de cuong on tap Toan 11

* Không gian mâu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu... Bài tập:.[r]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN KHỐI 11 CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

A ĐẠI SỐ:

1 Hàm số lượng giác:

T/ C

Hàm số

(đồng biến,nghịch

biến)

ĐB [0 ;2

 ] NB[ 2



; ]

y= tanx

R\{2 k k Z, }





ĐB [0; 2

 )

 Các dạng toán:

Tìm tập xác định:Dựa vào sự tồn tại các biểu thức và tập xác định của các hàm lượng

giác

Bài tập:tìm tập xác định các hàm số sau:

a y =

1 osx sinx

c

 b y =

1 osx 1-cosx

c



c y = Tan( 2x - 6

 )

d y = Cot x(3 12)



 e y = 2

sinx-cosx

2 sin x g y =

2 osx 1+sinx

c



Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất:Sử dụng tập giá trị của các hàm số kết hợp với các

phép toán về bất đẳng thức

Giải:

Bài tập:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

a y = 3+ 2 cosx b y = 2 cosx + 1 c y = 2sin(2 5)

x 



d y = 3cos2x e y = 1 sinx

2 Phương trình lượng giác cơ bản:

Sinx = a PT VN

a giá trị cung đặc biệt và có sin = a thì:

2 2

 





  

Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:

arcsina + k2

x = - arcsina + k2







Cosx = a PT VN

a giá trị cung đặc biệt và có Cos = a thì:

2 2

 





 

Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:

arccosa + k2

x = - arccosa + k2









Tanx = a

a giá trị cung đặc biệt và có Tan =a thì:

x = + k ,(k  Z) Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:

x = arctana + k ,(k  Z)

Cotx = a

a giá trị cung đặc biệt và có Cot =a thì:

x = + k ,(k  Z) Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:

x = arccota + k ,(k  Z)

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a Sin3x =

3

1

1

3

e Sinx =

2 3

2



f Tan3x = 2008 g Cos 3x =

2 2

5 h Cot2x = 24

3 Pt bậc nhất và bậc 2 đối với 1 hs lượng giác:

Bậc I

aSinx + b = 0 aCosx + b = 0 (a0) atanx + b = 0

aCotx + b = 0

Chuyển vế b rồi chia 2 vế pt cho a Giải pt lg cơ bản

Bậc II

at2 + bt + c = 0 (a0) t là một trong các hàm số lượng giác

Đặt ẩn phụ, ĐK

(Đv sin và cos t 1) giải pt bậc 2 theo ẩn phụ Rồi

giải ptlg cơ bản

Bài tập:

a 2Sin2 2

x

+ 2sin2

x

- 2 = 0 b 3Tan2x + 3 = 0 c 3 Cosx – 2Sin2x = 0

d 4SinxCosx.Cos2x =

1

2 e 5Cotx – 6 = 0 f 3Tan2x + Tanx – 4 = 0

g 3Cot2x - 2 3Cotx + 3 = 0 h 3 anx - 6Cotx + 2 3 0T  i 6Cos2 x – 5Sinx – 2 = 0

* Phương trình dạng aSin 2 x + bSinxCosx + cCos x = d 2

Cách giải: chia hai vế pt cho Cos2x (nếu a  d pt không có nghiệm Cosx = 0, a = d, pt có

nghiệm Cosx = 0)

Cần nắm vững công thức:

sinx

t anx cosx 

cos

cot sin

x

x

2 2

1

1 tan

c x  

2 2

1

1 cot sin x   x

Bài tâp:

a 2Sin2x – 5SinxCosx – Cos2x = -2 b 3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3

c Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = 2 d Sin2x – 6SinxCosx + Cos2x = -2

Phương trình dạng aSinx + bCosx = c

Cách giải: Xác định hệ số a, b, c Tính a2b2 Chia 2 vế pt cho a2b2

Nếu 2 2 & 2 2

a b a b là giá trị lượng giáccủa các cung đặc biệt thì thay tương ứng cos

và sin vào Còn không là giá trị đặc biệt thì đặt os = 2 2 & 2 2

 Sin(x+ ) = 2 2

c

a b Giải pt lg cơ bản trên tìm nghiệm.

