Kẻ đường kính DI của đường tròn (O).[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày: 24 – 6 – 2012 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ:
Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
3 4
x y
b) Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
( 2) ( 1) 3
3 4
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho hai hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Bằng phép tính hãy xác định tọa độ các giao điểm A, B của hai đồ thị trên (điểm A có hoành độ âm)
c) Tính diện tích của tam giác OAB (O là gốc tọa độ)
Bài 3: (1,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức H = ( 10 2) 3 5
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R Từ một điểm E ở trên đoạn OA (E không trùng với A và O) Kẻ dây BD vuông góc với AC Kẻ đường kính DI của đường tròn (O)
a) Chứng minh rằng: AB = CI
b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
c) Tính diện tích của đa giác ABICD theo R khi OE =
2 3
R
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC và các trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh rằng:
3
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA
Trang 2ĐÁP ÁN:
Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Hệ phương trình vô nghiệm khi:
3 4
m
Bài 2: (3,0 điểm)
2
Trang 32
-2
-4
-6
1
2 O
A
B
1 -2
b) Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:
2
2
2
2
2
2
2 0
2
1; 2
1; 4
y x
y x
y x
y x
Tọa độ các giao điểm của (d) và (P): A (-1;1) và B (2;4)
c) SOAB =
1
2.(1+4).3 -
1
2.1.1 -
1
2.2.4 = 3
Bài 3: (1,0 điểm)
H = ( 10 2) 3 5 5 1 6 2 5 5 1 5 1 5 1 4
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: AB = CI
Trang 4O
B
D
I
Ta có: BDAC (gt)
DBI = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BDBI
Do đó: AC // BI AB CI AB = CI
b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
Vì BDAC ABAD nên AB = AD
Ta có: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AB2 + CD2 = AD2 + CD2 = AC2 = (2R)2 = 4R2
c) Tính diện tích của đa giác ABICD theo R khi OE =
2 3
R
SABICD = SABD + SABIC =
1
2.DE.AC +
1
2.EB.(BI + AC)
* OE =
2
3
R
AE = 3
R
và EC =
2 3
R
+ R =
5 3
R
* DE2 = AE.EC = 3
R
5 3
R
=
2
5 9
R
DE =
5 3
R
Do đó: EB =
5 3
R
* BI = AC – 2AE = 2R – 2 3
R
=
4 3
R
Vậy: SABICD =
1
2
5 3
R
.2R +
1 2
5 3
R
.(
4 3
R
+ 2R) =
5 6
R
16 3
R
=
2
8 5 9
R
(đvdt)
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC và các trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh rằng:
3
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA
Trang 5M
A
Gọi G là trọng tâm của ABC, ta có: GM =
1
3AM; GN =
1
3BN; GP =
1
3CP
Vì AM, BN, CP các trung tuyến, nên: M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB
Do đó: MN, NP, MP là các đường trung bình của ABC
Nên: MN =
1
2AB; NP =
1
2BC; MP =
1
2AC
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
* AM < MN + AN hay AM <
1
2AB +
1
2AC (1) Tương tự: BN <
1
2AB +
1
2BC (2)
CP <
1
2BC +
1
2AC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AM + BN + CP < AB + BC + CA (*)
* GN + GM > MN hay
1
3BN +
1
3AM >
1
2AB (4) Tương tự:
1
3BN +
1
3CP >
1
2BC (5)
1
3CP +
1
3AM >
1
2AC (6)
Từ (4), (5), (6) suy ra:
1
3BN +
1
3AM +
1
3BN +
1
3CP +
1
3CP +
1
3AM >
1
2 AB +
1
2BC+
1
2AC
2
3 (AM + BN + CP) >
1
2(AB + AC + BC)
Trang 63
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP (**)
Từ (*), (**) suy ra:
3
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA