Đề thi HSG môn Toán lớp 9 và lời giải chi tiết Quận Ba Đình - Tp Hà Nội năm 2020 - 2021

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1... Thử lại thấy thỏa mãn.[r]

UBND QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN

Năm học: 2020 – 2021

Ngày thi: 5/11/2020, thời gian làm bài 150 phút

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Cho 1 1

2 3

 Tính giá trị của

3

a  a

b) Cho

2020 9 2020 9

99 99 99 99

chu so chu so

A     Hỏi A có bao nhiêu chữ số?

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2

2x   x 1 2x 1 x 2x 1

b) Tìm cặp số nguyên x y thỏa mãn: ,   2  3

x x  x y 

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Cho a b c, , là ba số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3

b) Cho biểu thức A 1323  33 201932020 3 Tìm số dư của A khi chia cho 3

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có tâm O, trên cạnh AB BC, lấy các điểm M N, tương ứng sao cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân

b) AN cắt DC tại E, ON cắt BE tại F Tìm vị trí M N, để các tứ giác ABEC MBFN, là hình bình hành c) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OBMN

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b 2

3 3

2 2

6

3



-Hết -

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1 (4,0 điểm)

a) Cho 1 1

2 3

 Tính giá trị của

3

a  a

b) Cho

2020 9 2020 9

99 99 99 99

chu so chu so

A     Hỏi A có bao nhiêu chữ số?

Lời giải

2 3

a



2

1

a

a  a a a  a  a  a  

b) Ta có:

2

2

2020 9 2020 9 2020 0 2020 0 2020 0 2019 9 2020 0

99 99 99 99 10 00 1 10 00 2 10 00 1 99 98 10 00 1

chu so chu so chu so chu so chu so chu so chu so



      

Vậy A có 4040 chữ số

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2  x 1 2x 1 x 2x 1

b) Tìm cặp số nguyên x y thỏa mãn: ,   2  3

x x  x y 

Lời giải

a) Điều kiện xác định: 1

2

x  Phương trình tương đương:

 

     

 

2

2

2

1

2 1 1

1

2 1

x x

x

x

 







Với 1,

2

x  ta có: 1 1 0

2 1

x



Thỏa điều kiện xác định nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

b) Phương trình đã cho tương đương:

 

     

3 3

Do 19 là số nguyên tố nên x   y 2  1; 1; 19;19 

Với x       y 2 1 x 2 y 1, thay vào phương trình ta được:

 3 3 2

y y   y  y  phương trình không có nghiệm nguyên Với x      y 2 1 x 2 y 1, thay vào phương trình ta được:

   



    

 Với x  y 2 19   x 2 y 19, thay vào phương trình ta được:

 3 3 2

y y   y  y  phương trình không có nghiệm nguyên Với x   y 2 19   x 2 y 19, thay vào phương trình ta được:

 3 3 2

y y   y  y  phương trình không có nghiệm nguyên Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x y ;    5; 2 , 0;3 

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Cho a b c, , là ba số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3

b) Cho biểu thức A 1323  33 201932020 3 Tìm số dư của A khi chia cho 3

Lời giải

a) Ta có: 3 3 3    2 2 2 

a  b c  a b c a b  c ab bc ca  abc

Do a b c, , là ba số tự nhiên liên tiếp nên không mất tính tổng quát giả sử b a 1,c a 2

Khi đó ta có: a       b c a a 1 a 2 3a chia hết cho 1 3 Mà 3abc cũng chia hết cho 3

Từ đây suy ra 3 3 3

a  b c chia hết cho 3

b) Ta có:  3 3 3  3 3 3  3 3 3 3

Theo câu a), ta có 3  

2020 1 mod 3

Do đó A chia 3 dư 1

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có tâm O, trên cạnh AB BC, lấy các điểm M N, tương ứng sao cho BM CN a) Chứng minh MON vuông cân

b) AN cắt DC tại E, ON cắt BE tại F Tìm vị trí M N, để các tứ giác ABEC MBFN, là hình bình hành c) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OBMN

Lời giải

a) Ta có: BM CN OB, OC OBM,  OCN nên OMB ONCOM ON

Do đó MON cân tại O

90

Từ đây suy ra MON vuông cân tại O

b) Do CE AB nên tứ giác ABEC là hình bình hành khi và chỉ khi ABEC

Khi đó ABN ECNNBNC

Do đó N là trung điểm của BC dẫn đến M là trung điểm của AB

Tương tự ta cũng chứng minh được MBFN là hình bình hành khi và chỉ khi N là trung điểm của BC và M là

trung điểm của AB

c) Do MON cân tại O nên OMON 2OM MN 2

Khi đó chu vi tứ giác OBMN là CBMBNOMONBMBN 2MN

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD và đặt BM  với 0x   x a

F

E

N B

O

C M

Khi đó ta có: 2  2  2 2

CBMBNMN    x a x x  a x   a x  axa

Vì

x  axa  x   



2

2

a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

a

x  hay M là trung điểm của AB Kéo theo N là trung điểm của BC

Vậy chu vi tứ giác OBMN nhỏ nhất là 2a khi M N, lần lượt là trung điểm của AB BC,

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b 2

3 3

2 2

6

3



Lời giải

Do 3 3    2 2  2 2

a b  ab a abb  a b  ab nên:

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

Suy ra: A    2 3 2 8 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 đạt được khi a  b 1