Các công thức cần nhớ:

Sin2x + Cos2x = 1 Sin2x = 2SinxCosx

Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x – 1 = 1 – 2Sin2x

sin

tan

cos

a

a

a



Cotx =

osx Sinx

C

Tanx.Cotx = 1 Sin(a + b) = SinaCosb + SinbCosa Sin(a - b) = SinaCosb - SinbCosa

Cos(a + b) = CosaCosb – SinaSinb Cos(a - b) = CosaCosb + SinaSinb

Tan(a + b) = 1

Tana Tanb TanaTanb



 Tan(a - b) = 1

Tana Tanb TanaTanb





CosaCosb =

1

2[Cos(a + b) + Cos(a – b)] SinaSinsb =

-1

2[Cos(a + b) - Cos(a – b)]

SinaCosb =

1

2[Sin(a + b) + Sin(a – b)]

Xem lại công thức tổng thành tích

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a 3Sinx + Cosx = 1 b 4Sinx + 3Cosx = 2

c 2 Sinx + 2Cosx = 2 d Sinx + Cosx = 3

CHƯƠNG II:

1 Quy tắc đếm

* Quy tắc cộng:

Thực hiện 1 công việc được thực hiện bởi k phương án.

Phương án 1 có n 1 thực hiện.

“ 2 “ n 2 “ .

……….

Phương án k có n k cách thực hiện

Thì ta có n 1 + n 2 + … + n k cách thực hiện.

Phát biểu dưới dạng khái niệm tập hợp:Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:

n(AB) = n(A) + n(B)

 Quy tắc nhân:

Một công việc được thực hiện bởi hai hay nhiều hành động mà trong đó :

Có m cách thực hiện hành động thứ nhất

Có n cách thực hiện hành động thứ hai

……….

Có i cách thực hiện hành động thứ k

Thì ta có : m.n……i cách thực hiện.

Bài tập:

a Từ các số 1, 2, 3 có thể lập đuọc bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100

b Từ nhà An đến nhà Bình có 5 con đường để đi, từ nhà Bình đến nhà Toàn có 3 con đường để đi Hỏi có bao cách đi tù nhà An đến nhà Toàn?

c Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 3 chữ số 1,3, 5, 6, 8

- Các số tự nhiên có chữ số giống nhau

- Các số tự nhien có chữ số khác nhau

2 Hoán vị - chỉnh hợp – Tổ hợp:

Định nghĩa Công thức CT Khác Hoán vị

Cho tập A gồm N ptử Mỗi kq

Chỉnh hợp

n(A)= n Mỗi cách chọn k ptử có thứ tự của A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của

k

n =

! ( )!

n

n k

Pn = Ak

n

0! = 1

Tổ hợp

n(A)= n Mỗi tập con gồm k ptử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n ptử Ckn =

!

!( )!

n

k n k

Ck

n =Cnn –k

1

k k k

n n n

C  C C

   

Bài tập:

1 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người vào 10 cái ghế xếp thành 1 hàng dọc

2 Trong lớp học có 25 HS hỏi có bao nhiêu cách chon ra 5 bạn để đi dự hội trại của Đoàn Trường

3 Lớp học co 42 Hs chon ra 3 ban, 1 bạn làm lớp trưởng, 1 bạn lớp phó và 1 bạn bí thư đoàn Hỏi có bao nhiêu cách chọn

4.Trên giá sách có 10 quyển sách toán,8 quyển sách văn và 3 quyển sách lý.Lấy 3

quyển.Tính số cách lấy để :

a Mỗi loại có 1 quyển

b Cả 3 quyển cùng loại

c Chỉ có đúng 1 quyển sách văn

d Có ít nhất 1 quyển toán

3 Nhị thức Niu – Tơn:

Dạng khai triển:

