[r]
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN
-
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
-
( Đề thi gồm 2 trang )
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y=x4 − 2m x2 2 +m4 + 2m (1), với m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =1
2 Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt,
với mọi m <0
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình :
2sin 2 4sin 1
6
2 Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình 2
1
có nghiệm duy nhất
Câu III: (2,0 điểm)
1 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( )
2 4
1
x
f x
x
−
= +
2 Với mọi số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện x+y+z≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y z 2 1 1 1
x y z
= + + + + +
Câu IV: (1,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy
các điểm M, N, P sao cho BC = 4BM BD, = 2BN và AC = 3AP Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B
A Theo chương trình Chuẩn
Câu Va: (1,0 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho đường thẳng ( )d : 2x−y− 4 0 =
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d)
Câu VIa: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình : 2 log4x 8log2 x
2 Viết phương trình các đường thẳng cắt đồ thị hàm số 1
2
x y x
−
=
− tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ và tung độ của mỗi điểm là các số nguyên
Trang 2B Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho các điểm
( 1;3;5 ,) ( 4;3;2 ,) (0;2;1)
A − B − C Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VIb: (2,0 điểm)
1 Giải bất phương trình :
2 1 log( + 2x)log4x+log8x<0
2 Tìm m để đồ thị hàm số y= x3+(m−5)x2−5mx có điểm uốn ở trên đồ thị hàm số y= x3
……… HẾT
Trang 3
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
ĐÁP ÁN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2010
Môn thi: TOÁN
Khi m= ⇒ 1 y=x4 − 2x2 + 3
Giới hạn: lim ; lim
→−∞ = +∞ →+∞ = +∞
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (− 1;0 , 1;) ( +∞)và nghịch biến trên khoảng (−∞ − ; 1 , 0;1) ( )
Hàm số đạt CĐ tại x= 0,y CD = 3 và đạt CT tại x= ± 1,y CT = 2
0,25 đ
Ý 1 (1,0đ)
Đồ thị cắt Oy tại (0;3) Đồ thị đối xứng qua Oy 0,25 đ
Phương trình HĐGĐ của đồ thị (1) và Ox:
Đặt t =x2(t≥ 0), ta có : t2 − 2m t2 +m4 + 2m= 0(∗∗) 0,25 đ
Ta có : ∆ = − ' 2m> 0 và S= 2m2 > 0 với mọi m >0
Câu I
(2,0đ)
Ý 2 (1,0đ)
KL: PT (∗) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt (đpcm) 0,25 đ
PT ⇔ 3 sin 2x+ cos 2x+ 4sinx− = 1 0
2
2 3 sin cosx x 2sin x 4sinx 0
2 3 cosx sinx 2 sinx 0
Ý 1 (1,0đ)
Khi: sinx= 0 ⇔x=kπ KL: nghiệm PT là , 5 2
6
Ta có : x= 2y−m, nên : 2y2 −my = − 1 y 0,25 đ
PT
1 1 2
y
m y
y
≤
⇔
= − +
Câu II
(2,0đ)
Ý 2 (1,0đ)
Xét f y( )= y−1+ 2 ⇒ f '( )y = + 1 12 > 0 0,25 đ
Trang 4Lập BTT KL: Hệ có nghiệm duy nhất ⇔m> 2 0,25 đ
Ta có: ( )
f x
Ý 1 (1,0đ)
KL: ( )
3
x
x
−
+
Áp dụng BĐT Cô-si : 18x 2 12
x
+ ≥ (1) Dấu bằng xảy ra khi
1 3
Tương tự: 18y 2 12
y
+ ≥ (2) và 18z 2 12
z
Mà: − 17(x+y+z)≥ − 17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có:
19
Câu III
(2,0đ)
Ý 2 (1,0đ)
1 19
3
P= ⇔x= y=z= KL: GTNN của P là 19 0,25 đ
Gọi T là giao điểm của MN với CD; Q là giao điểm của PT với AD
Vẽ DD’ // BC, ta có: DD’=BM ' 1
3
AT DP
Nên: .
.
A PQN
A CDN
Câu IV
(1,0đ)
Và .
.
C PMN
C ABN
Từ (1) và (2), suy ra : 7
20
KL tỉ số thể tích cần tìm là 7
13hoặc 13
7
0,25 đ
Gọi I m m( ; 2 − 4) ( )∈ d là tâm đường tròn cần tìm 0,25 đ
3
Khi: 4
3
m = thì PT ĐT là 4 2 4 2 16
Câu Va
(1,0đ)
Khi: m =4 thì PT ĐT là (x− 4)2+(y− 4)2 = 16 0,25 đ
ĐK : x >0 Ta có: 1 log + 2xlog4x= 3log2 x 0,25 đ
Đặt t = log2x.Ta có: t2 − 3t+ 2 0 = ⇔ =t 1,t= 2 0,25 đ
Câu VIa
(2,0đ)
Ý 1 (1,0đ)
Khi: t =1 thì log2x= ⇔ 1 x= 2( )th 0,25 đ
Trang 5Khi: t =2 thì log2 x= 2 ⇔x= 4( )th KL: Nghiệm PT
Ta có: 1 1
2
y
x
= +
Suy ra: x y; ∈Z ⇔x− 2 = ± ⇔ 1 x= 3,x= 1 0,25 đ
Tọa độ các điểm trên đồ thị có hoành độ và tung độ là những số
nguyên là A(1;0 ,) B(3; 2)
0,25 đ
Ý 2 (1,0đ)
KL: PT đường thẳng cần tìm là x−y− = 1 0 0,25 đ
Ta có: AB = −( 3;0; 3 − )⇒AB=3 2
Do đó: ∆ABC đều, suy ra tâm I đường tròn ngoại tiếp
ABC
Câu Vb
(1,0đ)
KL: 5 8 8; ;
3 3 3
−
ĐK :x >0 Đặt t= log2x, ta có : (1 ) 0
3
t
t t
3
Ý 1 (1,0đ)
KL: 4 log2 0 31 1
Ta có: y' 3 = x2+ 2(m− 5)x− 5 ; " 6m y = x+ 2m− 10 0,25 đ
" 0 5
3
m
y = ⇔x= − ; y’’đổi dấu qua 5
3
m
x= −
3
5
;
m U
là điểm uốn 0,50 đ
Câu VIb
(2,0đ)
Ý 2 (1,0đ)
……… …HẾT………