De thi thu CD DH Toan 2012 46

Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.. 2.[r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 46 )

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số

1

2 3 3

y  x  x  x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O.

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình:

2 sin 2 3sin cos 2

4

2) Giải hệ phương trình:

y x







Câu III (1 điểm): Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: m x2 2 x  2   x 2 có 2 nghiệm phân biệt

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Tính theo a thể tích

khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó

Câu V (1 điểm): Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2  x2 y2  xy  1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y P

xy







II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm):

1) Giải phương trình: 2.27x 18x 4.12x 3.8x

2) Tìm nguyên hàm của hàm số   tan 2

1 cos

x

f x

x



Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2;3   

Viết phương trình mặt

cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Giải bất phương trình: x4 log3 x 243

2) Tìm m để hàm số

2 1

mx y x





có 2 điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất.

Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   C x : 2 y2 2 x  0 Viết phương trình tiếp tuyến của   C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30

Hướng dẫn Đề số 46

Câu I: 2) PTTT  của (C) tại điểm M x y0 0 0; 

là:

   

 : y  x20 4 x0 3 x x  0  1 x30 2 x02 3 x0

3

 qua O  x0  0, x0  3 Các tiếp tuyến cần tìm: y  3 x, y  0.

Câu II: 1) PT  sinxcosx1 2cos  x 3 0



2 1









 



 

KL: nghiệm PT là 2 ; 2

2



2) Ta có: 2 x3 y3   2 y2 x2  2 y x    x3 2 x y2  2 xy2 5 y3 0

Khi y  0 thì hệ VN

Khi y  0, chia 2 vế cho y 3 0 ta được:

Đặt

x

t

y



, ta có : t32t22t 5 0  t1 2

1

y x

x y x y y









Câu III: Ta có: x2 2x 2 1nên PT 2

2

2 2

x m



 

2 ( )

2 2

x

f x





4 3 '( )

x

f x



 

  Kết luận: 1  m  10

Câu IV: Gọi O là giao điểm AC và BD  SOABCD

Ta có:

2

SO  SA  OA  a  

.

1 2 6

S  a  V  a

Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN Ta chứng minh I cách đều các mặt của hình chóp

2

4

SMN

a a







Câu V: Đặt t xy  Ta có: xy 1 2   x y 2 2 xy  4 xy xy 1

5

Và xy 1 2   x y 2 2 xy  4 xy xy 1

3

Suy ra :

P

2

  

Do đĩ:

t t P

t

2 2

7 '

2 2 1

 



 ,

t thoả

P ' 0       t  0 ( 1 ( loại ) )

    và P   0 1

4



Kết luận: Max P =

1

4 và Min P =

2 15

Câu VI.a: 1) PT 2.33x2 3x 2x 4.2 32x x3.23x

          

2) Ta cĩ: 2  2 

cos sin cos 1 cos

x x







Đặt tcos2x dt2 cos sinx xdx

Suy ra :  

ln



=

2 2

1 1 cos ln

x C x

Câu VII.a: Gọi M là hình chiếu của I 1; 2;3   

lên Oy, ta cĩ: M0; 2;0 

IM     R IM  

là bán kính mặt cầu cần tìm

Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là x 12y22z 32 10

Câu VI.b: 1) Điều kiện : x > 0 BPT  4 log 3xlog3x5

Đặt t  log3x Ta cĩ: t24t 5 0   t 5hoặc 1 t 

1 0

243

x

 

hoặc x 3.

2) Ta cĩ:

2 2

1 ' mx

y

x





Hàm số cĩ 2 cực trị  y ' 0  cĩ 2 nghiệm phân biệt, khác 0  m0 Khi đĩ các điểm cực trị là:

2

m

m



Dấu "=" xảy ra 

1 2

m 

Kết luận:

1 2

m 

Câu VII.b:   C : x12y2  1 I1;0 ; R1

Hệ số gĩc của tiếp tuyến () cần tìm là  3

 PT () cĩ dạng  1 : 3 x y b    0

hoặc  2 : 3 x y b    0

  1 : 3 x y b    0

tiếp xúc (C)  d I ,1R

3

2



b

Kết luận:  1 : 3 x y    2 3 0 

  2 : 3 x y b    0

tiếp xúc (C)  d I ,2 R

3

2



b

Kết luận:  2 : 3 x y    2 3 0 