SKKN dạy một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị trong chương trình toán THCS

Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng,phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu

1. PHẦN I:ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại

số đó là “Số” và “Hàm số” Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chương trình mônđại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại

số Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng,phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm

số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi Kháiniệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không nhiều,nên kết quả của học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý củađối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rấtlúng túng chính vì vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã

tích luỹ khi giảng dạy: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị” Trong quá

trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra một

số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp vớiđối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các

em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chínhxác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú Hàm số còn được coi là công cụgiải quyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bấtphương trình, sau đây là nội dung đề tài

PHẦN II:NỘI DUNG ĐỀ TÀI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I/ Các hàm số trong chương trình THCS:

 ; ) và nghịch biến trong ( ;

2

b a

+ a < 0 Hàm số nghịch biến trong (

2

b a

 ; ) và đồng biến trong ( ;

2

b a

b Đồ thị:

+ Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác

Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x   1;1 là y   7; 3  

+ Ví dụ 2 : tìm miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x

Giải

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

x   x  x   x   y

Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x với x R là y R, y1

+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x 2;3

Giải

Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x1

Vậy với x 2;3 ta có y(2) y(3)  3  y 6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x 2;3 là 3;6

+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 –4

Giả sử y là một giá trị của hàm số  Phương trình 22 6

+ Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm

Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y  Z  x2 + x + 2 nhận giá trị làước nguyên của 4.

Sai lầm trong lời giải ở chỗ x  R nên x2 + x + 2 có thể nhận giá trịkhông nguyên Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán

+ Cách giải từ việc có miền giá trị 1 23

Ứng dụng 2: Gải phương trình f(x) = g(x) (1)

Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vàomiền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung củachúng:

Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 2:

Giải phương trình –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x - x  2) = 0 (3)

Ta có VT = –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 – 16

2 2

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm

Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1;

1) và điểm B(-1; 2)

Giải

Vì A(1; 1)  d nên a1 + b = 1, B(-1; 2)  d nên a(-1) + b = 2

a x1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông góc

với đường thẳng d có phương trình y = -1

d Đồ thị qua điểm A(x 1 ; y 1 ) và tiếp xúc với

Parabol (P): y = a’x 2 + b’x + c’ (a’  0)

Giải

Vì A(1; 1)  d nên ax1 + b = y1 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x+c’ nên phương trình hoành

độ giao điểm : ax + b = a’x2 + b’x+c’ có nghiệm kép

 a’x2 + (b’ – a)x = c’ – b = 0 có nghiệm kép

  = (b’ – a)2 – 4a’(c’ – b) = 0 (2)Giải hệ hai phương trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàmsố

Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm

A(1;2) d nên –a + b = 2 (1)

Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phương trình hoành độ giaođiểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép

III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

a Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), C(x 3 ,y 3 )

b

x a



 (2); 0 2 4 2

b ac y

    (3)Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c

1 2

Lời giải :

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên 1

2

b a

III.2 Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm:

a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt

phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x  TXĐ

+ bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dưới khi a<0

d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y

x với x0

Chẳng hạn: y = x 

-x với x0

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x

hình 1d e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y =  x trong đó  x là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá x + Đồ thị hàm số y =  x với    1 x 3 có dạng bậc thang như (hình 1e) -1 với    1 x 0 y = 0 với 0  x 1 3

1 với 1  x 2 2

2 với 2  x 3 1

-1

0 1 2 3

-1

f/ Nhận xét: + Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung + Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:  Vẽ đồ thị y = f(x) với x0  Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung + y = x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ vẽ đường biểu diễn mối quan hệ 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x+3 + TXĐ : x  R + Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2 Nghịch biến với x<2 Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2 + Bảng giá trị: x …0 1 2 3 4…

y

x

y …3 0 -1 0 3…

3

2

1 1 2 3 4

Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua

đường thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

x 2x 2víi x 0-x 2x 2víi x<0

y

y

x0

3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ

nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìmgiá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìmđiểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị

y =-x2 + 2x+ 1 với (x < 1)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1

4/ Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y = x2  4x  4 4x2  4x  1 ax

a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến

b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị của hàm

số với a vừa tìm được

-1

-2-9/4

-4

-5

+ Vị trí tương đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộcvào số điểm chung của hai đồ thị.

