Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;. 3.[r]
Trang 1Bài 1: Cho các hàm số y = x 2 có đồ thị là (P) và y = x + 2 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục bằng nhau)
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
c) Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A
3 ( 1 ; 0)
2 và B
3
2 HD: a)Bảng một số giá trị tương ứng của (P):
Vẽ (d): y = x + 2: Cho x = 0 y = 2 (0; 2) (d)
Cho x = 1 y = 3 (1; 3) (d)
Đồ thị:
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0
2 1
x x
4 (2;4)
1 ( 1;1)
y y
Vậy:(d) cắt (P) tại hai điểm (2; 4) và (-1; 1)
c) Gọi M(xM; yM) (P) và cách đều hai điểm A, B
Ta có: yM =x M2 và MA = MB Đặt xM = x, a =
3 1
2
MA2 = (xA – xM )2 + (yA – yM )2= (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4
MB2 = (xB – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4
MA = MB MA2 = MB2
a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4
2ax2 – 2ax = 0 x2 – x = 0
0 1
x x
0 (0;0)
1 (1; 1)
y y
Vậy có hai điểm thỏa đề bài: O(0; 0) và M(1; 1)
Trang 2Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): yk 1 x 4 (k là tham số) và parabol (P): y x 2
1 Khi k 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
2 Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;
3 Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm
k sao cho: y 1 y 2 y y 1 2
HD:
Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4
Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2 = 3x + 4
x2 + 3x 4 = 0
Do a + b + c = 1 + 3 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = 4
Với x = 1 có y = 1 Với x = 4 có y = 16
Vậy khi k=2 : (d) cắt (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2 = (k 1)x + 4 x2 (k 1)x 4 = 0
Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn:
1 2
x x 4
Khi đó: y 1 x 12 ; y 2 x22
Vậy y1 + y2 = y1y2 x 12 x22 x x 12 22 (x1 + x2)2 2x1x2 = (x1 x2)2
(k 1)2 + 8 = 16 (k 1)2 = 8 k 1 2 2 hoặc k 1 2 2
Vậy k 1 2 2 hoặc k 1 2 2 thoả mãn đầu bài
Bài 3: Cho hàm số y = ax2
a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M ( -2 ; 8) b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị ( P) của hàm số đã cho với giá trị a vừa tìm được và đường thẳng (d) đi qua M (-2;8) có hệ số góc bằng - 2 Tìm tọa độ giao điểm khác M của (P) và ( d)
HD:
+ Đồ thị (P) của hàm số y =ax2 đi qua điểm M -2;8 , nên: 8 = a x (-2)2 suy ra a = 2
Vậy: a=2 và hàm số đã cho là: y =2x2
Trang 3+ Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng -2, nên có phương trình dạng: y =-2x+b
+ (d) đi qua điểm M -2;8 , nên 8 = 2 x(-2) + b suy ra b = 4 và (d) : y = -2x + 4 + Vẽ (P); Vẽ (d)
+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
+ Phương trình có hai nghiệm: x =1;x =-2 1 2
Do đó hoành độ giao điểm thứ hai của (P) và (d) là x =1 y =2 1 =22
Vậy giao điểm khác M của (P) và (d) có tọa độ: N(1;2)
Bài 4: Cho hàm số y = mx – m + 2 có đồ thị là đường thẳng (dm)
1.Khi m = 1 , hay x vẽ (d1)
2.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay đổi HD: Cho hàm số y = mx – m + 2 (dm)
1.Khi m = 1 thì (d1) : y = x + 1
Bảng giá trị :
x -1 0
y = x + 1 0 1
Vẽ : Đồ thị hàm số y = x + 1 là 1 đường thẳng đi qua hai điểm (-1 ; 0) và (0 ; 1)
2 Gọi A(xA ; yA) là điểm cố định mà (dm) luôn đi qua khi m thay đổi
Ta có : yA = mxA – m + 2
yA – 2 = m(xA – 1) (*) Xét phương trình (*) ẩn m , tham số xA , yA : Pt(*) vô số nghiệm m khi
Vậy (dm) luôn đi qua 1 điểm A(1 ; 2) cố định khi m thay đổi
Ta có : AM = (6 1) 2(1 2) 2 26
Từ M kẻ MH (dm) tại H
+Nếu H A thì MH = 26.(1) +Nếu H không trùng A thì ta có tam giác AMH vuông tại H
=> HM < AM = 26 (2)
Từ (1)(2) suy ra MH 26 Vậy, khoảng cách lớn nhất từ M đến (dm) khi m thay đổi là 26 (đvđd)
Bài 5: Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song
song với đường thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y =
1
2x2 có hoành độ bằng -2
HD: + Đồ thị hàm số y ax b song song với đường thẳng y3x5,
nên a 3 và b 5.
