DE THI HSG TOAN 9 CO DAP AN

Cho tam giác ABC nhọn AB... Thử lại x=0 là nghiệm pt.. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0... Chứng minh tương tự: CH//BD 2 Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD.

PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013

Câu 1. a) Tính: 5 2 2  9 4 2

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

4

a b c    abc  Tính giá trị của biểu thức:

(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )

A a b  c b c  a c a  b abc

Câu 2 Giải các phương trình sau:

a) x x 1 x 4 x 9 0

b) 2(x2 + 2) = 5 x31

Câu 3 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x y z; ;  thỏa mãn 2013

2013

x y

y z





là số hữu tỉ, đồng thời x2y2z2 là số nguyên tố.

Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai

đường cao BE, CF cắt nhau tại H Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.

a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G Chứng minh G

là trọng tâm của tam giác ABC.

Câu 5 a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương

Chứng minh :

 

 

b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1.

Chứng minh :

2

Câu 6 Cho bảng vuông 13x13 Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng

sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu?

-Hết -(Đề này gồm có 01 trang)

Họ và tên thí sinh: ……… ……Số báo danh: ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT VT HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG 9

NĂM HỌC 2013 - 2014

2

(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )

A a b  c b c  a c a  b abc

�

2

 a a  bc  a a bc  a abc

Tương tự b(4c)(4a) 2 b abc, c(4a)(4b) 2 c abc

� A a b c abc abc a b c abc

a) ĐK: x �0 Pt � x 9 x 4 x 1 x (1)

�

� x 9 x 4 5( x 1 x) (2)

Từ (1),(2) suy ra:

x 9 3 x 1 2 x �3 x 1 9x9� x9,dấu “=” xảy ra

khi x=0 Thử lại x=0 là nghiệm pt

Vậy pt đã cho có nghiệm x=0

b) ĐK: x �-1.

Đặt a = x , b = 1 x2  với a�0, b>0.x 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành:

2(a2 + b2) = 5ab � (2a-b)(a-2b)=0

� 2a=b hoặc a=2b

� 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm

2

x �

Câu 3

2013

n

y z

  2013

nx my mz ny  

0

xz y

�

Vì x y z   và 1 x2y2 là số nguyên tố nên z2

1

x y z

�   

�

Từ đó suy ra x   (thỏa mãn).y z 1

M G

D

O F

E

H

C B

A

Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC

Chứng minh tương tự: CH//BD (2)

Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD

�

Suy ra G là trong tâm của ABC

Câu 5 a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2 (a b c ).(x y z) ( a x b y c z)

2 (a  b c) �(a+b+c)2

� đpcm

b) (1 điểm) Vế trái

2 2 2

M

�

1x a,1y b,1z c với a, b,c >0

Khi đó

M =

c b a c b a  ac ab ab bc bc ac

Sau đó áp dụng bđt ở phần a) và bđt

2 (a b c �) 3(ab bc ca) M 2

Từ đó có đpcm

Câu 6

Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i

Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C2

xi = ( 1)

2

i i

x x 

x x

x x  x x     Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau

Vậy C2

x x

x x   x x    

156

� �

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2

13

s



Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = …= x13 = 4 (mỗi dòng có 4 ô được tô đỏ) (Học sinh lập luận chỉ ra S �52 được 0,25đ)

Vẽ hình minh họa: (0,25đ)

x x x x

Vậy giá trị lớn nhất của S=52

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa./.