( )n n n k n k k n n

Với a=b=1, 2n = C n0C n1 C n n Với a= 1, b = -1 ta có 0 =

0 1 ( 1)k k ( 1)n n

C  C    C    C

Chú ý: Số các hạng tử trong (1) là n+1

Số mũ của a giảm dần , số mũ của b tăng dan dần từ trái sang phải nhung tong các

số mũ bắng n

Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều 2 hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

Bài tập:

1 Khai triển các biểu thức sau:

2 Tìm hệ số không chứa x trong khai triển:

(2x + 2

2

1

x )8+

Tam giác Pascan (xem lại sgk)

4 Phép thử và biến cố:

* Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử ta ko đoán trước được kết quả , mặc dù đã biết tập hợp

các kết quả có thể xảy ra

* Không gian mâu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian

mẫu K/h: 

* Biến cố: biến cố là tập con của kgmẫu.

Tập  được gọi là biến cố không, Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

Phép toán trên các biến cố: \A được gọi là biến cố đối của biến cố A K/h : A

- AB được gọi là hợp của 2 biến cố

- AB được gọi là giao của 2 biến cố

- AB = , A và B được gọi là là 2 biến cố xung khắc

Bài tập:

Gieo đông tiền liên tiếp 3 lần Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định các biến cố sau;

- Mặt sấp xuât hiện ít nhất 1 lần

- Lần đầu xuất hiện mặt ngữa

Gieo con súc sắc 2 lần Hãy mô tả không gian mẫu Xác định các biến cố :- Tổng số chấm trong 2 lần gieo là 8

- Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm

- Cả 2 lần gieo là như nhau

5 Xác suất của biến cố:

P(A) =

( ) ( )

n A

n 

P(A): xác suất của biến cố A n ( ): là số phần tử của kgm.n(A): số phần tử của biến cố A

Tính chất của xác suất:

( ) 0, ( ) 1

P   P  

0P(A) 1, với biến cố A

Nếu A và B xung khắc thì P(AB) = P(A) + P(B)

Hệ quả: P (A) = 1 - P(A)

Biến cố độc lập công thức nhân xác suất:

- Nếu sự xảy ra của 1 biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của 1 biến cố khác thì ta nói

2 biến cố đó độc lập

- A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi:

P(A.B) = P(A).P(B)

Bài tập:

1 Gieo ngẫu nhiên con súc sắc 2 lần Mô tả không gian mẫu tính xác suất:

- Mặt 6 chấm xuất hiện đúng 1 lần

- Tổng số châmư xuất hiện trong hai lần gieo là 7

- Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần

2.Từ một hộp chứa 8 quả cầu đen và 6 quả cầu trắng, lấy ngẫu nhiên 4 quả Tính xác

suất sao cho

a Bốn quả lấy ra cùng màu

b Có ít nhất một quả màu trắng

c Có 2 quả màu trắng và 2 quả màu đen

CHƯƠNG III:

1 Dãy số: - Định nghĩa : một hàm số u(n) với n là tập hợp các số nguyên dương gọi

là 1 dãy vô hạn

+ Dãy hữu hạn là hàm số u(n) với n 1, 2,3, , m trong đó u m là số hạng cuối cùng của dãy

- Cách cho dãy số: + Cho bằng công thức tổng quát.

+ Cho bằng cách mô tả.

