CD on tot nghiep mon toan THPT2012(HHPP toa do KG)

CD on tot nghiep mon toan THPT2012(HHPP toa do KG) .CD on tot nghiep mon toan THPT2012(HHPP toa do KG) Chủ đề : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANI. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN1) Một số phép toán vectơTọa độ không gian.

Ngày soạn Tiết 6-7-8-9 Chủ đề : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Một số phép toán vectơ

Tọa độ không gian.

1 u x y zr( ; ; ) ⇔ =u x i y j z kr .r+ r+ r

2 M x y z( ; ; ) ⇔OMuuuur=xir+ + yjr zkr⇔OM x y zuuuur( ; ; )

3 Nếu a x y z b x y zr( ; ; ), ( '; '; ')r thì:

+ a br± = ±r (x x y y z z'; ± '; ± ') + ka ( x; ; z)r= k ky k

+ a br.r=x x ' +y y z z ' + ' + 2 2 2

| |ar= x +y +z

+cos( , )a b | | | |a a b. b x x '2 y y z z '2 '2

r r r

r

r r

+ ar⊥ ⇔br a br.r= 0

+

' ' '

x x

z z

=





 =



r r

4 Nếu A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2), thì:

+ uuurAB= (x1 −x y2 ; 1 −y z2 ; 1 −z2 )(*)

|uuuurAB| = (x −x ) + (y −y ) + (z −z )

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, k≠ 1 thì :

1 1 1

A B M

A B M

A B M

x kx x

k

y ky y

k

z kz z

k

−



−



+ Nếu M là trung điểm của AB thì:

2 2 2

A B M

A B M

A B M

x x x

y y y

z z z

+





+





+



Tích có hướng của hai vectơ.

* Nếu a x y z b x y zr( ; ; ), ( '; '; ')r thì tích có hướng của hai vectơ đó là một véc tơ: [ , ] ;

' ' ' ' ' '

a b

r r

* Kết quả: + Vectơ [ , ]a br r vuông góc với ar và br

+ Hai vectơ ar và brcùng phương thì [ , ]a br r = 0

+ Ba vectơ a br,r và crđồng phẳng thì [ , ].ca br r r

= 0

+ [ , ]|=| |.| |sin( , )a br r a br r a br r

+ 1| [ , ] |

2

ABC

S∆ = uuur uuurAB AC

+ 1| [ , ] |

6

ABC

V∆ = uuur uuur uuurAB AC AD

+ V ABCD A B C D ' ' ' ' = | [uuur uuur uuurAB AC AA, ] ' |

2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

*) Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến nr= ( ; ; )A B C là:

A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0

Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( Với D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0)

Nếu mp (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có 1vtpt của (α ) là:

n r = (A; B; C)

*) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là

x y z 1

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ1 điểm mà nó đi qua

và 1 véctơ pháp tuyến

*) Vị trí tương đối của hai mp (α1) và (α2) :

° ( ) α cắt( ) β ⇔A B C1 : 1 : 1 ≠ A B C2 : 2 : 2

( ) / / ( ) A B C D

° ( ) α ⊥ ( ) β ⇔A A1 2 +B B1 2 +C C1 2 = 0

3) Phương trình đường thẳng.

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ

phương ur= ( ; ; )a b c là:

0 0 0

x x at

y y bt t

z z ct

= +





 = +



¡

0 0 0

x x at

y y bt t

z z ct

= +





 = +



¡

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương ur= ( ; ; )a b c là:

0 0 0

x x at

y y bt t

z z ct

= +





 = +



¡ x x0 y y0 z z0

+Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước

Tìm quan hệ giữa 2 vtcp urd, uuurd /

Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ:

x + at = x' + a't'

y + bt = y' + b't' (I)

z + ct = z' + c't'











Hệ (I) Quan hệ Vị trí giữa d

giữa urd', uuurd / , d’

Vô số nghiệm

Cùng phương

'

d≡d

Vô nghiệm d/ /d'

Có 1 nghiệm

Không cùng phương

d cắt d’

Vô nghiệm d , d’ chéo

nhau

4) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Tùy theo dang của đường thẳng và mặt phẳng đã cho mà ta chọn cách xét vị trí tương đối Cụ thể có ba cách xét chính đó là:

+ Xét hệ phương trình tương giao

+ Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và vectơ nối hai điểm của đường thẳng

+ Quan hệ thuộc

5) Góc và khoảng cách.

