Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.. A, B, C là một nhóm ba n[r]
Trang 1kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Môn : Toán (Vòng 2)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (7 điểm)
1 Giải hệ phơng trình:
4 4
3 4
3 4
2 Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
Thì | | | | | |a b c
Bài 2: (6 điểm)
1 Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau
2 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và ngời song sinh của
C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏi trong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?
Bài 3: (7 điểm)
Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau Đờng tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam
của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và
CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính của các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R
Hết
Môn : toán (Vòng 2)
Đáp án và thang điểm:
Trang 2Bài ý Nội dung Điểm
1.1 (4,0 điểm)
4 4
3 4
3 4
Điều kiện để hệ có nghiệm là:
3 4 3 4
x y
(*)
0,5
Với điều kiện (*), ta có:
x y 0 x y
(vì
3
nên x y x 2y2 4 0
Thay vào (a): x4 3 4y x4 4x 3 0 x4 1 4x1 0
vì x22x 3 x12 2 0
So với điều kiện (*), ta có:
3
1 4
x y
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất :
1 1
x y
1.2 (3,0 điểm)
Ta có
Suy ra:
a b b c c a a b b c c a
Do đó:
a b b c c a a b b c c a
0 a c a b c b a b c 0
Trang 3
0 2
a b b c c a
0 2
a b b c c a
0
0
2 2 2 | | | | | |
2.1 (4,0 điểm)
Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng S abbb k 2 k 0,kZ
0,5
2
1000k 9999 33 k 99, nên k chỉ gồm 2 chữ số: k xy10x y
Nếu y lẻ: y1;3;5;7;9 y2 1;9;25;49;81 b1;5;9 Khi đó 2xy có chữ
số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k phải là số chẵn khác với2
Nếu y chẵn:
2
0;2; 4;6;8 0; 4;16;36;64 0; 4;6
Với y = 0: k chỉ có thể là 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả2
điều kiện bài toán
Với y = 2: k2 100x240x Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng chục4 của k2 mới là 4, suy ra k2 3600 244 3844 abbb.
Với y = 4; 6:
2 16;36
y , khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ
số hàng chục của k2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là
2
Với y = 8: y2 = 64; k2 100x2160x64, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì
chữ số hàng chục của k2 mới bằng 4, suy ra k 2 382 1444 hoặc
2 882 7744
k (không thoả điều kiện bài toán).
Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh 38
k và diện tích S 1444.
0,5
0,5
0,5
2.2 (2,0 điểm)
Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C:
Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu nh thế thì
C là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể là C nên phải là A, do đó A là phái nữ Vậy B khác giới tính với hai ngời còn lại
Nếu C là cha của A thì C chỉ có thể là song sinh với B, theo giả thiết B phải là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể là C (gt) nên phải là
A, suy ra C và B là vợ chồng chứ không phải là song sinh, dẫn đến mâu
Vậy chỉ có duy nhất trờng hợp B là cha của A và B khác giới tính với hai ngời
Trang 4+ Gọi r là độ dài bán kính đờng
tròn (O1) Ta có:
ACD
2 1
2
2
1 2
R
r
+ Đờng tròn (O2) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O2 ở trên tia phân giác của
góc BOD , (O2) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở trên
đ-ờng thẳng nối 2 tâm O và O2, chính là giao điểm của tia phân giác gócBOD
với (O)
+ Đờng thẳng qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B' và D' là tiếp
tuyến chung của (O) và (O2) Do đó (O2) là đờng tròn nội tiếp OB D' '.
+ OB D' 'có phân giác góc O vừa là đờng cao, nên nó là tam giác vuông cân
và B D' ' 2 OT 2 ,R OB'OD'R 2, suy ra: OB D' 'ACD.
+ Vậy: Bán kính của (O2) cũng bằng 1 2
R
r
+ Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với nhau qua AB nên (O3) cũng bằng
(O2), nên bán kính của (O3) cũng bằng 1 2
R
r
Trang 5+ Đờng tròn (O4) có hai trờng hợp:
a) Tr ờng hợp 1 : (O4) ở bên trái (O1):
Kẻ tiếp chung của (O4) và (O1) tại tiếp điểm K cắt AC và AD tại E và F
CO và CA là còn là 2 tiếp tuyến của (O1), nên chu vi của CEF bằng 2CO,
suy ra nửa chu vi của nó là p = R
Ta có:
1
4 2 2
1 2
R
4 2 2 1
4 2 2
R
CK CO O K
0 1
2
4 2 2 1 1
22 30'
R
O O
KF
2
3
4 2 2 1
1 2
CEF
R
Suy ra bán kính của đờng tròn (O4) là:
2
4 2 2 1
1 2
R r
2,0
Trang 6b) Tr ờng hợp 2 :(O'4) ở bên phải (O1):
Khi đó: K' là tiếp điểm của 2 đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD tại E'
và F', CD tiếp xúc với (O'4) tại H
4 2 2 1
4 2 2
R
0
2
4 2 2 1 ' ' ' ' 22 30'
1 2
R
1
2 1
4 2 2 1 4 2 2 '
'
'
R
CK CO
CF
4 2 2 1 4 2 2 4 2 2 1 ' '
2
2
4 2 2 1
1 2
R
CH
Suy ra: Bán kính của đờng tròn (O'4) là:
2
4 2 2 1
22 30'
1 2
R
2,0