Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.. Tính diện tích lớn nhất đó.[r]
Trang 1kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Môn : Toán (Vòng 1)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (8 điểm)
Cho phơng trình 2x2 2mx m 2 2 0 (1).
1 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt.
2 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1
và x2 thoả mãn
hệ thức
3 3
5 2
x x
3 Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị của m để nghiệm dơng
của phơng trình đạt giá trị lớn nhất
Bài 2: (4điểm)
Giải phơng trình: x2 4x 3 4x x 2 (2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có ABC60 ;0 BC a AB c ; (a c, là hai độ dài cho trớc), Hình chữ
nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC
1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó
2 Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa Tính diện tích của hình vuông đó
Hết
kỳ thi hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9
Môn : toán (Vòng 1)
Đáp án và thang điểm:
Trang 2Bài 1 ý Nội dung Điểm
1.1 (2,0 điểm)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ là:
2 2
2 0 2 0
m m P
S m
0.5
2
0
m
m
1.2 (3,0 điểm)
3 3
3
x x x x x x x x
2
m
2
0,5
3
2
2
0,5
Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán:
1;
2
m m
0,5
1.3 (3,0 điểm)
Phơng trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi:
2 2
2
2 0
m m
S m
Trang 3Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:
x x x x m
Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm dơng của phơng
trình là
2 2
4
0 2
Suy ra:
2 2
0,50 Theo bất đẳng thức Cô-si:
0,50 Suy ra:
2
x x
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
m m m
2. (4,0 điểm)
2
2
x x
(2)
2 2
2 2
3 0 3
t x x
t
t t
t t
(3)
0,5
1,0 Giải phương trỡnh theo t, ta cú:
1
0 2
t
(loại); 2
0 2
t
13 9
2
t t
Giải phơng trình
1
2
2
2
2
2
x
x
Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
1,2
2
2
x
1,0
0,5
Trang 43 8,0
3.1
Ta có:
MN
BC AB c
sin 60
2
c x
Suy ra diện tích của MNPQ là:
ax c x a
2,0
+ Ta có bất đẳng thức:
2
áp dụng, ta có:
x c x c
x c x
c
x c x x
Suy ra:
2
S c
3 8
ac
c
x
Trang 5+ Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'
Dựng hình chữ nhật:
E'F'G'H' ( 'E AB G H; ', 'BC).
Ta có: E'F'//EF và F'G'//FG, nên:
E F BE BF F G
EF BE BF FG
' ' ' '
E F F G
+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình
vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC tại F Dựng hình
chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF =
+ Ta có:
0
cot 60
BH
g
g F BC
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F duy
nhất
Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở trên cạnh
BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất
1,0
EF
BC AB c ; sin ( ) 3
2
c x
HE c x B
EFGH là hình vuông, nên
2
2 2 2
2
3
a c
S EF
a c
1,0