+ Gọi góc giữa hai đường thẳng d1, d2 là α nên ta có:

cos α = | cos(u uuur uurd1, d2) |

+ Gọi góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là β nên ta có:

cos β = | cos(nuuur uuur( )P ,n( )Q ) |

+ Gọi góc giữa hai mặt phẳng (P) và đường thẳng d là γ nên ta có:

sin γ = | cos( ,u nuur uuurd ( )P ) |

+ Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: 0 0 0

| Ax + By + Cz + D | ( / ( ))

A + B + C

d M P =

+ Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ

phương ur là: ( / ) |[u , ] |

| u |

AM

∆

∆ =

uuuur r r + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:

1 2

1 2

1 2

|[u , u ] | ( / )

| [u , u ] |

d d

d d

M M

d d d =

uuuuuur

r r

r r

6) Mặt cầu:

+ Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R là:

(x – a )2 + (y – b )2 + (c – z )2 = R2

+ Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi A2 + B2 + C2 – D > 0

Khi đó tâm mặt cầu là: I(-A;-B;-C) và bán kính R= A2 +B2 +C2 −D

+ Nếu d(I/(P)) = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu

+ Nếu d(I/(P)) > R thì mp(P) không cắt mặt cầu

+ Nếu d(I/(P)) < R thì mp(P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) và bán kính r= R2 −d2 với d = d(I/(P))

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

Dạng 1: Các bài toán về các phép toán của véc tơ.

1 Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác, xác định hình dạng của tam giác

A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ → →

AC ,

AB không cùng phương

2 Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

ABCD là hình bình hành ⇔ AB DC=

uuur uuur

3 Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính thể tích của tứ diện, tính độ dài đường cao của

tứ diện, xác định các tính chất đặc biệt của tứ diện

+ Viết phương trình (BCD)

+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cmA∉ (BCD)

( Hoặc: chứng minh uuur uuur uuurAB AC AD, . ≠0 )

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng.

Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

1 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến nr= ( ; ; )A B C là:

A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0

2 Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C.

+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): nr( )P = [uuur uuurAB AC, ]

+ Điểm mặt phẳng đi qua là A ( hoặc B, hoặc C)

3 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước:

+ nr( )P =urd

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M

4 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) cho trước:

+ nr( )P =nr( )Q

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M

5 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và đường thẳng d cho trước

+ nr( )P = [MMuuuuur0 ,u ]rd (M0 ∈d )

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M

6 Mặt phẳng (P) đi qua điểm hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:

+ nr( )P = [u ,u ]r rd1 d2

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d1 (hoặc M2 thuộc d2 hoặc giao điểm của hai đường thẳng đó)

7 Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d và d'.

+ n( )P =  u MM d, '  

uuur uuruuuuur

+ Điểm mặt phẳng đi qua là điểm M thuộc d hay M' thuộc d'

8 Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 (d1 và d2 chéo nhau)

+ nr( )P = [u ,u ]r rd1 d2

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d1

9 Mặt phẳng (P) chứa d1 và vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước:

+ nr( )P = [u nr rd1 , ( )Q ]

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d

10 Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với d1 và d2 chéo nhau

+ nr( )P = [u ,u ]r rd1 d2

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M

11 Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (R), (Q) cho trước:

+ nr( )P = [nr( )R ,nr( )Q ]

+ Điểm mặt phẳng đi qua là M

12 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và cách điểm A một khoảng cho trước.

+ nuuur uuur( )P =n( )Q ⇒ PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0.

+ Tìm D

13 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

+ nuuur uuur( )P =n( )Q ⇒ PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0.

+ Tìm D

14 Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo nhau d, d’ và tiếp xúc với

mặt cầu (S)

+ n( )P =  u u d, d'  

uuur r r

⇒ PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0.

+ Tìm D

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng.

1 Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương ur= ( ; ; )a b c :

+ Phương trình tham số:

0 0 0

x x at

y y bt t

z z ct

= +





 = +



¡

+ Phương trình chính tắc:

0 0 0

x x at

y y bt t

z z ct

= +





 = +



¡ x x0 y y0 z z0

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và vuông góc với mp(P):

Ax + By + Cz + D = 0

+ urd =nr( )P =(A;B;C)

+ Phương trình đường thẳng d: x x0 y y0 z z0

b) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và song song đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương urd' = ( ; ; )a b c

+ urd =urd' = ( ; ; )a b c .

+ Phương trình đường thẳng d: x x0 y y0 z z0

2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q).

