Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong không gian.. Cho tứ diện ABCD.[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011-2012
MÔN: TOÁN 11
A-Đại số:
1.Giới hạn của dãy số.
Dạng 1 Tính giới hạn của dãy số:
* Phương pháp: Đưa bài toán về dạng để áp dụng được định lí 1 hoặc định lí 2 về giới hạn của dãy số
- Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là
số mũ cao nhất của n
- Nếu biểu thức không có dạng trên thì tùy từng trường hợp có thể dùng phép biến đổi sau:
+ Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực
+ Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức khi biểu thức chứa biến n dưới dấu căn
Dạng 2 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
*Phương pháp:
+ Chứng minh dãy số đã cho là một CSN lùi vô hạn (Nếu bài toán chưa cho dãy số đó
là CSN lùi vô hạn)
+ Áp dụng công thức tính tổng :
Bài tập :
Bài 1.Tính các giới hạn sau:
a) lim6 n− 1
3 n+2 b) lim3 n
2
+n − 5
2n2+1 c) lim √9 n2−n+1
4 n− 2 d) lim(n3+2n2−n+ 1)
e) lim(√n2
+n+1 − n) f) lim(√n2−n − n)
Bài 2 Tính các tổng sau:
a)
−1¿n
¿
¿
A=− 1+ 1
10 −
1
102 + +¿ b)
− 1¿n −1
¿
¿
B=1 −1
2+
1
1
8+ +¿
c)
−1¿n
¿
¿
C=−√2+1− 1
√2+
1
2− +¿
2.Giới hạn của hàm số:
Dạng 1.Tính giới hạn hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lý hay quy tắc về giới hạn vô
cực
S= u1
1− q
Trang 2 Dạng 2 Tính các giới hạn dạng vô định:
+) Dạng 00 ( lim
x → x ∘
f (x ) g(x) khi x → xlim
∘
f (x)=lim
x → x ∘ g(x )=0 ) :
*Phương pháp: Phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước
lim
x → x ∘
f (x ) g(x)=limx → x
(x − x∘)P(x )
(x − x ∘)Q(x)=x→ xlim∘
P (x) Q(x )
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng rồi giản ước
+) Dạng ∞ ∞ ( lim
x → x ∘
f (x ) g(x) khi x → xlim
∘
f (x)=lim
x → x ∘ g(x )=± ∞ ):
* Phương pháp : Chia cả tử số và mẫu số cho x n với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì đưa x k ra ngoài dấu căn (với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn) trước khi chia tử số và mẫu số cho lũy thừa của x
+) Dạng ∞− ∞ ( x → xlim
∘
[f (x)− g(x )] khi x → xlim
∘
f (x)=lim
x → x ∘ g(x )=+ ∞ hoặc
lim
x → x ∘ f (x)=lim
x → x ∘ g(x )=− ∞ ):
*Phương pháp : Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn) hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức (nếu chứa nhiều phân thức)
Bài tập :
Bài 3 Tính các giới hạn sau :
a) lim
x → 4
x+1
3 x − 2 ; b) lim
x → 4√x2−9 ;c) x →+∞lim(x4− x2+x − 1) ; d) x →− ∞lim (− 2 x3+3 x2−5) ; e) x → 2
+ ¿2 x − 1
x +3
lim
¿
;f) lim
x→ 2
x −√3 x −2
x2− 4
g) lim
x→ 0
√x2+x+1 −1
3 x ; h) lim
x→ 1
3
√x −√2 x −1
x −1
Bài 4 Tính các giới hạn sau:
a) lim
x →− ∞
x +√4 x2−1 2− 3 x ; b) x →+∞lim x (√x2+1+x)
3.Hàm số liên tục:
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số y=f (x) tại điểm x ∘ :
* Phương pháp : Dựa vào định nghĩa tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
+ Tính x → xlim
∘
f (x) và f (x ∘)
+ So sánh x → xlim
∘
f (x) với f (x ∘) để kết luận
Trường hợp bên trái, bên phải x ∘ hàm số được xác định bởi hai biểu thức khác nhau,
để tìm x → xlim
∘
f (x) ta cần tìm x → x ∘
+ ¿
f (x )
lim
¿
và x → xlim
∘
− f (x) và lưu ý rằng :
x → x ∘+ ¿
f (x )= lim x→ x ∘ − f (x )=L
lim
x → x f (x)=L⇔ lim
¿
Trang 3 Dạng 2 : Xét tính liên tục của hàm số y=f (x) trên một tập con của tập R
* Phương pháp :
+ Áp dụng định lí về tính liên tục của hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ,lượng giác + Nếu hàm số được cho bởi nhiều biểu thức khác nhau, cần nghiên cứu tính liên tục tại một điểm
Dạng 3 : Chứng minh PT f (x)=0 có nghiệm trên tập D ⊂ R
* Phương pháp : Để chứng minh PT f (x)=0 có nghiệm trên tập D ⊂ R , ta cần tìm hai
số a và b thuộc D sao cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f (a) f (b)<0
