GIAI BAI TOAN CAN 2 DIA

ChÝnh ®iÒu nµy g©y høng thó cho häc sinh khi häc to¸n.[r]

sở giáo dục -đào tạo hưng yên Phòng giáo dục -đào tạo văn giang

Chức vụ : Giáo viên

Trường : Tiểu học : Tiểu học : Tiểu học Thắng Lợi Thắng Lợi Thắng Lợi

Huyện : Văn Giang Văn Giang ––––tỉnh Hưng Yên tỉnh Hưng Yên tỉnh Hưng Yên

Phần một

đặt vấn đê

Khác với môn tiếng việt chúng ta không có chủ trươngchia nhỏ môn toán thành năm phân môn nhỏ mà chỉ coi môn toán ở tiểu học gồm năm tuyến kiến thức chính Các tuyến kiến thức này không

được trình bày từng chương, phần riêng biệt mà chúng được sắp xếp xen kẽ với nhau tạo nên một sự hữu cơ và hỗ trợ đắc lực lẫn nhau trên lền tảng kiến thức số học bao gồm :

Trong môn toán ở tiểu học, dạy học đo đại lương cho học sinh với các đại lượng thông dụng như đo độ dài, khối lượng, dung tích,diện tích,thể tích… Các đại lượng này chỉ được học ở mức sơ đẳng về kiến thức và kĩ năng Trong dạy học phép đo đại lượng, phép đo khối lượng được dành ít thời gian hơn so với phép đo đại lượng khác trong chương trình toán tiểu học.Song phép đo khối lượng cũng được sử dụng rộng rLi trong đời sống.Nên khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm được biểu tượng về khối lượng và biết đo, đong, chia khối lượng bằng các suy luận đúng đắn, chặt chẽ trên cơ sở vận dụng những kiến thức cơ bản và qua các kinh nghiệm sống của mình

Trong thực tế giảng dạy và đi dự giờ, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán nhiều năm ở tiểu học Tôi nhận thấy nhìn chung giáo viên

và học sinh khi gặp dạng bài toán với chiếc cân hai đĩa

lời giải( cách cân) sao cho sáng tạo ngắn gọn và hiệu quả nhất Nhìn chung cả giáo viên và học sinh đều làm theo phương pháp ‘’thử

Số học

Yếu tố

đại số

Giải toán

Đo đại lượng

Yếu tố hình học

chọn”,cân thử , chia thử, mầy mò để tìm được đáp án thoả mLn các

điều kiện của bài toán, học sinh thường thụ động ghi chép lời giải chứ không tìm ra được một chân lý, một phương pháp tổng quát để

áp dụng giải cho các bài toán cùng dạng Chính vì vậy khi đi thi găp các dạng toán tìm sản phẩm sai với chiếc cân hai đĩa

lúng túng mất thời gian

Xuất phát từ thực tế trên, ngay từ khi nhận thức được vấn đề này, tôi đL đi sâu vào nghiên cứu, tập hợp thành chuyên đề dạy thực nghiệm ở lớp 3A năm học 2006-2007,lớp 4A năm học 2007-2008, lớp 5A năm học 2008-2009 của trường tiểu học ThắngLợi

Nay tôi đưa vào nghiên cứu đề tài, mục đích hệ thống, mở rộng:

Phương pháp giải bài toán với chiếc cân hai đĩa không có quả cân ở tiểu hoc

Phần hai

Giải quyết vấn đề

I/ những vấn đề cần giải quyết

Trong các môn học không có môn nào lại giúp rèn luyện năng lực suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh như môn toán Nhưng trong bản thân môn toán lại không có phân môn nào giúp phát triển trí thông minh, tư duy lô gíc, óc sáng tạo và kinh nghiệm sống áp dụng vào thực tiễn hàng ngày như phép đo khối lượng Bài toán chia

