de thi HSG toan 6

Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE.[r]

phòng GD-ĐT Sông LÔ

toán lớp 6 Năm học 2011 – 2012

(Thời gian làm bài: 90 phút) Bài 1 (5,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức :

a, A = 1 2 + 2 3 + 3 4 + + 2005 2006

b, B = 158 [12 −12

7 −

12

289−

12 85

4 −4

7−

4

289 −

4 85 :

5+ 5

13+

5

169+

5 91 6+ 6

13+

6

169+

6

91 ]⋅505505505

711711711

Bài2(3,5 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 4 d 2, chia cho 5 thì d 3,

chia cho 6 thì d 4 và chia hết cho 7

Bài 3 (3 điểm) Chứng minh:

A = (2006 + 20062 + 20063 + + 200610) chia hết cho 2007

Bài 4 (4 điểm) Cho đoạn thẳng MN = 8cm; Điểm P nằm giữa M và N sao cho MP = 6cm.

Các điểm D, E theo thứ tự là các trung điểm của MP và PN Gọi I là trung điểm của DE Tính độ dài của DE và PI

Bài 5 (4 điểm) Tìm số nguyên x biết : (x2 – 15).(x2 – 25) < 0

Đáp án biểu điểm kiểm tra tìm nguồn HSG

Môn: Toán lớp 6 Bài 1 (5,5 điểm): Tính giá trị của biểu thức :

a, (2,5 điểm) A = 1 2 + 2 3 + 3 4 + + 2005 2006

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 2005.2006.3 (0.5đ)

= 1.2 (3-0)+2.3 (4-1)+3.4 (5-2) + 4.5 (6-3)+ + 2005.2006.(2007-2004) (0.5đ)

A = 2005 2006 2007

b, (3 điểm)

[12 −12

7 −

12

289−

12 85

4 −4

7−

4

289 −

4 85 :

5+ 5

13+

5

169+

5 91 6+ 6

13+

6

169+

6

91 ].505505505 711711711

12 −12

7 −

12

289 −

12

85=3 (4 −

4

7−

4

289−

4

85). 5+ 5

13+

5

169 +

5

91=5 (1+

1

13+

1

169+

1

91) 6+ 6

13+

6

169 +

6

91=6(1+

1

13+

1

169+

1

91) 505505505

711711711 =

505 1001001

711 1001001

= 158 ( 3 :5

6¿.

505 711

= 158 ( (3 ì6

5).

505

711 =404

Bài 2 (3,5 điểm): Gọi số phải tìm là A vì A chia cho 4 d 2, chia cho 5 thì d 3, chia cho

6 thì d 4 nên A+2 sẽ chia hết cho 4, 5, 6

Vậy A+2 là bội chung của 4, 5, 6

Mà BCNN (4, 5, 6) là 60

Nên A +2 là bội của 60, tức A +2 = 60.n (n N*)

A=60n-2, tức A có chữ số tận cùng là 8

Theo bài ra: A ⋮ 7 nên A : 7 đợc thơng có chữ số tận cùng là 4,

tức là A 7.4; 7.14; 7 24; 7.34

Ta thấy 4 x 7 = 28< 60-2 loại (0<28<58)

14x7=98 ≠ n60 – 2 loại (60-2<98<120-2=upload.123doc.net)

24x8=168 ≠ n60 – 2 loại (upload.123doc.net<168<178)

34 x 8 = 238 = 4.60-2

Vì A là số tự nhiên nhỏ nhất nên A = 238

Bài 3 (3 điểm): Chứng minh:

A = (2006 + 20062) + ( 20063+20064) + (20065 + 20066)+ + 20069 + 200610

A=2006(1+2006)+20063 (1+2006)+ +20069 (1+2006)

= 2006.2007+20063.2007+ +20069.2007

= 2007.(2006 + 20063 + + 20069)

Ta có: (2006 + 20063 + 20065 + + 20069) N

Và 2007 ⋮ 2007

Do đó A ⋮ 2007 (đpcm)

Bài 4 (4 điểm):

Tính DE: (3 điểm)

Lập luận đợc:

+ D là trung điểm của PM =>PD = MP

2

E là trung điểm của PN => PE = NP

2 + Lập luận đợc P nằm giữa E vàD (2 tia PE và PD là 2 tia đối gốc P)

+ PD + PE = DE = MP+NP

MN

2 =

8

2=4 cm + Lập luận, tính đợc: DI = DE/2 = 4/2 = 2cm

Tính PI: (1 điểm)