+ Cho bằng công thức truy hồi

- Dãy số gọi là tăng nếu u n u n1  n N*

- Dãy số gọi là giảm nếu u n u n1  n N*

- Dãy số gọi là bị chặn trên nếu M sao cho u n M n N  *

- Dãy số gọi là bị chặn dưới nếu m sao cho u n   m n N*

- Dãy vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên gọi là dãy bị chặn.Khi đĩ m M, sao cho m u n M n N  *

Các dạng tốn thường gặp:

- Tính các số hạng của 1 dãy số: nếu cho bằng cơng thức tổng quát ta tính được bất

kỳ số hạng nào bằng cách thay giá trị n vào cơng thức đĩ,nếu cho bằng cơng thức truy hồi phải tính lần lượt các số hạng

- Chứng minh 1 dãy là tăng:

Cách 1: tính hiệu số u n u n1 cĩ giá trị âm Cách 2: tính tỷ số 1

n n

u

u  cĩ giá trị <1

- Chứng minh dãy là giảm :

Cách 1: tính hiệu số u n u n1 cĩ giá trị dương Cách 2: tính tỷ số 1

n n

u

u  cĩ giá trị >1

- Xét tính bị chặn của 1 dãy:

Dãy tăng và bị chặn trên thì bị chặn.Dãy giảm và bị chặn dưới thì bị chặn Dãy khơng tăng khơng giảm thì dựa vào tập giá trị để xét

Bài tập:

1.Tìm 5 số hạng đầu của các dãy số sau:

a

2 3 1

n

n u n





 b

( 1)

2 1

n n

n u

n





 c u1  2;u2  3;u n  2u n1 u n2  n 3

2 Chứng minh rằng các dãy số sau là bị chặn:

a

3

n

n u n





b

3 1

n

n u

n



 c u n  ( 1) sin 2n n

3 Xét tính tăng giảm của các hàm số sau:

a

1 2

n

n u

n





b

3 2 3

n

n u n





 c ( 1) 3

n n

n

u  

2.Cấp số cộng: - Định nghĩa :dãy số cĩ tính chất u n1 u n   d n N* trong đĩ d là 1 hằng

số gọi là 1 cấp số cộng Hằng số d gọi là cơng sai

- Số hạng tổng quát

Tính chất các số hạng:

Tổng của n số hạng đầu:

Các dạng tốn:

n

2

k k k

2

n k n k n

và n-k>0

S  u  u  u  n  d

+Tìm 1 số hạng của CS cộng: cần tìm được u1 và d rồi sử dụng cơng

thức số hạng tổng quát.

+ Chứng minh 1 dãy số là cấp số cộng: chỉ ra u n1 u n   d n N* với d là hằng số

+ Tính tổng n số hạng đầu

Bài tập:

1 Cho dãy số u n 2n3

a Chứng minh dãy số là 1 cấp số cộng,tính u1 và d

b.Tính số hạng thứ 20 và tổng 30 số hạng đầu

2 Một cấp số cộng cĩ

5 8

3 7

16

u u u





 tính số hạng đầu,cơng sai và u18 của cs cộng đĩ

3 Ba gĩc của 1 tam giác cĩ số đo lập thành 1 cấp số cộng.Gĩc nhỏ nhất bằng 1/7 gĩc lớn nhất.Tính số đo 3 gĩc tam giác ấy

4.Cho dãy số u n 2n3

a Chứng minh rằng dãy số này là 1 cấp số cộng.Tính u1 và d

b.Biết S  n 240 tìm n

ƠN TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG I

A.Kiến thức cần nhớ

1.Phép biến hình là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mp với 1 điểm xác định duy

nhất M’ của mp đĩ

2.Phép tịnh tiến: T⃗v ( M )=M ' ⇔⃗ MM'=⃗v

-PTT theo vectơ-khơng là phép đồng nhất

-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y), ⃗v =(a ;b) Gọi M '(x '; y ')=T⃗v(M) Khi đĩ:

¿

x '=x +a

y '= y +b

¿ {

¿

-Tính chất: PTT:

 Bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

 Biến 1 đường thẳng thành đt song song hoặc trùng với nĩ

 Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nĩ

 Biến 1 đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính

3.Phép đối xứng trục: Đd (M)=M’ ⇔ d là đường trung trực của đoạn MM’, (M d¿ -M d: M= Đd (M)

-Nếu M’= Đd (M) ⇔ ⃗M o M '=−⃗ M o M , với Mo là hình chiếu vuơng gĩc của M trên d -Đt d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đd biến hình H thành chính nĩ Khi đĩ H được gọi là hình cĩ trục đối xứng