Cách 1:

+ urd = [n , n ]r( )P r( )Q

+ Điểm mà đường thẳng d đi qua có tọa độ là 1 nghiệm của hệ phương trình được tạo bởi phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Cách 2: Lấy hai điểm A, B là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q), suy ra

giao tuyến của hai mặt phẳng đó chính là đường thẳng AB

Cách 3: Gọi M là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) Giả sử M có hoành

độ x = t, ta đi tìm y và z theo t ,từ đó ta có phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

3.Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P):

Cách 1:

+ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mp(P)

+ Khi đó đường thẳng d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q)

Cách 2:

+ Lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng d

+ Tìm điểm A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của điểm A và B ttrên mp(P)

Khi đó: đường thẳng A’B’ chính là hình chiếu của đường thẳng d trên (P)

4 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với hai đường thẳng

d 1 , d 2

1 2 2

1 2

u

[u , u ] u

d d

d d d

d d

u

d d

u

⊥



⊥

r r

r r

Từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d

5 Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mp(P) và mp(Q).

Vì đường thẳng d song song với hai mp(P) và mp(Q) nên

( )

( ) ( ) ( )

n

[n , n ] n

d P

d Q

u

u u

⊥

 ⊥



r r

r r r

r r

Từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d

6 Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2

Cách 1:

+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1

+ Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm M và đường thẳng d2

Khi đó: Nếu uuurd , uuurd1 và u uuur uurd, d2 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q)

Cách 2:

+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1

+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d2 và mp(P)

+ Viết phương trình đường thẳng MI Nếu vectơ chỉ phương của hai đường thẳng MI và

d1 không cùng phương thì đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm

7 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt đường thẳng d 1 , và vuông góc với đường thẳng d 2

Cách 1:

+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1

+ Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2

Khi đó: Nếu véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và đường thẳng d1 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q)

Cách 2:

+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2

+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d1 và mp(P)

Khi đó: đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm.

8 Viết phương trình đường thẳng d song song đường thẳng d 1 và cắt hai đường thẳng d 2 , d 3

Cách 1:

+ Viết phương trình mp(P) song song với đường thẳng d1 và chứa đ.thẳngd2

+ Viết phương trình mp(Q) song song với đường thẳng d1 và chứa đt d3

Gọi giao tuyến của (P) và (Q) là d Nếu u ur rd, d2không cùng phương và u ur rd, d3không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm

Cách 2:

+ Viết phương trình mp(P) chứa d2 và song song d1

+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d3 và mp(P)

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và song song với đt d1

Nếu u ur rd, d2không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm

Cách 3:

+ Giả sử 2

3



 ∩ =

 ta viết tọa độ tổng quát của điểm A, B theo t và t’.

+ Vì d song song d1 ⇒uuurAB cùng phương với urd1 ⇒uuurAB k= urd1⇒Ta có hệ hai phương trình

hai ẩn t và t’

Giải hệ ta tìm được t và t’ suy ra tọa độ của A và B

Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm

9 Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2

Cách 1:

+ Giả sử 1

2

∩ =



 ∩ =

 ta viết được tọa độ tổng quát của A, B theo t và t’.

1

2

d d

⊥

uuur r uuurr uuur r uuurr ⇒Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và t’.Giải hệ

ta tìm được t và t’ , suy ra tọa độ của A và B

Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm

Cách 2:

+ Vì đường thẳng d vuông gócvới đường thẳng d1, d2 nên đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là: urd = [u , u ]rd1 rd2

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và có véc tơ pháp tuyến là:

1

( )P d, d

n =  u u  

uuur uuruur

+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d2 và có véc tơ pháp tuyến là:

2

( )Q d, d

n =  u u  

uuur uur uur

Suy ra: giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d cần tìm

Đặc biệt: Nếu d1 ⊥d2 thì để viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung

của d1, d2 ta làm như sau:

+ Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d1 và vuông góc với đường thẳng d2

+ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d2 và vuông góc với đường thẳng d1

Khi đó: giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng d cần tìm.

10 Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm I của đường thẳng d’ và

mặt phẳng (P), nằm trong (P) và vuông góc với d’.

+ Tìm toạ độ điểm I.

