Tình huống xấu nhất: Lấy trúng tất cả số bi trắng và bi vàng và lấy được 4 viên bi màu đỏ và 4 viên màu xanh thì vẫn chưa có được 5 viên bi cùng màu.. Vậy nếu lấy thêm 1 viên nữa thì hoặ[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HƯƠNG SƠN
TRƯỜNG TH&THCS SƠN HỒNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x(y2 – z2) + y (z2 – x2) + z(x2 – y2)
b/ x2(x2 + 4) – x2 + 4
Câu 2: a/ Cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca = 0 Tính giá trị của biểu thức:
A = (a – 2017)2018 + (b – 2017)2018 – (c – 2017)2018
b/ Cho a > b > 0 thỏa mãn: a2 + 2b2 = 3ab Tính giá trị của biểu thức: B = 2 2
10ab
a b
Câu 3: Tìm bộ 3 số nguyên x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
3 1
x y z
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, Lấy điểm M bất kì trên cạnh AC,Từ C vẽ
đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại D và cắt tia BA tại E
a/ Chứng minh rằng: EA.EB = EC.ED và EAD ECB
b/ Kẻ DH vuông góc với BC tại H Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BH và DH Chứng minh rằng: CQ PD
Câu 5: Có 20 viên bi gồm 10 bi đỏ, 5 bi xanh, còn lại là bi vàng và trắng để trong
hộp Không nhìn vào hộp, lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi thì chắc chắn trong số bi lấy ra có:
a/ 5 bi cùng màu
b/ 5 bi đỏ
Câu 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 4x – 2y + 18
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM:
1 a x(y2 – z2) + y (z2 – x2) + z(x2 – y2)
= x(y2 – z2) + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= x(y– z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)(xy + xz – yz – x2) = (x – y)(y – z)(z – x)
0,5 1 0,5
b x2(x2 + 4) – x2 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – x2
= (x2 + 2)2 – x2 = (x2 – x + 2)(x2 + x + 2)
1 1
2 a Ta có: (a + b + c)2 = 0 <=> a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
<=> a2 + b2 + c2 = 0 (vì: ab + bc + ca = 0)
=> a = b = c = 0 thay vào BT A ta được: A = 20172018
0,5 0,5 0,5 0,5
b Ta có: a2 + 2b2 = 3ab<=> (a – b)(a – 2b) = 0
Mặt khác, vì a > b > 0 nên: a = 2b Thay vào BT B ta được:
B =
2 2
20
4 5
b
1 0,5 0,5
3
2 2 2
3 (1)
1 (2)
x y z
Từ (1) ta được: x = y + z – 3 Thế vào (2)
ta được: (y + z – 3)2 – y2 – z2 = 1 <=> yz – 3y – 3z + 4 = 0
<=> (y – 3)(z – 3) = 5 Từ đó ta tìm được các bộ 3 số nguyên (x; y; z) thỏa mãn là: (9; 8; 4); (9; 4; 8); (-3; -2; 2); (-3; 2; -2)
0,5 0,5
1
Trang 34 Hìn
h vẽ
0,5
a/ Chứng minh được: EAC EDB EA EB EC ED
và suy ra được:
EA ED
EDA EBC
EC EB (c – g – c)
=>EAD ECB
2 1 0,5
b/
Chứng minh được:
2 2
suy ra: BPD DQC (c – g – c)
=>BDP DCQ mà:
1
1
5 a Tình huống xấu nhất: Lấy trúng tất cả số bi trắng và bi vàng
và lấy được 4 viên bi màu đỏ và 4 viên màu xanh thì vẫn chưa có được 5 viên bi cùng màu Vậy nếu lấy thêm 1 viên nữa thì hoặc là được viên màu đỏ hoặc được viên màu xanh thì ta đều có 5 viên bi cùng màu Vậy để chắc chắn lấy được
5 viên bi cùng màu thì cần lấy ít nhất 14 viên bi
1
b/ Tính huống xấu nhất ta chỉ lấy được 4 viên bi màu đỏ và lấy
được toàn bộ số bi màu xanh,màu trắng,màu vàng Như vậy
ta đã lấy tổng cộng 14 viên bi Nếu lấy thêm 1 viên nữa thì chắc chắn được viên bi màu đỏ Vậy để chắc chắn lấy được 5 viên bi màu đỏ ta cần lấy ít nhất 15 viên bi
1
6 Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 4x – 2y + 18
= (x + y + 2)2 + (y – 3)2 + 5 ≥ 5 Dấu “=” xảy ra 1
Trang 4khi và chỉ khi:
5 3
x y
Vậy MinA = 5 Đạt tại
5 3
x y
1