Theo giả thiết: MP = 6cm

Thay vào (1) ta đợc PD = MP/2 = 6/2 = 3cm

Tính đợc:

(0,5

đ) (0,5

đ) (0,5

đ) (0,5

đ)

(0,5

đ) (0,5

đ)

(0,5

đ)

(0,5

đ) (0,5

đ)

(0,5

đ) (0,5

đ)

(0,5

đ) (0,5

đ)

(0,5

đ)

(0,5

đ) (0,5

đ) (0,5

đ) (0,5

đ) (0,5

đ)

(0,5

đ) (1.0

đ) (1.0

đ) (0,5

đ) (0,5

đ)

V× I n»m gi÷a P vµ D nªn PI = PD – DI = 3 – 2 = 1cm

Bµi 5 (4 ®iÓm): T×m sè nguyªn x biÕt:

(x2 – 15).(x2 – 25) < 0

Do (x2-15)(x2-25)<0 => (x2-15) vµ (x2-25) lµ 2 sè tr¸i dÊu

L¹i cã: (x2-25)=(x2-15)-10 nªn: x2-25<x2-15

V× thÕ: x2-15>0 vµ x2-25<0 nªn: 15<x2<25

Theo bµi ra: x lµ sè nguyªn nªn: x2 =16; mµ: 16=42 =(-4)2

Nªn: x=4 hoÆc x=-4

§Ò kh¶o s¸t häc sinh giái n¨m häc 2011 – 2012 m«n to¸n líp 6

(Thêi gian lµm bµi: 90 phót)

Bµi 1 (6®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh

1) 4.52 – 32 : 24

2) 9.8.14 + 6.(-17)(-12) + 19 (-4).18

3)

Bµi 2 ( 6®) T×m x  Z biÕt:

1) 5.3x = 8 39 + 7 273

2) 2x 1 5

 

(0,5

®) (1.0

®)

(1.0

®) (1.0

®) (1.0

®)

Bài 3 ( 2đ)

1) Tìm các chữ số a và b sao cho : a – b = 4 và 87ab 9 M

2) Tìm số nguyên n sao cho : 4n – 9 chia hết cho 2n + 1

Bài 4 (2đ

Cho phân số :

1 2 3 4 19 A

11 12 13 14 29

    



1) Rút gọn phân số trên

2) Hãy xoá một số hạng ở tử và xoá một số hạng ở mẫu để đợc một phân số mới có giá trị bằng phân số đã cho

Bài 5 (3đ)

Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B Các điểm D và E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB Tính độ dài đoạn thẳng DE biết:

1) AB = 5 cm 2) AB = a (cm)

Bài 6 (1đ)

Cho góc x0y Gọi 0z là tia phân giác của góc x0y, 0t là tia phân giác của góc x0z Tìm giá trị lớn nhất của góc x0t

Biểu điểm + đáp án Bài 1 (6đ)

Bài 1

1 4.52 – 32 : 24 = 4.25 – 32 : 16

= 100 – 2 = 98

1 0,5 0,5

2 9.8.14 + 6.(-17)(-12) + 19 (-4).18

= (9.8).14 + (6.12).17 – (4.18).19

= 72.14 + 72.17 – 72 19

=72(14 + 17 – 19)

= 72.12 = 864

0,5 0,5 0,5 0,5

3 4 2010

2 3 2009

2010 2 1005





1 0,5 0,5

Bài 2 1 5.3x = 8 39 + 7 273 => 5.3x = 8 39 + 7.39

=> 5.3x = 39(8+7)

=> 5.3x = 39 15

=> 3x = 310 => x =10

0,5 0,5 0,25 0,75

2 2x 1 5

=> 2x + 1 = 5 hoặc 2x + 1 = - 5 => x = 2 hoặc x = -3

1 1 3

 

0,5 0,5 0,5

1 1 1 1 1 1 2008

2

2 x 1 2010

x 1 2010

x 2009







 Bài 3 1 87ab 9 M 8 7 a    b 9M 6 b    4 b 9(0M  a, b  9

Vì a – b = 4 => a = 4 + b do đó ta có (6+b+4+b) M 9

=> (1-2b) M 9 => b = 4 => a = 8

0,25 0,25 0,5

2 Ta có 4n – 9 = 2(2n +1) -11

Để 4n – 9 M 2n +1 thì 2n là ớc của 11 Tìm đợc n có các giá trị : -6; -1; 0; 5 Vậy số nguyên cần tìm là n   6; 1; 0;5  

Bài 4 1

 

 