Giả sử M(xM; yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) vày=g(x)

Vậy ví trí tương đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc

vào số nghiệm của phương trình y y g xf x( )( )

+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị cáchàm số y=f(x) và y = g(x)f(x) và g(x) có bậc  2)

Hai đồ thị cắt nhau  phương trình (3) có hai nghiệm phận biệt

Hai đồ thị tiếp xúc  Phương trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau phương trình (3) vô nghiệm

 Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm củaphương trình (3)

 Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3)tìm hoành độ x = x0 , dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác địnhtung độ tương ứng y = y0

KẾT LUẬN CHUNG:

B CHÚ Ý: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (d): y = ax + b và d1:y=(2m-3)x+2 (a.a1 0)

(1)(2)

+ d song song với d1  a = a1 ; b b1

+ không có giá trị nào của m đẻ d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc Xác định toạ độđiểm chung trong từng trường hợp

2x  và d1: y=-2x+2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6 1

Ví dụ2: Biện luận theo m vị trí tương đói của đồ thị các hàm số y = x24x+m (P) và y= 2x+1 (d) Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc.

+ (P) tiếp xúc với (D)  Phuơng trình (3) có nghiệm kép

  = 9-m+1 = 0

 m=10Với m= 10 phương trình (3) trở thành x2 – 6x + 9 = 0  x=3

Thay vào (2) ta có y = 7

Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7)

+ (P) không giao với (d)  Phương trinhg (3) vô nghiệm

  = 9-m+1 < 0

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P) và y=mx2 +(m+2)x + 8 (P’) có không quá một điểm chung

(1))(2)

Vậy với m=1 (P) và (P’) cắt nhau tại một điểm.

- Xét m 1 (P) và (P’) có không qua một điểm chung    0

 (m + 6)2 – 64(m - 1) 0

 m2 – 52m + 100  0

 26  576 m 26  576 m  1Vậy (P) và (P’) có không quá một điểm chung 

- Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0; y0)

Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ thì

số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1)

 Cách giải bài toán:

- Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp

đồ thị

- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C’) trên cùng mặtphẳng toạ độ

- Biện luận số nghiệm chung của â và (C’) => số nghiệm của phươngtrình

 Ví dụ:

Ví dụ 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 1  x 2 m

Giải

+ Vẽ đồ thị hàm số y = x 1  x 2 và y = m trên cùng một mặt phẳng toạđộ

+ Theo đồ thị ta có

m < 1 phương trình (1) vô nghiệm

m = 1 phương trình (1) có vô số nghiệm : 1  x 2

m > 1 phương trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất

a Ta xét hai hàm số y= -x 2 + 4x – 1 và y = 2k

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ

* y= -x2 + 4x – 1 là Parabol (P1) có giao với trục tung là (0; - 1) nhậnS(2;3) là đỉnh

* y = 2k là đường thẳng (d) song song với Ox

b Xét hàm số y = x 2 + 1 và y = 2k

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ

* y = x2 + 1 là Parabol (P2) có đỉnh là S’(0;1)

* y = 2k là đường thẳng song song vơi Ox

Khi đó phương trình (x-1)2 = 2 x k có 4 nghiệm phận biệt  (d) cắt (P1)

và (P2) tại 4 điểm phận biệt

Hướng dẫn: Các đường thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi

a Nên đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b

Vậy đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m0

b a

DẠNG VI: ĐIỂM CỐ ĐỊNH ( CHÙM ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM PARABOL )

a b c

+ Biến đổi (1) về phương trình chính tắc ẩn m ( coi x0 ; y0 là tham số)

có nghiệm với mọi m suy ra các hệ số của phương trình băng 0 (2)