+ u d =  n( )P ,u d'  

Dạng4: Tìm điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng , đường thẳng.

a H là hình chiếu của M trên mp(α)

Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc (α)

H = d ∩ (α)

b H là hình chiếu của M trên đường thẳng d

H thuộc đt d ⇒ Toạ độ tổng quát của H theo tham số t

Tính MHuuuur

Ta có MHuuuur⊥uuurd ⇔MH uuuuur uur. d = ⇒ = ⇒ 0 t ? tọa độ H

Dạng 5 : Điểm đối xứng M’ của M qua 1 mặt phẳng, đường thẳng.

a Điểm M / đối xứng với M qua mp(α )

Tìm hình chiếu H của M trên mp(α)

M/ đối xứng với M qua (α)⇔H là trung điểm của MM/

/

/

/

2 2 2

H M M

H M M

H M M





b Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d:

Tìm hình chiếu H của M trên d

M/ đối xứng với M qua d ⇔ H là trung điểm của MM /

/

/

/

2 2 2

H M M

H M M

H M M





Dạng 6: Khoảng cách

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆:

+ Viết phương trình mp(α ) chứa A và ⊥∆

+ Tìm giao điểm H của ∆ và (α )

+ Tính d(A, ∆) = AH

b) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và (α ) với ∆ / /( ) α :

+ Lấy M trên ∆

+ d( ,( )) ∆ α =d M( ,( )) α

c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆, ∆’ :

+ Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ∆’ và //∆

+ Lấy M trên ∆

+ d( , ) ∆ ∆ = ' d M( ,( )) α

Chú ý: Với bài toán a) và c) HS ban KHTN đã có công thức tính

Dạng 7: Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp toạ độ

III BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3)

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AM, với AM là trung tuyến của tam giác ABC

c) Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC

d) Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC)

Bài giải

a)

 Ta có: uuurAB= − − ( 2; 2; 4) ⇒AB= 2 6, uuurAC= (0; 2; 1) − − ⇒ AC= 5

 Suy ra: uuur uuurAB AC = + − = ⇔ 0 4 4 0 uuurAB⊥uuurAC

 Hay tam giác ABC vuông tại A

 Diện tích tam giác ABC: 1 . 1 5.2 6 30

b)

 M là trung điểm của BC nên 0;1; 1

2

M − 

 Đường thẳng AM qua A(1;3;-2) nhận 1; 2;3

2

uuuur

làm VTCP có phương trình tham số:

1

3 2 3 2 2



 = −





 = − +



c)

 Gọi nr=uuur uuurAB AC∧ = (10; 2; 4) −

 Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận nr= (10; 2; 4) − làm VTPT có phương trình tổng quát:

10( 1) 2( 3) 4( 2) 0

A x x B y y C z z

x y z

d) khoảng cách từ D đến mp(ABC):

10 1 4 2 30 ( ,( ))

2

25 1 4

+ +

Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x− 2y+ 2z+ = 1 0

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P)

Bài giải

a)

Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB

1 4 1 6

Phương trình mặt cầu cần tìm:

( 1) ( 3) ( 1) 6

b)

Gọi I là trung điểm BC

Khi đó: 1; ; 2 ,3 1 69

I −  BC=

Mặt cầu đường kính BC có tâm 1; ; 23

2

I − 

 , bán kính r =

69

2 có phương trình:

( 1) ( ) ( 2)

c)

Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính

0 4 12 1

1 4 4

+ +

Phương trình mặt cầu cấn tìm:

( 2) ( 6) 25

Bài 3: Cho mặt cầu (S): x2 +y2 + −z2 2x+ 6y− + = 8z 1 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)

Bài giải

a)

Từ phương trình mặt cầu ta có:

Tọa độ tâm I(1; -3; 4)

Bán kính: R= 1 9 16 1 5 + + − =

b)

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp

(0; 4; 3)

uuur

Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IMuuur= (0; 4; 3) − có phương trình:

0( 1) 4( 1) 3( 1) 0

4 3 1 0

y z

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a) (P) đi qua 3 điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1)

b) (P) qua DE và song song với GH với D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) và H(2;1;-1) c) (P) là mặt phẳng trung trực của MN với M(2;3;1), N(-4;1;5)

Bài giải

a) Ta có: uuurAB= − ( 3;0; 2),uuurBC= (4; 3; 5) − −

[ , ] (6; 7;9)

nr=uuuuur uuurAB BC = −

Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT nr= (6; 7;9) − có phương trình:

6( 0) 7( 1) 9( 2) 0

6 7 9 11 0

b) uuurDE= (1;0;1),GHuuur= (3; 1; 3), − − nr=[uuuuuur uuuuuurDE GH, ] = (1;6; 1) −