19

19 1

1 2 3 4 19 2 A

19

11 12 13 14 29

29 1

2

20 1 A

40 2



    



0,5 0,5

2 Ta có tử của A là a thì mẫu là 2a Gọi số hạng xoá ở tử là m và

số hạng xoá ở mẫu là n, khi đó ta có

2a n 2a 2m 2a 2a m 2

n 2m





  Vậy để đợc 1 p/s mới có giá trị bằng phân số đã cho ta có thể xoá các cặp số nh:

6 ở tử và 12 ở mẫu; 7 ở tử và 14 ở mẫu;14 ở tử và 28 ở mẫu

0,5 0,25 0,25

Bài 5

Vì điểm C nằm giữa 2 điểm A và B, các điểm D và E theo thứ

tự là trung điểm của AC và CB nên C nằm giữa D và E, khi đó

ta có:

DE = DC + CE

1 5 2, 5 2

0,25

0,25 0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 6

Hình vẽ

y z t

Vì Oz là tia p/g của góc x0y nên:

ã 1 ã x0z x0y 2



Vì 0t là tia p/g của góc x0z nên:

ã 1 ã 1 ã x0t x0z x0y

Góc x0y lớn nhất là 1800 nên giá trị lớn nhất của góc x0t là 450

Phòng Giáo dục

Huyện vũ th Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 – 2008

Môn Toán lớp 6

(thời gian làm bài 120phút)

Bài 1(4điểm): Tính giá trị biểu thức

a -12(13 – 29) + 13 (12- 29)

b

c

9 10 11 12 18

Bài 2 (5điểm)

a) So sánh :

30

1 5

 

 

  và

50

1 3

 

 

  b) Cho P = 2011 2012 2013 2014 + 1 Không tính tích , hãy cho biết P là hợp số hay số nguyên tố

c) Số nguyên a đợc gọi là số chính phơng nếu a là bình phơng của 1 số nguyên khác

Ví dụ 4 ; 9 là các số chính phơng vì 4 = 22 ; 9 = 32

Cho A = 2008 + 2007 2008 ; B = 200620072008

Hãy chứng tỏ A là số chính phơng , còn B không phải là số chính phơng

Bài 3 (4điểm)

a) Tính tổng các số nguyên x biết : x  30 và x  1

b) Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên khác nhau có 3 chữ số , bao giờ cũng chọn

đợc 2 số khi viết liền nhau đợc 1 số chia hết cho 7

Bài 4 (2điểm)

Một ngời mang cam ra chợ bán, buổi sáng bán đợc

3

5 số cam mang đi; buổi chiều bán thêm đợc 52 quả Số cam còn lại cha bán hết bằng 12.5% số cam đã bán Hỏi ngời đó mang di bán bao nhiêu quả cam

Bài 5 (5điểm)

1- Trên đờng thẳng xx’ lấy điểm 0 Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx’ vẽ tia 0y sao cho goác x0y < 900 Vẽ 0m là tia phân giác của góc x0y, cũng trên nửa mặt phẳng ấy ta vẽ tia 0n sao cho ã 0

n0m  90 a) Chứng minh rằng tia 0n là tia phân giác của góc y0x’

b) Cho

ã 2 ã m0y n0x '

3



Tính các góc nhọn có trong hình vẽ 2- Cho ã 0 ã 0

Đáp án + Biểu điểm

Bài 1

a

1đ -12(13 – 29) + 13 (12- 29) = -12.13 + 12 29 + 13.12 -13.29 = (-12.13+ 13.12) + (12 29-13.29)

= 0 + 29 (12-13) = 29 (-1) = -29

0,25 0,25 0,25 0,25 b

1,5đ 1 1 1 1 1 1 1 1

15 24 35 9999

16 25 36 10000

 15   24   35   9999  15   24   35   9999

16.25.36 10000 4.4.5.5 100.100

Tích các thừa số từ 42.52 1002 có (100-4): 1 + 1 = 97

=> có 97 thừa số ở tử , nên tích của tử mang dấu âm 15.24.35 9999 3.5.4.6.5.7 99.101

4.4.5.5.6.6 100.100 4.4.5.5.6.6 100.100 3.4.5 99 5.6.7 101

4.5.6 100 4.5.6 100

3 101 303

100 4 400





0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

c

1,5đ 10 19 102 11 123 4 1018 1 19 1 102 1 113 1 1018

45 50 55 90 5.9 5.10 5.11 5.18





8 .

