ly thuyet va bai tap chuyen de gioi han

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.. Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định.. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Giới hạn hữu hạn của dãy số L Định nghĩa 1: Dãy số

Trang 1

MỤC LỤC

1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2

Dạng 1 Khử vô định dạng ∞ ∞ 2

Dạng 2 Khử vô định dạng ∞ − ∞ 3

Dạng 3 Một số quy tắc tính giới hạn vô cực 4

Dạng 4 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 4

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 7

2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 10

Dạng 1 Giới hạn của hàm số khi x → x0 Khử dạng vô định 0 0 12

Dạng 2 Giới hạn của hàm số khi x → ±∞ Khử dạng vô định ∞ ∞; ∞ − ∞; 0 · ∞ 13 Dạng 3 Giới hạn một bên Sự tồn tại giới hạn 14

3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 21

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 22

Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định 23

Dạng 3 Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục - gián đoạn 23

Dạng 4 Chứng minh phương trình có nghiệm 23

4 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 29

Trang 3

§ 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Giới hạn hữu hạn của dãy số

L Định nghĩa 1: Dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một

số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Ta viết lim

• Nếu 0 ≤ |un| ≤ vn, ∀n ∈ N∗và lim vn= 0 thì lim un= 0

• Nếu wn≤ un≤ vn, ∀n ∈ N∗và lim wn= lim vn= a thì lim un= a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

L Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi

vô hạn

L Công thức tính: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un), ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là

S= u1+ u2+ u3+ + un+ = u1

1 − q, (|q| < 1)

Trang 4

4 Giới hạn vô cực

L Định nghĩa:

¬ Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ khi n → +∞, nếu uncó thể lớn hơn một số dương bất

kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi Kí hiệu: lim un= +∞

Ta nói dãy số (un) có giới hạn −∞ khi n → +∞, nếu lim(−un) = +∞ Kí hiệu: lim un=

−∞

L Một số giới hạn đặc biệt:

lim nk= +∞, với k ∈ N∗

L Một số quy tắc tính giới hạn vô cực:

¬ Quy tắc tìm giới hạn của tích un· vn

lim un= L lim vn= ∞ lim [un· vn]

• Đặt nhân tử nk có tính "quyết định ∞" ở tử và mẫu

• Khử bỏ nk, đưa giới hạn về dạng xác định được

• Áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn để tính kết quả

L Trong trường hợp hàm mũ, ta đặt đại lượng "quyết định ∞" có dạng an

Trang 5

√3n2+ 1 −√

2n + 1

√4n4+ 1

3

√8n3+ n2− 1 + n − 42n − 3

12.3

1n(n + 1)

ãd)

# Ví dụ 5. Cho dãy số (un) xác định bởi u1= 10 và un+1= 1

Trang 6

• Biến đổi biểu thức cần tính giới hạn về Dạng 1 (phân thức, đặt nk)

L Đôi khi, ta còn sử dụng liên hợp bậc ba để giải các bài toán chứa ẩn trong dấu căn bậc ba:

lim nÄ√n2+ 2 − nä

n2+ 2n −√

n2+ 4.f)

{ DẠNG 3 Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

2n − 1c)

{ DẠNG 4 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Trang 7

# Ví dụ 13. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số.

A= 0, 353535

# Ví dụ 14. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm

ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của

tam giác ABC Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1, A2B2C2,

A3B3C3, sao cho A1B1C1 là một tam giác giác đều cạnh

bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2, tam giác AnBnCn

là tam giác trung bình của tam giác An−1Bn−1Cn−1 Với mỗi

số nguyên dương n, kí hiệu Sntương ứng là diện tích hình tròn

ngoại tiếp tam giác AnBnCn Tính tổng S = S1+ S2+ · · · + Sn+

· · ·

C

C1

B2A

CD

c Bài 2 Tính các giới hạn sau

Trang 8

limsin 10n + cos 10n

n2+ 1 .

n+ 1 .b)

c Bài 5 Tính giới hạn lim(√3

13.5+ +

1(2n − 1)(2n + 1)

ò.a)

B= lim

ï1

n+ n√

n+ 1

ò.b)

c Bài 8 Tính lim

1 +1

3+

Å 13

n+ n√

n+ 1.

c Bài 11 Tính giới hạn lim

Å1

c Bài 12 Cho dãy số (un) xác định bởi





u1=23

2 (2n + 1) un+ 1, ∀n ≥ 1

Tìm số hạng tổng quát

uncủa dãy Tính lim un

c Bài 13 Cho dãy số (un) xác định như sau:





u1= 13

un+1=u

2 n

Trang 9

2− 2n5n + 5n2 D 1 + 2n

Câu 10 Giá trị của giới hạn lim

Trang 10

Câu 14 Giá trị của giới hạn limÅ 1

Câu 22 Cho dãy số (un) với un=an+ 4

5n + 3 trong đó a là tham số thực Để dãy số (un) có giới hạn bằng

2, giá trị của a là

Câu 23 Cho dãy số (un) với un= 2n + b

5n + 3 trong đó b là tham số thực Để dãy số (un) có giới hạn hữuhạn, giá trị của b là

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim 5n

2− 3an4(1 − a) n4+ 2n + 1 > 0.

