a8+b8) (a4+b4) (1) Giải

(1)⇔a12

+b12+a10b2+a2b10≥ a12+a8b4+a4b8+b12

⇔ a10b2− a8b4

+a2b10− a4b8≥ 0

⇔a8

b2(a2− b2)−a2b8(a2− b2)≥ 0

⇔(a2− b2)a2b2(a6−b6)≥0

⇔ a2b2(a2− b2)2(a4

+a2b2

+b4)≥0

Bất đăng thức cuối cùng đúng, vậy ta có điều phải chứng minh

* Ví dụ 3: Cho xy=1, x>y Chứng minh rằng

x2+y2

x − y ≥ 2√2

Giải:

x2

+y2

x − y ≥ 2√2 vì x>y nên x-y>0

⇔ x2

+y2≥2√2( x − y )

⇔ x2

+y2− 2√2 x+2√2 y ≥ 0

⇔ x2

+y2− 2 xy+√2 2−2√2 x +2√2 y ≥0

⇔(x − y −√2)2≥ 0

Vì xy=1 nên 2xy=2

Điều này luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Phơng pháp 3: Dùng bất đẳng thức đã biết

1. Một số bất đẳng thức hay dùng:

1 x2

+y2≥ 2 xy

2 x2

+y2≥| xy |

3 (x+ y)2> 4 xy

4 x+1

x>2

2.Các ví dụ

* Ví dụ 1: Cho a,b ,c là các số không âm, chứng minh rằng:

(a+b) (b+c) (c+a)≥ 8 abc

Giải:

Dùng bất đẳng thức phụ ( x+ y )2

> 4 xy

Ta có

(a+ b)2≥ 4 ab

(b+ c)2≥ 4 bc

(c+a)2≥ 4 ac

⇔( a+b)2(b+c )2(c+ a)2≥64 a2b2c2

⇔ (a+b )(b +c)( c+a) ≥8 abc

Vậy ta có điều phải chứng minh

* Ví dụ 2: Cho a,b,c,d >0 và abcd =1 Chứng minh rằng

a2

+b2

+c2

+d2

+a( b+c )+b(c+d)+d (c+ a)≥ 10

Giải:

a2

+b2≥ 2 ab

c2+d2≥ 2 cd

Do abcd=1 nên cd= 1

ab ( Dùng x+

1

x>2 )

Ta có

a2+b2+c2+d2≥ abcd=2(ab+ 1

Mặt khác

a (b+c)+b (c +d )+d (c +a)

¿ (ab+cd)+(ac+bd)+(bc +ad)

¿(ab+ 1

ab)+(ac+ 1

ac)+(bc + 1

bc)≥ 2+2+2=6

Vậy a2+b2+c2+d2+a( b+c )+b(c+d)+d (c+a)≥ 10

Phơng pháp 4: sử dụng tính chất bắc cầu

1 Kiến thức:

 A>B và B>C thì A>C

 0<x<1 thì x ❑2 <x

2 Các ví dụ

* Ví dụ 1 : Cho a,b,c,d >0 thoả mãn a>c+d, b>c+d

Chứng minh rằng ab>ad+bc

Giải:

Ta có

a>c+d

¿

b>c +d

⇔

¿a− c ≥d >0

b − d ≥ c >0

¿

⇒(a− c)(b −d )>cd

¿⇔ab − ad − bc+cd>cd

{

¿

¿ ¿

¿

Ta có điều phải chứng minh

* Ví dụ 2: Cho a,b,c >0 thoả mãn a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = 5

3

Chứng minh 1

a+

1

b −

1

c<

1 abc

Giải:

Ta có

(a+b +c )2=a2

+b2

+c2

+2(ab −ac − bc)>0

⇒ac+bc − ba< 1

2(a

2

+b2+c2)

⇒ac+bc− ab< 5

6<1

(Vì a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = 5

3 )

Chia cả hai vế cho abc>0 ta có 1

a+

1

b −

1

c<

1 abc (đpcm)

* Ví dụ 3: Cho 0< a,b,c,d <1 Chứng minh rằng:

(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) >1-a-b-c-d

Giải:

Ta có (1-a)(1-b)=1-a-b+ab

Do a>0, b>0 nên ab>0 Suy ra (1-a)(1-b) >1-a-b (1)

Do c<1 nên1-c >0 ta có

(1-a)(1-b)(1-c) >(1-a-b )(1-c) = 1-a-b-c+ca+cb

Do a,b,c,d>0 nên ca+cb>0

Suy ra (1-a)(1-b)(1-c) > (1-a-b-c) (2)

⇒ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> (1-a-b-c) (1-d) = 1-a-b-c-d +ad+bd+cd

⇒ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> 1-a-b-c-d

(Điều phải chứng minh)

* Ví dụ 4: Cho 0 ≤ a , b , c ≤ 1 Chứng minh rằng

2 a3+2 b3+2 c3≤ 3+a2b+b2c+c2a

Giải:

Do a ≤ 1⇒ a2≤ 1 và b2≤1

Ta có

(1− a2)(1 −b )≥ 0

⇒1+a2b ≥ a2

+b (1)