-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy với mỗi điểm M(x;y) Gọi M’(x’;y’)= Đd (M)

 Nếu chọn d là trục Ox, thì

¿

x '=x

y '=− y

¿ {

¿

 Nếu chọn d là trục Oy, thì

¿

x '=− x

y '= y

¿ {

¿

-Tính chất:PĐX Trục:

 Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

 Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng

 Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó

 Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

- Nếu M’= ĐI (M) ⇔⃗ IM '=−⃗IM

- Điểm I là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính

nó Khi đó H được gọi là hình có tâm đôí xứng

-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y) Gọi M’(x’;y’)= Đo(M).Khi đó:

'

'











-Tính chất:PĐX Tâm:

 Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

 Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

 Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó

 Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

5.Phép quay:

Q(O , α)( M )=( M ' )⇔

OM '=OM

(OM ', OM)=α (M ≠ O)

¿ { -Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác

-Phép quay tâm O góc quay α=(2 k +1)π , k ∈ Z là phép đối xứng tâm O

-Phép quay tâm O góc quay α=2 kπ , k ∈ Z là phép đồng nhất

-Tính chất: phép quay

 Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

 Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng

 Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó

 Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

6.Phép dời hình: là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

-Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay đều là phép dời hình

-Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được 1 phép dời hình

-Tính chất: Phép dời hình:

 Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng

 Biến 1 đt thành đt, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

 Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó

 Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

7.Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

8.Phép vị tự: V(O ; k)(M )=M ' ⇔⃗ OM'=k⃗ OM(k ≠ 0)

-Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

-Khi k = 1 thì phép vị tự là đồng nhất

-Khi k = -1 thì phép vị tự là phép đối xứng tâm

- M '=V(O ,k)( M ) ⇔ M=V

(O ,1k)( M ' )

-Tính chất:

a) Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành M’, N’ thì

M N'\} =k widevec \{ ital MN \} \{\} # right none left lbrace M'N=|k| MN

¿

¿

¿ ¿

¿ b) Phép vị tự tỉ số k:

 Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng

 Biến 1 đt thành đt song song hoặc trùng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

 Biến 1 tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó

 Biến đường tròn bk R thành đường tròn có bán kính |k|.R

-Tâm vị tự của hai đường tròn: Với hai đường tròn bất kì luôn có 1 phép vị tự biến

đường tròn này thành đường tròn kia Tâm của phép vị tự nói trên được gọi là tâm vị tự của 2 đường tròn

*Cách tìm tâm vị tự của 2 đường tròn:( I, R ) và ( I’, R’) có 3 Th xảy ra:

 I trùng I’: Khi đó phép vị tự tâm I tỉ số R ' R và phép vị tự tâm I tỉ số - R ' R biến đường tròn ( I; R)

thành đường tròn (I; R’)

 I khác I’ và R R’ : Lấy M trên (I; R), qua I’ kẻ đt song song với IM cắt (I’; R’)

tại M’ và M” Đường thẳng MM’ cắt II’ tại O đường thẳng MM” cắt II’ tại O1 Khi

đó phép vị tự tâm O và tâm O1 biến (I; R) thành (I’; R’)

 I khác I’ và R=R’: Gọi O1 là trung điểm của II’ Khi đó phép vị tự tâm O1 tỉ

số k=-1 biến (I; R) thành (I’; R’)

9.Phép đồng dạng:Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với 2

điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=k.MN

-Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1

-Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|

-Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được 1 phép đồng dạng

-Tính chất: phép đồng dạng tỉ số k:

 Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng

 Biến 1 đt thành đt, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

 Biến 1 tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó

 Biến đường tròn bk R thành đường tròn có bán kính kR

-Hình đồng dạng :Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có 1 phép đồng dạng biến hình

này thành hình kia

Bài tập:

Bài tập về giới hạn của dãy số