PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A.. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập.[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn thi: TOÁN - Khối : B
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3mx23m3 (1), m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1.
Câu 3 (1,0 điểm) Giải bất phương trình x 1 x2 4x 1 3 x.
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
0
x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc của
A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x y z 0 và x2y2z2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 5y5z5.
II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C 1) : x2y2 4, (C 2):
2 2 12 18 0
Câu 8.a (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
A(2;1;0), B(-2;3;2) Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Câu 9.a (1,0 điểm) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4
học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp
đỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng
(P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Câu 9.b (1,0 điểm) Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 2 3iz 4 0 Viết dạng lượng giác
của z 1 và z 2
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……… …….Số báo danh: ………
Trang 2ĐÁP ÁN KHỐI B NĂM 2012 Câu 1:
a) m= 1, hàm số thành : y = x3 – 3x2 + 3 Tập xác định là R
y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 x = 0 hay x = 2; y(0) = 3; y(2) = -1
lim
x
y
và limx
y
x 0 2 +
y’ + 0 0 +
y 3 +
CĐ -1
CT
Hàm số đồng biến trên (∞; 0) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y(2) = -1
y" = 6x – 6; y” = 0 x = 1 Điểm uốn I (1; 1)
Đồ thị :
y có 2 cực trị m 0
Vậy A (0; 3m3) và B (2m; -m3)
SOAB =
4 1
Câu 2 : 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1
(2cos 1)(cos 1) 3 sin (2cos 1) 0
1
3 1
x
Câu 3 : Giải bất phương trình x 1 x2 4x 1 3 x Đk : 0 x 2 3 hay x 2 3
nhận xét x = 0 là nghiệm
+ Với x 0, BPT
4
x x
3 Đặt t =
1
x
x
1
x x
= t2 – 2 (t 2)
3
6 9 6
t
1
x
x
5 2
1 4
x
hay x 4 Kết hợp với đk 0
1 4
x
hay x 4
Câu 4 : Đặt t = x2 2
dt xdx
; x 0 t0; x 1 t1 1
2
0
1
tdt
I
1 0
2 t 1 t 2 dt
12ln 3 3ln 2
2
Câu 5
Gọi SD là chiều cao của tam giác SAB
y
x 0
3
2 -1
A
B
C
S
H
O
D
Trang 32 2 2
a
Ta có
2 2
2 2 2 2 15 49 7 7 7
( )
;
SABH
SABC
Vậy
( )
SABH
Câu 6 2 2 2
0 1
x y z
2 1
2
xy x y
x y
P = x5 + y5 + z5 = x5 + y5 – (x + y)5 = -5xy(x3 + y3) – 10x2y2(x + y)
=
2 x y 2 x y 2t 4t
f(t) =
3
2t 4t
; f’(t) =
2
15 5
2 t 4
; f’(t) = 0 t =
1 6
3
1 6
1
6 23 f’(t) – 0 + 0 –
f(t) 5 6
36 5 636
5 6 36
1 6
1 6 1 3 ( )
xy
2 3 1
6 ( )
x y xy
z x y
Câu 7a Phương trình đường tròn (C) : x2y2 2ax 2by c 0
(b;-a)
v
vì ( )d AB u vvv. 0
a b
d(I,d) =
2 2 4
2
a b
8 = 2a2 – c (2)
I( )C2 a2b212a18 0 (3)
Thế (1) vào (3) ta có : a b 3 ; Thế a b 3 vào (2) ta có : c = 10
Vậy phương trình đường tròn (C) : x2y2 6x 6y10 0
Cách khác : Gọi I (a;b) ( )C2 ; vì đường tròn tâm I cắt (C1) tâm O tại A, B sao cho AB ( )d
(I/d) = d(O/d) = 2 2= R
Trang 4Ta có :
2 2
12 18 0
4 4
a b
2 2
2 2
(1) 8
(2) 0
a b
a b
Phương trình đường tròn : (x 3)2(y 3)2 8
Câu 8a
Gọi tâm mặt cầu là I( )d I(1 2 ; ; 2 ) t t t ; IA2 9t2 6t2, IB2 9t214t22
Ta có IA2 IB2 t1 I( 1; 1; 2) , IA2 R2 17
Vậy phương trình mặt cầu là : x12(y1)2(z 2)2 17
Câu 9a Số cách gọi 4 học sinh lên bảng là :
4 25
25!
12650 4!.21!
Số cách gọi 4 học sinh có cả nam lẫn nữ là :
TH 1: 1 nữ 3 nam có : 10.C 153 10.455 = 4550
TH 2: 2 nữ 2 nam có : C C 102 152 4725
TH 3 : 3 nữ 1 nam có : C C 103 151 1800
Vậy số cách gọi 4 học sinh có nam và nữ là : 4550 + 4725 + 1800 = 11075
Vậy xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam lẫn nữ là :
11075 443
12650506
4 10 4 25
21 1265
C
Xác suất chọn không có nữ : P2 =
4 15 4 25
273 2530
C
Xác xuất có cả nam và nữ : P = 1 – (P1 + P2) =
443 506
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b Đặt AC = 2a , BD = a Bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi R = 2.
