De thi HSG mon Toan tinh Long An vong 1 bang B co loi giai chi tiet

De thi HSG mon Toan tinh Long An vong 1 bang B co loi giai chi tiet tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1

Ngày thi: 07/10/2016

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)

Câu 1.(6,0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực:  2  3

2 x 3x2 3 x 8

b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  3  





Câu 2.(5,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam

giác ABD vuông cân tại A, tam giác ACE vuông cân tại A Gọi I là giao điểm của BE và CD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE Chứng minh rằng: AI // MN

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;2) và tâm đường tròn

ngoại tiếp I 1; 2 Gọi 5 5

;

2 2

  là trung điểm của cạnh BC Tìm tọa độ các đỉnh của ABC

biết x B x C

Câu 3.(3,0 điểm) Cho dãy số thực  u n xác định bởi    

1

1

1 3

1 3

n n

u

n

u

n



 



a) Chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy  u n

Câu 4.( 3,0 điểm) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1

2

Tìm giá trị lớn nhất của Pxyz

Câu 5.(3,0 điểm) Cho hàm số yx33x22 có đồ thị  C Hãy tìm tất cả các giá trị của số

thực a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) nằm khác phía (phía trong và

T x y  ax ay a   - HẾT -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……… Chữ ký giám thị 1:………Chữ ký giám thị 2:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1

LONG AN Môn thi: TOÁN (Bảng B)

Ngày thi: 07/10/2016

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

1

1.a) Giải phương trình sau trên tập số thực:  2  3

Phương trình trở thành:  2 2

2b 3ab 2a 0

a 2b b 2a 0 b 2a

Do đó 2

x

x

  

 

1.b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:      

 

3





2

  3   3

2 2x 1 2x 1 2 y 2 y 2

Đặt   3

f t  t   t t

  2

 1  f 2x 1 f  y2 nên 2x 1 y2 0,5 Thế vào (2) ta được y  2 1 2y    3 3 y 3 0

 

3

3 0

y y

y





0,25 0,25

y

1 0

y









0,25

1 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là    x y;  0;3

0,25

2 2.a) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), dựng về phía ngoài tam giác ABC

các tam giác ABD vuông cân tại A, tam giác ACE vuông cân tại A Gọi I là giao điểm

của BE và CD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE

Chứng minh rằng: AI // MN

2,5

K F

I

M

N

A

B

C

D

E

  

 0    

0 0

;90

;90

;90

A

A A









CD BE

CD BE





Gọi F, K lần lượt là trung điểm BD và CE

Khi đó MFNK là hình thoi

2

MF FN NKKM  CD)

0,25

(1)

Tam giác BAD vuông tại A và tam giác BID vuông tại I nên: 1

2

FAFI  BD

Do đó F thuộc trung trực cạnh AI

0,25

Tam giác CAE vuông tại A và tam giác CIE vuông tại I nên: 1

2

KAKI  CE

Do đó K thuộc trung trực cạnh AI

0,25

đường tròn ngoại tiếp I 1; 2 , gọi 5 5

;

2 2

  là trung điểm của cạnh BC Tìm tọa

độ các đỉnh của ABC biết x B x C

2,5

H(2;2)

M(5/2;5/2)

L

I(1;2)

C

A

B

Gọi L là điểm đối xứng của C qua I

Ta có LB BC LB/ /AH 1







Tương tự LA AC LA/ / BH 2









Từ (1) và (2) suy ra AHBL là hình bình hành

Nên AH LB

0,25

Do IM là đường trung bình BCL nên 1

 1;1

A

Phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ABC:   2 2

B, C là giao điểm của BC và đường tròn (C)

Ta có:   2 2

x y





0,25

3, 1



Vậy B    3;1 ,C 2; 4 ,A 1;1 0,25

3

3.a) Cho dãy số u n xác định bởi

1

1

1 3

1 3

n n

u

n

u

n



 



Chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm

1,0

1

1 3

n

n





1 2  1

n n

n





Nên u n1u n,  n * Vậy  u n là dãy số giảm 0,25

3.b) Tìm số hạng tổng quát của dãy  u n 2,0

1

3

n n

u

n

1 1

n n

u v n



 Mà

  1

1 3

n n

u

n





3

n n

u v

n



1 1 3

v v

Do đó  v n là cấp số nhân với số hạng đầu 1 1

3

v  và công bội 1

3

3

v

3

n

4

Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1

2

Tìm giá trị lớn nhất của Pxyz

3,0

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho 2 số dương ,

y z

Ta được

  

2

Do đó

    

1

yz

0,5

Tương tự

    

1

xz

   ; 11 2  1 1  3

xy

Nhân (1), (2), (3) ta được

2 2 2 3

2

0,5

1 8

xyz

Vậy max 1

8

2

5 Cho hàm số 3 2

yx  x  có đồ thị  C Hãy tìm tất cả các giá trị của số thực

a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) nằm khác phía (phía trong

3,0

  



Gọi hai điểm cực trị là: A  0; 2 , B 2; 2 

0,25

Ta có  T có tâm I a ; 2a và bán kính R1 0,25

5

IB  R nên B nằm ngoài đường tròn (C) 0,5 Mặt khác 2  2

2 2

Theo đề thì A phải nằm phía trong đường tròn (C)

5

Thí sinh làm bài theo cách khác thì giám khảo chấm điểm tương đương

- HẾT -