Trang 4+Điểm A thuộc(P)có hoành độx 2 nên có tung độ
2
1
2
.Suy ra: A 2; 2 + Đồ thị hàm số y3x b đi qua điểm A 2; 2 nên: 2 6 b b 4
Vậy: a 3 và b 4
Bài 6: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =
2
2
x
và đường thẳng (d): y = x + 4 trên cùng một hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
Trang 5Bài 7: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y =mx - 2 (m là tham số, m ≠ 0 )
a Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy
b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d)
c Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d) tìm các giá trị của m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1
HD: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )
a Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng Oxy
TXĐ: R
BGT:
Điểm đặc biệt:
Vì : a = 1 > 0 nên đồ thị có bề lõm quay lên trên
Nhận trục Oy làm trục đối xứng Điểm thấp nhất O(0;0)
ĐỒ THỊ:
b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d)
Trang 6Khi m = 3 thì (d) : y = 3x – 2
Phương trình tìm hồnh độ giao điểm:
x2 = 3x – 2
x2 - 3x + 2 = 0
(a+b+c=0)
=>x1 = 1 ; y1 = 1 và x2 = 2; y2 = 4
Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm
(1; 1) và (2; 4)
c Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao
điểm phân biệt của (P) và (d) tìm các
giá trị của m sao cho
yA + yB = 2(xA + xB) – 1(*)
Vì A(xA; yA), B(xB; yB) là giao điểm
y = mx 2
y = mx 2
Thay vào (*) ta có:
m
3
m 2
Bài 8: a) Cho hàm số y = ax + b tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho đi qua hai điểm
A(-2; 5) và B(1; -4)
b)Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
- tìm điều kiện của m để hàm số luơn nghịch biến
-Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng
2 3
HD: 1.Ta cĩ a, b là nghiệm của hệ phương trình
5 = -2a + b
-4 = a + b
-3a = 9 -4 = a + b
a = - 3
b = - 1
Vậy a = - 3 vào ta cĩ b = - 1
2 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
- Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0 m <
-Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng
2 3
Hay đồ thị hàm số
đi qua điểm cĩ toạ độ (
2 3
;0) Ta phải cĩ pt 0 = (2m– 1).(- ) +m +2 m = 8
1 -1
4
1
y=x2
y
Trang 7Bài 9: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB
HD: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng :
b)Tìm toạ độ giao điểm A,B :
Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (d)
Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)
x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0
x
2 2 1
c x a
thay x1 = -1 y1 = x2 = (-1)2 = 1;
x2 = 2 y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1) , B( 2 ; 4 )
c)Tính diện tích tam giác OAB :
OC =|xC | =| -2|= 2 ; BH = |yB | = |4| = 4 ; AK = | yA | = |1| = 1
- SOAB = SCOH - SOAC =
1
2(OC.BH - OC.AK)= =
1
2(8 - 2)= 3đvdt
Bài 10: Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m
1
2 Hãy xác định m trong mỗi trường hơp sau :
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB cân
HD: a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số :
O
y
x A
B
K C
H
Trang 8y = (2m – 1)x + m + 1 (1)
Thay x = -1 ; y = 1 vào (1) ta có: 1 = -(2m -1 ) + m + 1
<=> 1 = 1 – 2m + m + 1
<=> 1 = 2 – m
<=> m = 1
Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + 1 đi qua điểm M ( -1; 1)
c) ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1)
OA = m 1
Đt h/s cắt truc hoành tại B => y = 0 ; x =
1
m m
=> B (
1
m m
; 0 )
=> OB =
1
m m
Tam giác OAB cân => OA = OB <=> m 1 =
1
m m
Giải PT ta có : m = 0 ; m = -1
Bài 11: Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d): y = mx-2 (m là tham số m0)
a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ xOy
b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (P) và (d)
c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d) Tìm các giá trị của m sao cho : yA + yB =2(xA + xB ) -1
Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): yk 1 x 4 (k là tham số) và parabol (P): y x 2
1 Khi k 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
2 Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;
3 Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm
k sao cho: y 1 y 2 y y 1 2
HD:
Với k = 2 ta có đường thẳng (d): y = 3x + 4
Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x2 = 3x + 4 x2 + 3x 4 = 0
Do a + b + c = 1 + 3 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = 4
Với x = 1 có y = 1Với x = 4 có y = 16
Vậy khi k =2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2điểm có toạ độ là (1; 1); (4; 16)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
Trang 9x2 = (k 1)x + 4
x2 (k 1)x 4 = 0
Ta có ac = 4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn:
1 2
x x 4
Khi đó: y 1 x 12 ; y 2 x22
Vậy y1 + y2 = y1y2
x 12 x22 x x 12 22
(x1 + x2)2 2x1x2 = (x1 x2)2
(k 1)2 + 8 = 16
(k 1)2 = 8
k 1 2 2 hoặc k 1 2 2
Vậy k 1 2 2 hoặc k 1 2 2 thoả mãn đầu bài
Bài 13: Cho 3 đường thẳng có phương trình:
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d 1 ) và (d 2 ).
b) Tìm giá trị m để (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đồng quy.
c) Gọi C là giao điểm (d 1 ) với trục hoành, B là giao điểm của (d 2 ) với trục hoành Tính đoạn BC.
HD: a) Toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ
b) Để (d1 ), (d 2 ), (d 3 ) đồng quy thì (d 3 ) đi qua A
Khi đó có: 2(3 m)2m 55 1
9 2
m
; m 2 2 (t/m) Kết luận: m 2 hoặc
9 2
m
c) Toạ độ
1 ( ;0) 3
C
Toạ độ
1 ( ;0) 2
B
;
1 1 5
2 3 6
B C