đại lượng nói chung và chia khối lượng ở tiểu học nói riêng gây nhiều hứng thú trong giải toán vì một lẽ nó được kết hợp cả tư duy lô gíc số học với kinh nghiệm sống và một lẽ vì nó có nhiều cách giải Phương pháp dẫn dắt học sinh đi từ ít đến nhiều để khơi dậy dược ở học sinh những ước vọng Giúp các em hình thành cách giải đúng và rút ra bài toán tổng quát Các em sẽ hăng say học tập, sẽ lao vào suy nghĩ một cách tự lực và thật bất ngờ, thú vị khi các em biết lấy ra một số sản phẩm sai quy cách có thể nặng hơn hay nhẹ hơn từ một

số sản phẩm ban đầu bằng một chiéc cân hai đĩa không có quả cân

Dựa vào bài toán tổng quát giáo viên có thể tự ra đề cho học sinh một cách chính xác Do các đặc điểm đL nêu ở trên nên việc giảng dạy phép đo đại lượng cho học sinh tiểu học, đặc biệt là học sinh giỏi luôn rất được coi trọng

Những phương pháp hướng dẫn học sinh giải sau đây tuy không mới mẻ với học sinh song những phương pháp này đL dẫn dăt học sinh biết đi từ ít đến nhiều, từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng để phát triển tư duy lô gíc Đặc biệt tôi đi sâu vào các phương pháp mà sách giáo khoa tiểu học chưa hệ thống được, đó là:

1) Phương pháp luỹ thừa cơ số 2và cơ số 3

2) Phương pháp tách nhóm các phần tử

3) Phương pháp sáng tác đề toán với chiếc cân hai đĩa không có quả cân

ii) nội dung và phương pháp tiến hành

1) Phương pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3 Phương pháp luỹ thừa cơ số 2 và cơ số 3

A Dạng toán : Tìm sản phẩm sai biết trước nặng hoặc nhẹ hơn

so với sản phẩm tiêu chuẩn

Bài toán 1

Có 3 sản phẩm bềngoài giống nhau trong đó có 2sản phẩm có

khối lượng bằng nhau và 1 sản phẩm nhẹ hơn hai sản phẩm kia.Với

một chiếc cân hai đĩa,làm thế nào cân 1lần là tìm được sản phẩm nhẹ

Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm nhẹ hơn không ở trên cân

Trường hợp 2

Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm nhẹ hơn là sản phẩm ở đĩa cân

nhẹ hơn

Sau khi học sinh giải được bài toán này tôi tập cho các em nhận xét

và lập mối liên hệ giữa các giữ kiện đL cho với điều kiện cần tìm Học

sinh dễ dàng nhận thấy :

- Các dữ kiện bài toán cho: 3sản phẩm bề ngoài giống nhau ,trong

đó có hai loại khối lượng ,sản phẩm sai là sản phẩmnhẹ hơn (hoặc

nặng hơn)

- Điều kiện cần tìm; tìm được một sản phẩm s ai

- Bài toán đòi hỏi học sinh suy nghĩ một cách cẩn thận và cần

ghi lại lên giấy trước khi giải thích bằng suy luận lô gíc

Điều cần thiết phải giải thích cho học sinh khi nào thì cân thăng bằng

(trọng lượng ở hai đĩa cân bằng nhau thì cân thăng bằng,trọng lượng ở

hai đĩa cân khác nhau thì cân không thăng bằng) tức có 1 sản phẩm sai

nằm trên cân

Học sinhviết lời giải ra sau khi học sinh phát biểu bằng lời cho cả

lớp ,có thể một số học sinh vẫn chưa làm đươc.Nhận thức được sự sai

khác về trọng lượng giữa hai đĩa cân là điều tốt nhưng chưa thể gọi

đươc là giải xong bài toán C ần động viên khuyến khích học sinh hẵy

cố gắng giải thích tất cả các khả năng có thể xảy ra

Tìm mối liên hệ giữa số sản phẩm ban đầu của bài toán và số lần cân.Học sinh phân tích lời giải và nhận thấy :

- 3=1+1 và 1

- Hay 3=3 ì 1 =31

Số sản phẩm của bài toán là luỹ thừa của 3 trong cái luỹ thừa này, số

mũ chính là số lần cân , các lần cân số sản phẩm được chia đều làm 3 phần bằng nhau ,đặt 2 phần lên 2 đĩa cân Phần còn lại không ở trên cân Như chúng ta đL biết nội dung bài tập này thật đơn giản nhưng khi dạy cho học sinh, bạn đừng vội cho là học sinh thấy dễ mà bỏ qua phân tích kĩ lời giải của bài toán Sau khi phân tích ta nhin thấy được