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

Vậy đường thẳng đi qua điểm M(3 7;

Vậy đường thẳng đi qua điểm M(-1;1) với m

Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1

đi qua với mọi m

0 2

1/ Cách giải bài toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Giải

+ Biểu diễn tạo độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM)

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y = f(x)

Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều

kiện của x để giới hạn quỹ tích

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d): y = mx - 1

 Với m   1 m 1 (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phận biệt A và B cóhoành độ xA, xB là nghiệm của phương trình (3) nên xA + xB = m

Khi đó I là trung điểm của AB

1

1 1

2 2

1 1

4 4

B

x x

Bài 1: Cho Parabol (P) y = x2 Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng

y = 2x + m với (P) Tìm quỹ tích trung điểm của AB khi m thay đổi

(1)(2)

Bài 2: Cho Parabol (P) y = x2 Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ được haitiếp tuyến vuông góc đến (P).

Bài 3: Cho Parabol (P) y = x2 + 7x + 6 Tìm điểm M trên trục tung sao choHai tiếp tuyến của (P) qua M cuông góc với nhau

Hướng dẫn:

+ MOy nên M có toạ độ M(0;a)

+ Giả sử đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = kx +a là tiếp tuyến của(P)  Phương trình hoành độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = 0 (2) có nghiệm kép

   (7  k)2 4(6  a) 0   k2 14k 25 4  a 0 (3)

+ Hai tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau

 Phương trình (3) có hai nghiệm k1 k2 = -1

a Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;1) và vẽ (P) với a vừa tìm được

b Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có , và tìm toạ độ tiếp điểm

c Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung C là điểm đối xứng của

    x2  4x 4m 0

Cho  = 0 ta có m = 1 và tiếp điểm là A(2; - 1)

c Xác định các điểm: A(2;-1); B(0;1); C(-2;-1)

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3

a Chứng minh đường thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol (P)

b Giải bằng đồ thị bất phương trình: x2 – 4x + 3 > 2x – 4

Bài 3: Cho Parabol (P); y = 1

2x2, điểm I(0;2) và điểm M(m;0) với m 0

a Vẽ (P)

b Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I và M

c Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệtA; B với m 0

1 Họi H và K là hình chiếu của Avà B trên trục hoành Chứng minhrằng tam giác IHK vuông cân

2 Chứng minh độ dài đoạn AB > 4 với m 0

2 AB ngắn nhất tương đương với tiếp tuyến với (P) tại điểm A song songvới đường thẳng (d)

+ Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với(d) y = - 2x + 6 => A(3;0)

+ Viết phương trình đường thẳng (d’’) vuông góc với (d’) tại A Xác

định giao điểm của (d’’) với (d) để tìm B(4;1

2)+ Khoảng cách AB = 5

2 là lớn nhất

Bài 5: Cho Parabol (P) y = x2 và hai điểm A; B thuộc B có hoành độ xA= -1; xB

= 2 Tìm M thuộc Parabol có hoành độ x   1;2 sao cho diện tích tam giácAMB lớn nhất

Qua những năm trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc trung học cơ sở và

qua nhiều năm nghiên cứu đề tài “ Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị”

tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn và hàm số và đồ thị Xây dựng được hệ thốngbài tập phong phú Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng cóphương pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây được hứngthú học tập cho học sinh Làm cho học sinh không còn thấy sợ “Hàm số”.Chương trình cải cách giáo dục đã đưa tập hợp số thực vào chương trình lớp 7nên học sinh lớp 7 tiếp thu khái niệm “Đồ thị hàm số” một cách tự nhiện, dễhiểu hơn

Đối với đối tượng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu pháttriển các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúpcác em phát huy được năng lực học môn toán.

Trên đây là nội dung đề tài mà tôi đào sâu đã tìm hiểu Trong quá trìnhthực hiện và trình bày không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy tôi rất mongđược sự góp ý của thầy cô giáo cùng các bạn bè đồng nghiệp

Giao Thuỷ, ngày 25 tháng 3 năm 2005

Người viết