Biết rằng cạnh AB ngắn hơn cạnh BC là 3 cm nhưng dài hơn cạnh AC là 3 cm. a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong 1 đường tròn.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2011- 2012
Môn: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)2
Cho với 0 < x < 1
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x là nghiệm của phương trình x 3 x 2 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2 (1 điểm): Tìm m để đồ thị các hàm số y = - 2x2 và y = -(2m + 1)x + m tiếp xúc với nhau, khi đó tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu 3 (1,5 điểm): Không giải phương trình x2 – 11x + 5 = 0 (1)
a) Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình (1)
b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình (1)
Câu 4 (1,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A Biết rằng cạnh AB ngắn hơn cạnh BC là 3 cm
nhưng dài hơn cạnh AC là 3 cm Tính độ dài cạnh BC.
Câu 5 (3 điểm): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Kẻ tia tiếp tuyến Ax với (O;R) sao cho AC >
AO, từ C kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O;R) tại M (khác A)
a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong 1 đường tròn.
b) Chứng minh rằng BM // CO
c) Đường trung trực của AB cắt tia BM tại N, An cắt CO tại K, CM cắt ON tại I và CN cắt đường thẳng OM tại J Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng
Câu 6 (0,5 điểm): Tìm tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:
x 3 – (1 + m)x 2 + (m – 1)x + 2m – 2 = 0
- HẾT –
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011- 2012
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 9
(Gồm 4 trang)
1a) Ta có: 0 < x < 1
2
2 2
2
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 1)
2 ( 1)( 1)
2 A
x
b)
3 2 0 (1)
2 2 0 ( 1)( 2) 0
2
A
Nhưng hai giá trị trên đều không thỏa mãn 0 < x < 1 nên giá trị của biểu thức A không tồn tại khi x = 1 hoặc x = 4
c) Với 0 < x < 1 ta có
2
2
1
2
Vì
Dấu “=” xảy ra khi x = ¼ (thỏa mãn 0 < x < 1)
Vậy max A = ¼ x = 1/4
2 * Vì đồ thị hai hàm số y = - 2x2 và y = -(2m + 1)x + m tiếp xúc nhau nên phương
trình hoành độ giao điểm: 2x2 – (2m + 1)x + m = 0 (1) có nghiệm kép
= (2m +1)2 – 8m = (2m – 1)2 = 0
m = ½
Trang 3Khi đó nghiệm kép của phương trình (1) là hoành độ tiếp điểm x =(2m+1): 4 =1/2 Tung độ tiếp điểm là: y = -2.(1/2)2 = - ½
Vậy tọa độ tiếp điểm là: (0,5; -0,5)
3a)
1 2
1 2
11 5
x x
* Xét phương trình x 2 – 11x + 5 = 0 (1) có = 121 – 20 = 101 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Theo hệ thức Vi-et ta có:
Khi đó x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 121 – 10 = 111
Ta thấy các nghiệm của phương trình (1) đều khác 0 nên nghịch đảo các nghiệm
của phương trình (1) là 1 2
à
x x
1 2
1 2 1 2
1 2
5
1 1 1
.
5
x x
Ta có:
à
x x
x x x x
Vậy là 2 nghiệm của phương trình
4 Gọi độ dài cạnh AB là x (cm, x > 3)
Khi đó độ dài cạnh AC là x – 3 (cm), độ dài cạnh BC là x + 3 (cm)
Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pitago ta có:
(x + 3)2 = (x – 3)2 + x2
x2 + 6x + 9 = x2 - 6x + 9 + x2
x2 - 12x = 0 x(x – 12) = 0 x = 0 (không thỏa mãn x > 3)
hoặc x = 12 (thoảm mãn x > 3)
Vậy độ dài cạnh BC là 12 + 3 = 15 cm
I K
N C
O
M
Trang 4a) Ta có CA và CM là 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O) với A, M là các tiếp điểm nên:
CA AO và CM MO (1)
ACO MCO ACM AOC MOC AOM
Và
Từ (1) suy ra CAO CMO 1800
nên tứ giác ACMO nội tiếp được trong 1 đường tròn (Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 1800)
b)
Ta có
2
ABM AOM
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AM)
2
AOC AOM
Mà (cmt) nên AOC ABM ,
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BM // CO
c) Chứng minh được ACO = ONB (g.c.g)
CO = BN, mà CO // BN (do CO // BM - cmt) do đó BOCN là hình bình hành
CN // OB và CN = BO mà NO OB (gt) nên ON CN
Xét CJO có CM và ON là 2 đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác JI OC (1)
Chứng minh được ACNO là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông) nên
K là trung điểm của CO
Lại có: AC // ON (cùng vuông góc với AB) nên ACO CON slt ( )
ACO MCO cmt ( )Mà nên CON MCO ICO cân tại I, mà
K là trung điểm của CO (cmt) nên IK OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
6 x 3 – (1 + m)x 2 + (m – 1)x + 2m – 2 = 0
2
2
( 2) ( 1) 1 0 (1)
( 1) 1 0 (2)
Ta thấy phương trình (1) luôn có 1 nghiệm x = 2 Vậy để phương trình (1) có
Trang 5đúng 2 nghiệm phân biệt
ACO MCO ACM AOC MOC AOM