8

40 1



0,5

0,25

0,25

0,5

Bài 2

a

 

30 30

10

3

1





 

 

 

50

10

 

 

 

Vì



     

0,75 0,75 0,5

b

1đ Ta thấy 2011 2012 2013.2014 + 1 = 4 1 5 5  M

Mặt khác 2011 2012 2013.2014 + 1 > 5

=> tích 2011 2012 2013.2014 + 1 là hợp số

0,5 0,5

C

2đ A= 2008 + 2007.2008 = 2008.(1+ 2007) = 2008.2008 = 20082

Vậy A là số chính phơng

0,25 0,5 0,25

B = 200620072008 Ta thấy một số chính phơng có dạng

M =  x2

( với xN; 0 x 9); Chữ số tận cùng của M là chữ

số tận cùng của x2

Với xN; 0 x 9 thì chữ số tận cùng của x2 chỉ có thể là : 0,1,4,5,6,9

Chữ số tận cùng của 1 scp chỉ có thể là 0,1,4,5,6,9

Mà B có chữ số tận cùng là 8 Vậy B không là scp

0,25

0,25 0,25 0,25

Bài 3

A

2đ Do x  30  x 30 với  x Z

Nên x 0; 1; 2; ; 30    

Do x    1 x A 1, 2, 3, , 30

Tổng các só nguyên x thuộc A là S = 1 + 2 + + 30

15 n hom

S   1444444444444442444444444444443 1 30  2 29    15 16  S= 31.15 = 465

0,5 0,5 0,25 0,25 0,5

b

2đ +.Ta thấy trong 8 số đã cho có ít nhất 2 số chia cho 7 có cùng số d

Gọi 2 số đó là : abc; mnp khi viết 2 số đó liền nhau ta đợc số abcmnp

Ta có abcmnp1000abc mnp 1000abc abc mnp abc    1001abc mnp abc  

Do 1001 M 7 nên 1001abc 7 M Lại có abc và mnp có cùng số d khi chia cho 7 nên (abc- mnp)M 7

=> abcmnpM 7

0,25

0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

Bài 4

Ta có

1

12, 5%

8



; Số cam cha bán hết bằng

1 8  9 số cam mang

đi chợ bán

Số cam bán trong buổi chiều và số cam bán cha hết bằng

3 2 1

5 5

 

0,5 0,5 0,5

(tổng số cam mang đi chợ bán)

52 quả cam bằng

2 1 13

5 945 tổng số cam mang đi chợ bán Vậy tổng số cam mang đi chợ bán là

13

52 : 108

45 quả

0,5

Bài 5 1a

2đ

C/m tia 0n là tia phân giác của nên 0m nằm giữa 2 tia 0x, 0y

2

nên tia 0y nằm giữa 2 tia 0m và 0n Suy ra 0n nằm giữa 2 tia 0y và 0x’ (a)

Từ đầu bài ta có: ã ã ã 0

x0m  m0y  m0n  90 (1)

Mà x0mã m0yã

( do tia 0m là tia p/g của góc x0y)

Từ 1,2 ta suy ra : y0nã n0x 'ã

(b)

Từ (a) và (b) ta suy ra 0n là tia phân giác của góc y0x’

1b

Theo bài ra

m0y n0x ' y0n

Mặt khác

m0y y0n 90 y0n y0n 90

3

Tính đợc

x0m m0y y0n 54 36

2 +.Nếu 2 tia 0y và 0z cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ có

chứa tia 0x thì ta có : 0z nằm giữa 2 tia 0x và 0y (vì

z0y  60  x0y  100 ) 0,25đ

Tia 0t nằm giữa 2 tia 0z và 0y vì

0t là tia p/g của góc z0y suy ra 0z Nằm giữa 0x và 0t

Từ đó ta suy ra :x0tã x0zã z0tả (1)

z0y  x0y  x0z  100 60   40 ; z0t  z0y : 2  20

Thay vào (1) tính đợc ã 0

+ Nếu 2 tia 0y và 0z nằm trên 2 nửa mp đối nhau có bờ cha tia 0x (phải có vẽ hình) và lập luận tơng tự

Do 2 tia 0y và 0z nằm

m

0

x

z t

z x

t

trên 2 nửa mp đối nhau

có bờ cha tia 0x nên

tia 0x nằm giữa 2 tia

0z và 0y

Vì 0t là tia p/g của góc z0y nên tia 0t nămg giữa 2 tia 0z và 0y và

z0t  z0y : 2  160 : 2  80

Vì z0tả z0xã nên tia 0x nằm giữa 2 tia 0z và 0t

x0t  z0t  z0x  80 60   20