DE THI THU LAN 2 TN

Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ.[r]

§Ò THI thö vµo líp 10

Năm học 2012-2013

Thời gian làm bài 120 phút

Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 2013 - 2 2012

c) So sánh A và A2

Cho hàm số y = x2 có đồ thị là parabol ( P) và đường thẳng (d)

y = (2m + 2)x – m2 – 2m

a) Khi m = 1 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với parabol (P)

b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 sao cho 2x1 + x2 = 5

Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu

để hoàn thành công việc

Cho tam giác ABC vuông tại A, Kẻ đường cao AH và phân giác BE của góc ABC (H thuộc BC, E thuộc AC), Kẻ AD vuông góc với BE (D thuộc BE)

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHB là tứ giác nội tiếp, xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHB (gọi là đường tròn (O))

b) Chứng minh EAD HBD 

c) Chứng minh OD song song với HB

d) Cho biết số đo góc ABC =· 60 0 và AB = a (a > 0 cho trước) Tính theo a diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài đường tròn (O)

2

a 3a + b  b 3b + a  với a, b là các số dương

***************************HẾT***************************

( Đề thi chỉ có 1 trang)

Đáp án và biểu điểm Câu 1(2,5đ):

Tìm được điều kiện xác định x 0, x  1 0,25đ

a) A = x 1 2 x 1 2 x : x 1 x 1 x (x 1) (x 1)                       0,25đ

= 2 ( x 1) 1 2 x : x 1 x 1 (x 1)( x 1)             0,25đ

2 2 ( x 1) ( x 1) : x 1 ( x 1)(x 1)       0,25đ

= 2 2 ( x 1) (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)      0,25đ

x 1   0,25đ

b) x = 2013 - 2 2012 ( 2012 1)  2 x  2012 1 0,25đ

Vậy A = 2012 0,25đ

c) Xét A – A2 =A(1- A)

với x 0, x  1ta có A = x 1  > 0 , 1 –A = - x < 0 nên A(1- A) < 0 0.25đ Vậy A < A2 0.25đ

Câu 2(1,5đ) a) Phương trình hoành độ giao điểm x2 =(2m + 2)x – m2 - 2m Thay m =1 được pt x2 -4x +3 = 0 0.25đ

Giải tìm ra được x1 =1 ; x2 =3 0.25đ

Toạ độ giao điểm là (1;1) và (3, 9) 0.25đ

b)  ' = 1 > 0 với mọi m 0.25đ

Theo viét có 1 2 2 1 2 x x 2m 2(1) x x m 2m(2)         Mà 2x + x2 =5 (3) Kết hợp (1) với (3) tìm được x1 = 3 -2m, x2 =4m -1 0.25đ

Thay vào(2) được (3 -2m)(4m -1) = m2 + 2 m  9m2 – 12m +3 = 0 Giải pt tìm được m= 1 hoặc m = 1 3 0.25đ

Gọi x, y là thời gian mỗi người cần để một mình hoàn thành công việc

(x, y > 0 tính bằng giờ) 0,25đ Trong 1 giờ mỗi người làm được 1x ; 1y công việc,

cả 2 làm trong 1 giờ được 1x + 1y = 14 công việc

(vì hai người hoàn thành công việc trong 4 giờ) 0.25đ

Do người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai là 6 giờ nên y - x = 6 0.25đ

Ta có hệ phương trình

(2)

 



 0.5đ

Giải (2): (2) <=> x(x + 6) = 4 (x + x + 6) <=> x2 - 2x - 24 = 0

<=> x = 6 (t/m); x = - 4 (loại vì x > 0) Thay vào (1) được y = 12 0.5đ Vậy để hoàn thành công việc người thứ nhất cần 6 giờ, người thứ hai cần 12 giờ 0.25đ

Câu 4(3,5đ):

Vẽ hình đến câu a được 0,25đ

2 1

E O

D

B

A

a) Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp:

Ta có: ADB90 (0 ADBE)

AHB 900 (AH là đường cao của tam giác ABC) 0,5đ Suy ra ADBAHB 900

Mà H;D là hai đỉnh kề nhau

 Tứ giác ADHB nội tiếp được đường tròn đường kính AB 0.25đ Tâm O đường tròn là trung điểm của AB 0.25đ b) Chứng minh EAD HBD 

Do AC  AB tại A, AB là đường kính của (O) Nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

2

0.25đ

Mà ABD HBD (2) (BD là phân giác của góc ABC) 0.25đ

Từ (1) và (2) ta đượcEAD HBD 0.25đ c) Chứng minh OD//HB:

Ta có OD = OB (= bán kính đường tròn (O))

Nên tam giác OBD cân tại O =>OBD ODB  (3) 0.25đ

Ta cóOBD HBD  (BD là phân giác của góc ABC) (4) 0.25đ

Từ (3) và (4) suy ra: ODB HBD   OD HB/ / 0.25đ d) Tính theo a diện tích phần tam giác ABC nằm ngoài đường tròn (O)

Ta có:

60 ( )

ABC gt  sđAOH 1200

*Diện tích quạt(OAH) là:

2 0 2

.120 2

a

a S





 

 

 

(đvdt) 0.25đ

* Diện tích tam giác OBH là:

2

2 2

3

3 2

a

a S

 

 

 

(đvdt) Tam giác ABC vuông tại A: AC = AB tan600 = a 3

* Diện tích tam giác ABC là: 0.25đ

2 3

(đvdt)

* Diện tích cần tìm là:

3 2 1

2

21 3 4 48

a









(đvdt) 0.25đ

(1)

a 3a + b  b 3b + a  4a 3a + b  4b 3b + a

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:

4a + (3a + b) 7a + b

4b + (3b + a) 7b + a

Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b   4b 3b + a  4a + 4b 4  0,25đ

Từ (1) và (4) suy ra:

a + b 2(a + b) 1

4a + 4b 2

a 3a + b  b 3b + a   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 0,25đ