điều thú vị của bài toán Nó là lền tảng là cơ sở vững chắcđể học sinh rút ra kinh nghiệm giải qua các bài toán, từ đơn giản đến phức tạp, từ

đó để học sinh phát hiện ra:đặc điểm của phương pháp này.Sau khi tôi cho học sinh luyện tập một số bài dạng đơn giẩn ở sách giáo khoa Tôi cho các em làm với yêu cầu nâng cao hơn Cụ thể như bài sau:

Bài toán 2 :

Có 9 viên bi bề ngoài giống hệt nhau trong đó có 8 viên bi khối lượng bằng nhau và một viên bi nặng hơn các viên bi kia Với một chiếc cân 2 đĩa không có quả cân Làm thế nào chỉ với hai lần cân là tìm được viên bi nặng hơn

Giải

Bước 1: Phân tích đề bài

Bước đầu cho học sinh làm quen với bài toán có nội dung phức tạp hơn, số sản phẩm nhiều hơn nhưng sản phẩm sai chỉ có một sản phẩm.ở góc độ giải toán, bài toán này đòi hỏi học sinh tự xem xét tỉ mỉ

đề bài và có sự trừu tượng linh hoạt Tôi hướng các em tới sự nghi ngờ rằng: một quá trình đặt lên cân rồi lại bỏ xuống, chọn nhóm đối tượng nghi ngờ có sản phẩm sai, để dựa vào trọng tài ( sự thăng bằng của cân) để chọn được sản phẩm sai từ nhiều sản phẩm khác cùng dạng ở

đây vấn đề lớn hơn là giúp các em cố gắng đưa ra 1 lược đồ mô tả tình huống xảy ra bằng hình vẽ Chính lược đồ này làm cho các em nhận

thức được điều gì sẽ xảy ra khi cân thăng bằng hoặc không thăng bằng Nếu có thể giáo viên mang đến lớp một cái cân 2 đĩa không có quả cân

và chuẩn bị 9 viên bi trong đó có 1 viên bi nặng hơn để học sinh thấy

được một cách giải thực tế

Bước 2: Phân tích cách giải

Đề bài cho ta biết viên bi giả năng hơn hay nhẹ hơn viên bi thật? + Học sinh dựa vào đề bài dễ dàng trả lời dược câu hỏi trên Giáo viên khuyến khích học sinh hLy cố gắng giải thích tất cả các khả năng

Là cách hợp lý nhất để đáp ứng với chỉ 2 lần cân HLy lập 1 sơ đồ hoặc hình vẽ để mô tả các bước giải của bài toán trên

Lời giải

+ Đặt lên mỗi đĩa cân 3viên bi còn 3 viên bi không ở trên cân

a, Trường hợp 1: Nếu cân thăng bằng thì viên bi nặng ở trong số

3 viên bi không nằm trên cân Để tìm viên bi nặng hơn ta cân tiếp một lần nữa như bài toán 1 Đặt mỗi đĩa một viên bi còn một viên bi không ở trên cân

- Nếu cân thăng bằng thì viên bi nằm ngoài là viên cần tìm

9 viên

bi

3 viên

3 viên

3 viên

- Nếu cân không thăng bằng thì viên bi nặng hơn là viên bi ở đĩa cân nặng hơn

b,Trường hợp 2 Nếu cân không thăng bằng thì viên bi nặng hơn ở trong đĩa cân năng hơn

Để tìm viên bi nặng hơn trong 3 viên bi ta lại cân một lần nữa như bài toán 1

Trường hợp : Nếu cân thăng bằng thì viên bi nằm ngoài là viên bi cần tìm

Trường hợp : Nếu cân không thăng bằng thì viên bi nặng hơn là viên

HLy quan sát bảng sau:

Các điều kiện bài toán Bài toán 1 Bài toán 2

* Số sản phẩm ở cả 2 bài toán đều là luỹ thừa của 3 Trong cái luỹ thừa này số mũ chính là số lần cân ,các lần cân đều chia số sản phẩm

ra làm 3 phần bằng nhau đặt 2 phần lên 2 đĩa cân ,còn 1phần không ở trên đĩa cân (đối với hoc sinh tiểu hoc ta dịch ngôn ngữ luỹ thừa ra ngôn ngữ toán tiểu học : an

= a ì a… ìa n là số thừa số của tích ) n

*Sau lần cân đầu tiên các trường hợp sau xảy ra đều là nội dung của bài toán trước

* Các sản phẩm để cân đều được chia làm 3 nhóm có số sản phẩm bằng nhau Trong đó có 1nhóm chứa sản phẩm sai qui cách

* Đến đây tôi cho các em nhận xét xem cách giải 2 bài toán có gì

đặc biệt giống nhau ? Ta nhận ra ngay rằng với số sản phẩm ban đầu chia hết cho 3 và số sản phẩm đó là luỹ thừa của 3 thì dùng phương pháp luỹ thừa của 3 (tức chia làm 3 nhóm có số sản phẩm bằng nhau ) rồi thưc hiện cân để tìm sản phẩm sai Từ đó giúp các em rút ra cách giải tổng quát

+ Bước1 ; Đặt mỗi đĩa cân 3 sản phẩm còn 3 sản phẩm không ở trên cân

Trường hợp 1 Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm sai tiêu chuẩn ở trong số 3 sản phẩm không ở trên cân

Trường hợp 2 ; Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm tiêu chuẩn ở bên đĩa cân nặng hoặc nhẹ (phụ thuộc đề bài )

+ Bước 2: Tìm sản phẩm sai tiêu chuẩn ta cân tiếp ( n – 1) lần nữa như bài toán 1 để tìm ra sản phẩm sai tiêu chuẩn

Bạn đọc nhận thấy rằng cách giải trên áp dụng đươc với tất cả các bài toán cân 2 đĩa không có quả cân ,biết trước sản phẩm sai là nặng hoặc nhẹ và số sản phẩm ban đầu là luỹ thừa của 3

Bạn đọc thẩm định lại qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Có 27 sản phẩm bề ngoài giống nhau, trong đó có 26 sản phẩm có khối lượng bằng nhau và một sản phẩm nhẹ hơn 26 sản phẩm kia Với chiếc cân 2 đĩa không có quả cân làm thế nào chỉ cân 3 lần là tìm được sản phẩm nhẹ hơn ?

Để tìm sản phẩm nhẹ ta cân tiếp 2 lần nữa như bài toán 2

Trường hơp 2 ; Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm nhẹ hơn ở đĩa cân nhẹ

Để tìm sản phẩm nhẹ ta cân tiếp 2 lần nữa như bài toán 2

Như vậy sau 3 lần cân ta tìm được sẩn phẩm sai nhẹ hơn

Ví dụ 2:

Một chủ cửa hàng bánh kẹo khi nhập 71 hộp bánh Hải Châu giống nhau trong đó có 1 hộp kém chất lượng nặng hơn các hộp kia Với một chiếc cân 2 đĩa không có quả cân làm thế nào để chỉ 4 lần cân là tìm

Để tìm hộp kém chất lượng ta cần cân 3 lần nữa như ví dụ 1

- Trường hợp 2: Nếu cân không thăng bằng thì hộp bánh sai tiêu chuẩn nằm ở đĩa cân chứa 27 hộp nặng hơn

Để tìm hộp nặng hơn ta cần cân 3 lần nữa như ở ví dụ 1

Như vậy sau 4 lần cân thì ta sẽ tìm được hộp bánh kém phẩm chất nặng hơn

1 Phân tích bài toán

Bài toán dạng 2 có điểm gì khác với bài toán dạng 1

Học sinh dễ dàng nhận ra ngay: số sản phẩm ban đầu là số chẵn, sản phẩm sai chưa xác đinh được là nặng hơn hay nhẹ hơn so với sản phẩm tiêu chuẩn

Số lần cân là 2 lần

Như vậy bài toán này việc đầu tiên cần hướng cho học sinh xác định

được sản phẩm tiêu chuẩn trong số các sản phẩm đL có

* Khi cân thăng bằng nói lên điều gì ?