A a 6 0; a > 1 B 0 < a < 1 C a < 0; a > 1 D 0 6 a < 1

Câu 25 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (−10; 10) để L = lim 5n − 3 a2− 2 n3 =

−∞?

Câu 26 Cho dãy số (un) với un=√

2 +Ä√2ä2+ · · · +Ä√2än Mệnh đề nào sau đây đúng?

√2

1 −√

2.

Trang 11

Câu 27 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi





un= 12

A lim un= 1 B lim un= 0 C lim un= 2 D lim un= +∞

Câu 29 Biết rằng lim

3

√

an3+ 5n2− 7

√3n2− n + 2 = b

b + c với a, b, c ∈ Z Tính giá trịcủa biểu thức S = a2+ b2+ c2

Trang 12

§ 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

L Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0và hàm số y = f (x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0nếu với dãy số (xn) bất kì, xn∈ K \ {x0}

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (x0; b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số

y= f (x) khi x → x0nếu với dãy số (xn) bất kì, x0< xn< b và xn→ x0, ta có f (xn) → L

Kí hiệu:

lim

x→x+0

f(x) = L

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; x0) Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số

y= f (x) khi x → x0nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn< x0và xn→ x0, ta có f (xn) → L

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞) Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi

x→ +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn> a và xn→ +∞, ta có f (xn) → L Kí hiệu:

lim

x→+∞ f(x) = L

Trang 13

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên (−∞; a) Ta nói hàm số y = f (x)có giới hạn là số L khi

x→ −∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn< a và xn→ −∞, ta có f (xn) → L Kí hiệu:

• Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞

3 Giới hạn vô cực của hàm số

L Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞) Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là

−∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f (xn) → −∞ Kí hiệu:lim

L Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x) · g(x)

Trang 14

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

{ DẠNG 1 Giới hạn của hàm số khi x → x0 Khử dạng vô định 0

L Phương pháp giải: Thay x0vào f(x)

g(x) để kiểm tra, sẽ có một trong các trường hợp:

¬ Tử số f (x0) = a và mẫu số g(x0) = b 6= 0, ta suy ra luôn kết quả

lim

x→x 0

f(x)g(x) =

f(x0)g(x0) =

a

b

Cả tử số và mẫu số đều bằng 0 hay f (x0) = g(x0) = 0, ta xem đây là dạng vô định 0

0.Khử dạng vô định này bằng cách phân tích nhân tử (x − x0)

Giả sử f (x) = (x − x0) · f1(x) và g(x) = (x − x0) · g1(x) Khi đó:

lim

x→x0

f(x)g(x) = limx→x0

(x − x0) f1(x)(x − x0)g1(x) = limx→x0

L Một số cách phân tích nhân tử thường dùng:

• Nếu f (x) = ax2+ bx + c có hai nghiệm x1, x2thì f (x) = a(x − x1)(x − x2)

• Nếu f (x) là một đa thức bậc ba, bậc bốn, ta có thể dùng phương pháp chia đa thức

• Nếu f (x) là biểu thức chứa căn, ta dùng cách nhân lượng liên hợp

2x2− 5x + 2

1 − 2x .b)

Trang 15

x2+ 3x .b)

# Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau

lim

x→−1

x2− 12x +√

3

√

x+ 5 +√3

x+ 3.d)

{ DẠNG 2 Giới hạn của hàm số khi x → ±∞ Khử dạng vô định ∞

f)

Trang 16

√2x2− 7x + 1

3 |x| − 7b)

# Ví dụ 12. Tính giới hạn của các hàm số sau:

x2+ xäf)

1 − x2− 1

1 − x

ãd)

{ DẠNG 3 Giới hạn một bên Sự tồn tại giới hạn

f(x) hoàn toàn tương tự như bài toán tính lim

Trang 17

# Ví dụ 14. Tính giới hạn của các hàm số sau:

c Bài 2 Tính các giới hạn sau:

x3− 4x + 3 .d)

x2+ 8 − 5

x2− 3x + 2 .f)

Trang 18

x→−∞

√

x6+ 23x3− 1

x→+∞

x√x

x2− x + 2f)

lim

x→−∞

√

x2+ x + 2x2x + 3

6x2+ 5

4

√16x4+ 3 −√5

8x4+ 7d)

1 − x2017− 2018

1 − x2018

ã.d)

Trang 19

x→+∞(−6x4+ 2x3− x + 5);

x→+∞ 4x2− 3 + 2x ;b)