Ta có
4
4
2
2 2
1
20 5
Câu 8b Gọi B là giao điểm của mặt phẳng với Ox, B(b;0;0).
C là giao điểm của mặt phẳng với Oy, C(0;c;0)
x y z
b c
G
(1; 2; 3)
uuuv
Pt đường thẳng AM :
3
x y z
2
3 6 3
b c
2, 4
Vậy pt mặt phẳng (P) là 6x3y 4z12 0
Câu 9b Phương trình z2 2 3iz 4 0 có hai nghiệm là z1 1 3 ,i z2 1 3i
z1 = 2(cos
2 3
+ isin
2 3
); 2
2 cos sin
z i
Trang 5BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn thi: TOÁN - Khối : D
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2
3x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x +
2
3 (1), m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình : sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 2 2
2 0
xy x
x x y x y xy y
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
/ 4
0
I x(1 sin 2x)dx
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông
cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2)
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng
AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (
1
3
; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn
có bán kính bằng 4
Câu 9.a (1,0 điểm): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 2 )
7 8 1
i
i i
w = z + 1 + i.
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB =
CD = 2
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z
điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M
Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……… …….Số báo danh: ………
Trang 6ĐÁP ÁN KHỐI D NĂM 2012
Câu 1:
a) m= 1, hàm số thành : y =
2
3x3 – x2 – 4x +
2
3 Tập xác định là R
y’ = 2x2 – 2x – 4; y’ = 0 x = -1 hay x = 2; y(-1) = 3; y(2) = -6
lim
x
y
và limx
y
x -1 2 +
y’ + 0 0 +
y 3 +
CĐ -6
CT
Hàm số đồng biến trên (∞; -1) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (-1; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1; y(-1) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y(2) = -6
y" = 4x – 2; y” = 0 x =
1
1
2;
3 2
)
Đồ thị :
b) y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1)
y có 2 cực trị ’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 0 13m2 – 4 > 0
m <
2 13
hay m >
2 13 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) = 1
2
Câu 2 : sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2cos2x
cos2x = 0 hay
1 sin( )
x
hay x =
7 2
12 k
(với k Z)
Câu 3:
2 0
xy x
2 0
xy x
2 0
xy x
2 0
2 1
xy x
3
2
2 0
x x
2
2 1
y
x 0
3
-6
Trang 7
1 1
x
y
1 5 2 5
x y
1 5 2 5
x y
Câu 4:
/ 4
0
I x(1 sin 2x)dx
Đặt u = x du = dx
dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x –
1
I =
/ 4 0
1
( cos 2 )
2
/ 4 0
1 ( cos 2 ) 2
=
/ 4
0
Câu 5:
2
A C a AC BC
3
1 1
3 2 2 2 2 24 2
V
Ta có
2
6 2
2
a h
h a a
Câu 6: Ta có
(x 4)2(y 4)22xy32(x y )2 8(x y ) 0 0 x y8
4xy(x y )2
2 3
2
A = x3y33(xy1)(x y 2)= (x y )3 6xy 3(x y ) 6
A
2
Đặt t = x + y (0 t 8), xét f(t) =
3 3 2
3 6 2
t t t
f’(t) = 3t2 3t 3
f’(t) = 0 khi t =
1 5 2
; f(0) = 6, f(8) = 398, f(
1 5 2
) =
17 5 5 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là
17 5 5 4
xảy ra khi t =
1 5 2
A f(t)
17 5 5
4
Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y =
1 5 2
hay x = y =
1 5 4
PHẦN RIÊNG
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a: AC cắt AD tại A (-3; 1)
Vẽ MN // AD (N AC) MN : 3x – 3y + 4 = 0
Trung điểm của MN : K (
4 4
;
6 6
)
Vẽ KE AD (E AD) KE :
x y
E (-2; 2)
E là trung điểm AD D (-1; 3) Giao điểm của AC và EK : I (0; 0)
C
C/
A/
B/
D/
D
H
Trang 8I là trung điểm BD B (1; -3) I là trung điểm AC C (3; -1)
Câu 8a: IH = d(I, (P)) =
4 1 6 10
3 9
; R2 = IH2 + r2 = 9 + 16 = 25 (S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25
Câu 9a : (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = 7 + 8i (2 + i)z + 1 + i – 2i2 = 7 + 8i
(7 4)(2 )
3 2 (2 )(2 )
i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b: I (d) I (t; 2t + 3) AB = CD t = 2t + 3 t = -1 hay t = -3
+ t = -1 I (-1; 1) R = 2 pt đường tròn : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 2 + t = -3 I (-3; -3) R = 10 pt đường tròn : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10
Câu 8b: Gọi M (2t + 1; -1 – t; t) thuộc (d)
AMB vuông tại M AM
= (2t; -t; t – 2) vuông góc với BM
= (2t – 1; -t; t)
6t2 – 4t = 0 t = 0 hay t =
2
7 5 2
; ;
3 3 3).
Câu 9b: z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0
= 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2
z =
3(1 ) (1 ) 2
z = -1 – 2i hay z = -2 – i