Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút.. Giả sử M là điểm thuộc đoạn thẳng AB (M A, B); N là điểm thuộ[r]
Trang 1TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
THỊ TRẤN HƯNG HÀ
ĐỀ THI THỬ VÀO 10 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn Toán
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1 (2,5 điểm).
1) Cho biểu thức A= (3√6 x+4 3 x3− 8 −
√3 x
3 x+2√3 x+4)(1+31+√ √3 x 3 x3−√3 x) a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
2) Giải phương trình: √x+√1 − x+√x (1− x )=1
Bài 2 (2 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m:
x2 + 2mx – 2m – 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -1
b) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho x12+x22 nhỏ nhất Tìm nghiệm của phương trình (1) ứng với m vừa tìm được
Bài 3 (1,5 điểm)
Một người đi xe đạp từ A tới B, quãng đường AB dài 24 km Khi đi từ B trở về A người
đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A tới B
Bài 4 (3 điểm)
Cho ABC nhọn nội tiếp (O) Giả sử M là điểm thuộc đoạn thẳng AB (MA, B); N là điểm thuộc tia đối của tia CA sao cho khi MN cắt BC tại I thì I là trung điểm của MN Đường tròn ngoại tiếp AMN cắt (O) tại điểm P khác A
a) Chứng minh các tứ giác BMIP và CNPI nội tiếp được
b) Giả sử PB = PC Chứng minh rằng ABC cân
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
1
3 3
3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
3 ( 3 ) 2 3 2 3 4 1 3
6 4 3 ( 3 2)
.(1 3 3 3 ) ( 3 ) 2
6 4 3 2 3
.(1 2 3 3 ) ( 3 ) 2
3 2 3 4 ( 3 2)(3 2 3 4
x
x
x
P
2
2
.( 3 1) )
( 3 1)
3 2
x
x P
x
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
b)
3 2 3 1 3 ( 3 2) 1 1
3
Khi x nguyên thì 3x nguyên 3x là số chính phương
3x vô tỷ nếu 3x không là số chính phương
Để P nguyên thì 3x không thể là số vô tỷ, nên 3x là số nguyên
Khi đó 3x - 2 là ước của 1
* 3x - 2 = 1 3x = 3 x = 1 (thỏa mãn đkxđ)
* 3x - 2 = - 1 3x = 1 x = 1/3 (Z)
Vậy x = 1
0,25 0,25
0,25
2) Giải phương trình: √x+√1 − x+√x (1− x )=1
Đkxđ: 0 x 1 Đặt x a ; 1 x b (đk: 0 a; b 1)
Ta có hệ phương trình
1
a b
a b ab
0,5
Trang 3Đặt a + b = u, ab = v, ta có
2
2
Ta có a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0
u1 = 1 v1 = 0
u2 = - 3 v2 = 4
* TH1: a + b = 1, ab = 0 (a; b) = (0; 1), (1; 0)
* TH2: a + b = - 3, ab = 4 không tồn tại a, b
* a = 0, b = 1 x = 0 (tmđkxđ)
* a = 1, b = 0 x = 1 (tmđkxđ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = 0, x2 = 1
2 a) Thay m = - 1 vào phương trình (1) ta có:
x2 - 2x + 2 – 3 = 0 x2 – 2x – 1 = 0
x x ’ = 1 + 1 = 2 > 0 x1 1 2; x2 1 2
Vậy với m = - 1 thì phương trình có 2 nghiệm là
0,25 0,5 0,25 b) ’ = m2 + 2m + 3 = (m + 1)2 + 2 > 0 m
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt m
Theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = - 2m
x1x2 = - 2m – 3
Ta có: x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= 4m2 + 2(2m + 3) = (2m + 1)2 + 5 5
Dấu = xảy ra khi m = -1/2
Vậy min x1 + x22 = 5 m = -1/2
* Thay m = -1/2 vào phương trình (1) ta có: x2 – x – 2 = 0
Ta có: a – b + c = 0 x1 = - 1; x2 = 2
Vậy với m = -1/2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm là x1 = - 1; x2 = 2
0,25 0,25
0,25
0,25
3 Gọi vận tốc trung bình của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x > 0)
Thời gian người đó đi từ A đến B là
24 ( )h x
0,25 0,25
Trang 4Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, nên vận tốc
người đó khi đi từ B về A là x + 4, thời gian người đó đi từ B về A là
24 4
x (h)
2
2
4 2
4 192 0 ' 4 192 196 0
x x
Vì thời gian về ít
hơn thời gian đi là 30’ = ½ (h) nên ta có phương trình:
Vậy vận tốc người đi xe đạp từ A đến B là 12 km/h
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
4
a) * Ta có CAP CBP (2 gnt cùng chắn cung CP của (O))
mà CAP IMP (2 gnt cùng chắn cung NP của (O’)
suy ra CBP IMP tứ giác IMBP nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp M và B cùng nhìn cạnh IP dưới cùng 1 góc)
* Chứng minh tương tự tứ giác CIPN có 2 đỉnh liên tiếp N và C cùng nhìn cạnh
IP dưới cùng 1 góc) nên tứ giác CIPN nội tiếp đường tròn (đpcm)
0,25 0,25 0,5 0,75
b) * Ta có PB = PC PCB cân tại P 0,25
P
I
O
A
M
N O'
Trang 5 PMN cân tại P, mà I là trung điểm MN, MN là dây của (O’)
nên PI MN, mà tứ giác PIMB nội tiếp (cmt) nên
900
MBP PA là đường kính của (O)
Mặt khác PCB cân tại P (cmt) nên PB = PC,
mà PB và PC là 2 dây của (O), PA là đường kính của (O) nên
PB PC và PA BC (định lý liên hệ giữa đường kính – dây và cung)
* Xét (O) có PB PC (cmt) CAP BAP (2 gnt chắn 2 cung bằng nhau thì
bằng nhau) AP là phân giác BAC
* Xét ABC có AP là phân giác đồng thời là đường cao nên ABC cân tại A
Vậy khi PB = PC thì tam giác ABC cân tại A
0,25
0,25
0,25 0,25
0
* a = b x + 2y = 2x – y – 1 x = 3y + 1
Thay vào phương trình x2 – 5y2 – 8y = 3 ta có:
(3y + 1)2 - 5y2 – 8y – 3 = 0 2y2 – y – 1 = 0
Có a + b + c = 2 – 1 – 1 = 0 y1 = 1 x1 = 4;
y2 = - ½ x2 = -1/ 2
Thử lại thấy cặp số (x; y) = (4; 1) thỏa mãn hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (4; 1)
0,5