Bài tập :
Bài 5 Xét tính liên tục của hàm số y=g(x ) tại điểm x ∘=2 với :
g(x)=
¿x3−8
x − 2 khi x ≠ 2
5 khi x=2
¿{
Bài 6 Tìm m để hàm số y=f (x) liên tục trên R, biết rằng :
f (x)=
¿ x2+4 x +3
x +3 khi x >−3
mx −1 khi x ≤ −3
¿{
Bài 7 Chứng minh rằng phương trình :
a) 2 x3−6 x +1=0 có ít nhất hai nghiệm
b) sin x=x − 1 có ít nhất một nghiệm
4.Đạo hàm:
Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số y=f (x) tại điểm x ∘
- Nếu yêu cầu tính đạo hàm bằng định nghĩa, cần thực hiện theo 3 bước:
+b1: giả sử Δx là số gia của biến số x tại điểm x ∘ , tính Δy=f (x ∘+Δx)− f (x ∘)
+b2: lập tỉ số Δy
Δx=
f (x ∘+Δx)− f (x ∘)
Δx
+b3: tính giới hạn lim
Δx →0
f (x ∘+Δx)− f (x ∘)
⇒ f '
(x ∘)=L
- Nếu bài toán không nói gì thêm ,sử dụng các công thức và các quy tắc tính đạo hàm của một tổng, hiệu, tích, thương để tính f '(x ) sau đó tính giá trị của hàm số y=f '(x) tại
x=x ∘
Dạng 2 : Tính đạo hàm của hàm hợp y=f[g (x)] trên tập xác định của nó
* Phương pháp :
+ Đặt u=g (x)
+ Áp dụng các công thức tính đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm của một tổng, hiệu,
tích, thương Lưu ý :
Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) của hàm số y=f (x)
y x '=y u ' u x '
Trang 4+) Loại 1 Tiếp tuyến tại điểm M ∘(x ∘ ; y ∘)∈(C ) có dạng :
y=f '
(x ∘)(x − x ∘)+f (x ∘)
+) Loại 2 Tiếp tuyến d song song với đường thẳng d’ cho trước:
* Phương pháp :
+ Tiếp tuyến d // d’ ⇒k d=k d '
+ Gọi x ∘ là hoành độ tiếp điểm, ta có : f '(x ∘)=k d ⇒ x ∘ ⇒ y ∘
+ Phương trình tiếp tuyến cần lập là :
y=f '(x∘)(x − x∘)+y∘
+) Loại 3 Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng d’ cho trước :
* Phương pháp :
+ Tiếp tuyến d ⊥d ' ⇒k d=− 1
k d '
+ Gọi x ∘ là hoành độ tiếp điểm, ta có : f '(x∘)=kd ⇒ x∘ ⇒ y∘
+ Phương trình tiếp tuyến cần lập là :
y=f '(x ∘)(x − x ∘)+y ∘
+) Loại 4 Viết phương trình tiếp tuyến (d ) với đồ thị hàm số y=f (x) biết tiếp tuyến
đi qua điểm A (x1; y1) :
* Phương pháp :
+ Bước 1: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d )
Phương trình đường thẳng của (d ) đi qua điểm A (x1; y1) có hệ số
góc k là: y=k (x − x1)+y1 (*) + Bước 2: Để (d ) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ phương trình:
¿
f (x)=k (x − x1)+y1
k =f '
(x )
(I)
¿{
¿
có nghiệm
+ Bước 3: Nghiệm của hệ phườn trình là hoành độ tiếp điểm x ∘ từ đó suy ra y ∘ ;
suy ra k =f '
(x ∘) ⇒ Phương trình tiếp tuyến
* Lưu ý: Hệ (I) có bao nhiêu nghiệm thì tương ứng có bấy nhiêu tiếp tuyến
Bài tập:
Bài 8 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) y=x3− 2 x +1 tại x ∘=2
b) y=sin 2 x tại x ∘=π
6
c) y=√3 − 4 x tại x ∘=1
d) y= x +1
x − 1 tại x ∘=0
Trang 5Bài 9 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y= x
4
2 x3
4 x2
b) x7−5 x y=2¿2012
¿
c) y= 3 x
2
−6 x +7
x2−3 x
d) y=(2x+3 x)(√x −1)
e) y=cos x
1+x
f) y=tan2x −cot x2
Bài 10 Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x :
a) y=sin6x +cos6x +3 sin2x cos2x
b) y=cos2(π3 − x)+cos2(π3+x)+cos2(2 π3 − x)+cos2(2 π3 +x)−2 sin2x
Bài 11 Cho hàm số f (x)=x3−3 x2+2
a) Giải bất phương trình : f '(x )≤ 3
b) Giải phương trình :
¿
\} \} \( sin x \) `=` - 3\} \{
¿f❑
¿
c) Giải phương trình :
¿
\} \} \( x \) \} = - 3\} \{
¿f❑
f '(x )− 18√❑
¿
Bài 12 Cho hàm số y=x3− 3 x2+2 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x ∘=−1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ y ∘=2
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3 x+ y −2012=0
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2 x −90 y +2012=0
Bài 13 Cho hàm số y= 2 x − 5
2 x − 4 có đồ thị (H)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến có hệ số góc k =8
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-2; 2)
B-Hình học: Quan hệ vuông góc trong không gian:
Dạng 1 Chứng minh một đẳng thức vectơ :
*Phương pháp : Sử dụng :
+ Quy tắc 3 điểm :
+ Quy tắc hình bình hành:
+ Quy tắc hình hộp:
+ Quy tắc trung điểm:
Trang 6+ Trọng tâm của tam giác:
+ Trọng tâm của tứ diện:
+ Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số:
Bài 1 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh rằng:
⃗DA+⃗DB+⃗DC=3⃗DG
Bài 2 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là
trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong không gian Chứng minh rằng:
a) ⃗IA+⃗IB+⃗IC+⃗ID=⃗0
b) ⃗PI=1
4(⃗PA+⃗PB+⃗PC+⃗PD)
Dạng 2 Xác định góc giữa hai đường thẳng :
*Phương pháp 1 :
d1∩d2=O
d1// a , d2// b
}
⇒(a , b)=(d1, d2)=ϕ (0 ∘ ≤ϕ ≤90 ∘)
*Phương pháp 2:
¿
ϕ=(⃗u , ⃗v )
⃗
u − vtcp đt a
⃗
v − vtcp đt b
⇒
¿(a , b)=ϕnêu 0 ∘ ≤ ϕ≤ 90 ∘
(a , b)=180 ∘ −ϕ nêu 90 ∘<ϕ≤180 ∘
¿{ {
¿
Bài 3 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD Biết
AB = CD = 2a; MN = a √3 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Bài 4 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC BAD 60 Chứng minh rằng: a) ABCD ;
b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN AB v MNà CD
Dạng 3 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tìm góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng cắt nhau:
*Phương pháp : +)
,
( )
+) ( ,( )) ( , )d d d' với d’ là hình chiếu của d trên mp( )
Bài5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA = SB = SC = SD Gọi
O là giao điểm của AC và BD.Chứng minh rằng:
a) SO(ABCD)
b) AC (SBD) và BD(SAC)
Bài6:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình
chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC)
Trang 7a) Chứng minh rằng: BC(OAH), CA(OBH), AB(OCH).
b) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC
c) Chứng minh rằng: 2 2 2 2
OH OA OB OC d) Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn
Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB,
SC, SD
a) Chứng minh rằng BC (SAB CD), (SAD)
b) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD
c) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra ba đường thẳng
AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng
d) Tính diện tích của tứ giác AHIK, biết SA = AB = a
Dạng 4 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc :
*Phương pháp : +) Góc giữa hai mặt phẳng:
( )
( )
a
a b b
+) Từ (1): Nếu ( , ) 90a b thì ( ) ( )
+)
( )
( ) ( ) ( )
d d
Bài8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Gọi O
là tâm của hình vuông ABCD
a) Tính độ dài đoạn thẳng SO
b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có BAD 60, cạnh
6 2
a
SC
và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC)
b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K Hãy tính đọ dài đoạn IK
c) Chứng minhBKD 90
và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD)
Bài10: Cho tam diện Sxyz có Sx, Sy, Sz đôi một vuông góc với nhau Lấy các điểm A,
B, C trên Sx, Sy, Sz Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng SH (ABC)
b) Chứng minh rằng (S SBC)2S ABC.S HBC, từ đó suy ra :
(S ABC)2(S SAB)2(S SBC)2(S SCA)2
Dạng 5 Tính khoảng cách :
Trang 8*Phương pháp : +) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
(H là hc vuông góc của điểm Mtrên đt ) +) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
(H là hc vuông góc của điểm Mtrên mp()) +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- Tìm đoạn vuông góc chung của hai đt chéo nhau: 3 cách tìm
- Tính độ dài của đường vuông góc chung : 2 cách tính
Bài11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD 60 và
SA = SB = SD =
3 2
a
a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) d) Chứng minh SC vuông góc với BC
e) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Tính tan
d M M H
d M M H