- Cân lần 1: Đặt lên mỗi đĩa cân 1 sản phẩm, còn 2 sản phẩm kia không ở trên cân

a) Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm sai ở trong 2 sản phẩm không

Trường hợp 2: Nếu cân không thăng bằng Sản phẩm nhẹ hơn hoặc nặng hơn ở bên đĩa không có sản phẩm tiêu chuẩn là sản phảm có khối lượng sai khác

Trường hợp :cân không thăng bằng sản phẩm nặng hơn hoặc nhẹ hơn bên đĩa không có sản p hẩm tiêu chuẩn là sản phẩm sai có khối lượng khác

Như vậy chỉ sau 2lần cân ta đL tìm được sản phẩm sai có khối lượng khác sản phẩm tiêu chuẩn

2 Bài toán 2

Có 8 sản phẩm bề ngoài giống nhau trong đó có 7 sản phẩm khối lượng bằng nhau ,1sản phẩm có khối lượng khác so với sản phẩm kia với 1 chiếc cân 2 đĩa không có quả cân làm thế nào chỉ với 3 lần cân là tìm được sản phẩm có khối lượng sai khác ấy ?

*Nếu cân thăng bằng sản phẩm sai nằm trongsố 4 sản phẩm không có

Đặt 1sản phẩm tiêu chuẩn lên 1 đĩa cân còn đĩa bên kia đặt 1 sản phẩm (trong 2 sản phẩm ở ngoài)

Nhưvậy ta sẽ chọn được sản phẩmcó khối lượng sai khác nặng hơn hoặc nhẹ hơn sản phẩm tiêu chuẩn

- Trường hợp 2 :Nếu cân không thăng bằng thì s ản phẩm sai nằm trên 2 đĩa cân

-Cân lần 3;

đặt 1sản phẩm tiêu chuẩn lên1 trong 2đĩa cân

-Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm vừa bỏ xuống là sản phẩm sai khác khối lượng

-Nếu cân không thăng bằng thì chính sản phẩm nằm trên đĩa không có sản phẩm tiêu chuẩn là sản phẩm cần tìm

b Nếu cân không thăng bằng thì sản phẩm sai ở trong 4 sản phẩm ở trên cân ( 4sản phẩm không ở trên cân là cấc sản phẩm tiêu chuẩn) Cân lần 2

Đặt trên mỗi đĩa cân 1sản phẩm còn 2 sản phẩm ở đĩa kia để ra ngoài +Trường hợp 1 :nếu cân thăng bằng thì sản phẩm sai ở trong 2 sản phẩm bỏ ra ngoài

• Cân lần 3 đặt 1sản phẩm tiêu chuẩn lên cân và 1sản phẩm cũ ở trên cân

+Nếu cân thăng bằng thì sản phẩm bên ngoài bỏ xuống là sản phẩm sai

+ Nếu cân không thăng bằng ta cũng xác định được sản phẩm nào

là sản phẩm sai

Như vậy sau 3 lần cân ta đL tìm được sản phẩm sai

Nhận xét

Tương tự như dạng toán 1,tôi hướng dẫn các em nhận xét và so sánh các điều kiện của 2bài toán với chiếc cân 2 đĩa không có quả cân khi không biết sản phẩm sai là nặng hay nhẹ hơn so với sản phẩm tiêu chuẩn.Học sinhdễ dàng nhận thấy ngay khi so sánh số sản phẩm ban

đầu của bài toán 1nhân với 2 thì bằng số sản phẩm của baì toán 2 Xem bảng sau :

*Học sinh nhận thấy rằng các bài toán dang 2 sau lần cân đầu tiên các trường hợp xảy ra đều là nội dung của bài toán trước

*Đến đây tôi cho cácem nhận xét cách giải của 2 bài toán có gì khác nhau ? Học sinh nhận ra ngay rằng :số sản phẩm ban đầu là 2n