Mà 0 ≤ a , b≤ 1 ⇒a2

≥ a3;b2≥ b3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a3

+b3≤ 1+a2b

Tơng tự ta có b3+c3≤1+b2c

c3+a3≤1+c2a

Cộng các bất đẳng thức ta đợc

2 a3+2 b3+2 c3≤ 3+a2b+b2c+ c2a

(điều phải chứng minh)

* Ví dụ 5 : So sánh 31 ❑11 và 17 ❑14

Giải :

Ta thấy 3111<3211=(25)11= 255<256

Mặt khác 2 56 =2 4 14 =16 14

< 17 14 Vậy 256< 1714 hay 31 ❑11 < 17 ❑14

Phơng pháp 5: Dùng tính chất của tỉ số

1 Kiến thức :

* Cho a,b,c là các số dơng thì

a NÕu a

b ≥ 1 th×

a

b ≥

a+c b+c

b NÕu a

b ≤ 1 th×

a

b ≤

a+c b+c

* NÕu a,b,c,d >0 vµ a

b ≤

c

d th×

a

b ≤

a+c

b +d ≤

c d

2 C¸c vÝ dơ

* VÝ dơ 1: Cho a,b,c,d >0 chøng minh r»ng

1< a

a+b+c+

b b+c +d+

c c+d+a+

d

d +a+b<2

Gi¶i:

Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã

a

a+b+c<1⇒ a

a+b+c<

a+d

MỈt kh¸c a

a+b+c>

a

Tõ (1) vµ (2) ta cã a

a+b+c+d<

a a+b+c<

a+d

T¬ng tù ta cã

b

b+c +d +a<

b b+c +d<

a+b b+c +d +a (4)

c

a+b+c+d<

c

c +d +a<

c+b

d

a+b+c+d<

d

d +a+b<

d+c

Céng vÕ víi vÕ cđa (3), (4), (5),(6) ta cã

1< a

a+b+c+

b b+c +d+

c c+d+a+

d

d +a+b<2

(§iỊu phaØ chøng minh)

* VÝ dơ 2: Cho a

b<

c

d vµ b,d >0 chøng minh r»ng a

b<

ab+cd

b2+d2 <

c d

Gi¶i:

Tõ a

b<

c

d ⇒ab

b2<

cd

d2⇒ a

b<

ab+cd

b2+d2<

c d

VËy a

b<

ab+cd

b2+d2<

c

d (§ã lµ ®iỊu cÇn chøng minh).

*VÝ dơ 3: Cho a,b,c,d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n

a+b=c+d=1000 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa a

c+

b d

Gi¶i

Kh«ng mÊt tÝnh tỉng qu¸t gi¶ sư a

c ≤

b d

Tõ a

c ≤

b

d ⇒ a

c ≤

a+b c+d ≤

b

d ⇒ a

c ≤1 V× a+b=c+d

+ Trêng hỵp 1: NÕu b ≤ 998 th× b

d ≤ 998 ⇒ a

c+

b

d ≤ 999

+ Trêng hỵp 2: NÕu b=999 th× a=1

⇒ a

c+

b

d=

1

c+

999

d

Đạt giá trị lớn nhất khi d=1 , c= 99

Vậy giá trị lớn nhất của a

c+

b

d =999+

1

999 đạt đợc khi a=d=1; c=b=999

Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

1 Kiến thức:

 Nếu a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác thì a,b,c>0 và |b − c| <a<b +c

2 Các ví dụ

* Ví dụ 1: Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác

Chứng minh rằng.

a a2+b2+c2<2 (ab+ bc+ ca )

b abc> (a+b − c)(b+ c − a) (c +a −b)

Giải:

a Vì a,b,c là số do ba cạnh của tam giác nên ta có

¿

0<a<b+c

0<b<a+c

0<c <b+a

⇒

¿a2<a (b+c)

b2

<b(a+c)

c2

<c(a+b)

¿ { {

¿

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

a2+b2+c2<2(ab+ bc+ac) (Điều phải chứng minh)

b Ta có

b − c¿2> 0

¿

a − c¿2> 0

¿

a − b¿2> 0

¿

a>|b −c|⇒a2

>a2−¿

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc

a2b2c2>[a2− (b − c)2] [b2−(c − a)2]

⇒a2

b2c2>(a+b − c )2(b +c − a)2(c+a −b )2

⇒abc>(a+b −c) (b+c −a )(c +a− b)

Đó là điều phải chứng minh

Phơng pháp 7: Đổi biến số

Ví dụ: Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: a

b+c+

b

c +a+

c a+b ≥

3

Giải:

Đặt x=b+c; y=c+a ; z=a+b ta có:

a= y +z − x

z+x − y

x + y − z

2

Ta có (1)

⇔ y +z − x

z+x − y

x+ y − z

3 2

⇔ y

x+

z

x −1+

x

y+

z

y − 1+

x

z+

y

z − 1≥

3 2

⇔( y x+

x

y)+(z x+

x

z)+(z y+

y

z)≥6

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì x

y+

y

x ≥ 2

Vậy ta có điều phải chứng minh