Tìm mối quan hệ giữa a và b

Trang 20

Câu 4 Kết quả của giới hạn lim

x→−∞ 2x3− x2 là

Trang 21

x− 2−

1

x2− 4

ãlà

Câu 20 Kết quả của giới hạn lim

x→0

ïx

Å

1 −1x

ãòlà

Trang 22

Câu 29 Cho hàm số f (x) và g(x) là các tam thức bậc hai thỏa mãn

lim

x→2

[ f (x)]2− 2 f (x) − 3(x − 2)2 = lim

x→2

[g(x)]2− 2g(x) − 3(x − 2)2 = −4

Trang 23

§ 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 Hàm số liên tục tại một điểm

L Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x0∈ K Hàm số y = f (x) được gọi

là liên tục tại x0nếu

Hàm số gián đoạn tại x 0

2 Hàm số liên tục trên một khoảng

L Định nghĩa: Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm

• Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như [a; b), [a; +∞), được định nghĩa một

cách tương tự như liên tục trên đoạn

4!

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng

đó Hình bên là đồ thị của một hàm số liên tục tên (a ; b).

x

y O

a

b

3 Một số định lí cơ bản

Định lí 1

1 Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

2 Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Trang 24

Định lí 2 Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó

1 Các hàm số y = f (x) + g(x), y = f (x) − g(x) và y = f (x).g(x) liên tục tại x0.

2 Hàm số y = f(x)

g(x) liên tục tại x0nếu g(x0) 6= 0.

Định lí 3 Sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng

1 Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f (a) f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm

c∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.

2 Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f (a) f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0

có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a ; b).

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

{ DẠNG 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Phương pháp giải. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D Để xét tính liên tục của hàm số

y= f (x) tại điểm x0∈ D, ta thực hiện các bước sau:

tại điểm x0= 5

Trang 25

{ DẠNG 2 Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định

Phương pháp giải.

1 Hàm đa thức liên tục trên R

2 Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

# Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng

.b)

# Ví dụ 7. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng

f(x) =

®

x2+ 3x khi x ≥ 26x + 1 khi x < 2

x2− 1 khi x > 12m + 3 khi x ≤ 1

gián đoạn tại x0= 1

• Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm

số y = f (x) liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f (a) f (b) < 0

• Để chứng minh phương trình f (x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f (x)liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) (i = 1, 2, , k) nằm trong D sao cho

f(ai) f (ai+1) < 0

Trang 26

# Ví dụ 12. Chứng minh rằng phương trình 2x4− 2x3− 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộckhoảng (−1; 0)

# Ví dụ 13. Chứng minh rằng phương trình 6x3+ 3x2− 31x + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phânbiệt

# Ví dụ 14. Chứng minh rằng phương trình m2+ m + 4 x2017− 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất mộtnghiệm âm với mọi giá trị của tham số m

# Ví dụ 15. Chứng minh rằng phương trình a cos 2x + b sin x + cos x = 0 luôn có nghiệm với mọitham số a, b

# Ví dụ 16. Chứng minh phương trình (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) = 0 có ítnhất một nghiệm với mọi số thực a, b, c

Trang 27

c Bài 8 Tìm m để hàm số f (x) =





x3− 82x2− x − 6 khi x > 2

liên tục tại điểm x0= 2

Trang 28

c Bài 20 Chứng minh rằng phương trình x3+ 4x2− 2 = 0 có ba nghiệm trong khoảng (−4; 1).

c Bài 21 Chứng minh rằng phương trình x5− 5x3+ 4x − 1 = 0 có đúng năm nghiệm

c Bài 22 Chứng minh rằng phương trình x + 1 + cos x = 0 có nghiệm

c Bài 23 Chứng minh rằng phương trình 1 − m2 x5− 3x − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọigiá trị của m

c Bài 24 Chứng minh rằng phương trình x

c Bài 29 Cho ba số a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 Chứng minh rằng phương trình

ax2+ bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

c Bài 30 Cho hàm số f (x) = x3− 3x2− 1 Chứng minh phương trình có nghiệm x0∈ (3; 4) Khôngtính fÄ√5

Trang 29

4

™

Câu 10 Cho hàm số f (x) =ß sin πx khi |x| ≤ 1

x+ 1 khi |x| > 1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞)

B Hàm số liên tục trên R

C Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞)

D Hàm số gián đoạn tại x = ±1

Câu 11 Cho hàm số f (x) =

®

x2+ m khi x ≥ 23x − 1 khi x < 2 (m là tham số) Tìm giá trị thực của tham số m đểhàm số đã cho liên tục tại x0= 2

Trang 30

Câu 14 Cho hàm số f (x) = 1

5x

5+4

3x

3− 5x + 3 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số đã cho gián đoạn tại x0= 1

5.

B Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (0; +∞)

C Phương trình f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1)

Chọn khẳng định đúng

A Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1

B Hàm số f (x) gián đoạn tại điểm x = 1 vì không tồn tại lim

A Phương trình (1) vô nghiệm

B Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (−1; 1)

C Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (0; 1)

D Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (0; 1)

Câu 18 Tìm giá trị của tham số m để hàm số f (x) =

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	516,81 KB